D10_3三重积分 柱坐标与极坐标

1、目录 上页 下页 返回 结束 利用柱坐标计算三重积分的步骤利用柱坐标计算三重积分的步骤考虑是否用柱坐标计算考虑是否用柱坐标计算化为柱坐标系下化为柱坐标系下三重积分三重积分积分次序：积分次序：定限方法：定限方法：化为累次积分化为累次积分计算累次积分计算累次积分注意注意 对一个变量积分时，将其余变量对一个变量积分时，将其余变量视为常数视为常数的投影的投影为圆或圆的一部分为圆或圆的一部分f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx( , )d d df x y zx y z 三变、一勿忘三变、一勿忘( , , )f x y z积分区域积分区域 柱坐标表示柱坐标表示被积函数被积函数( co

2、s ,sin , )fz 体积元素体积元素d d dx y zd d dz 一个勿忘一个勿忘一般先一般先z后后再再投影、发射投影、发射(cos,sin, ) d d dfzz 目录 上页 下页 返回 结束 利用球坐标计算三重积分的步骤利用球坐标计算三重积分的步骤考虑是否用球坐标计算考虑是否用球坐标计算化为球坐标系下化为球坐标系下三重积分三重积分积分次序：积分次序：定限方法：定限方法：化为累次积分化为累次积分计算累次积分计算累次积分注意注意 对一个变量积分时，将其余变量对一个变量积分时，将其余变量视为常数视为常数的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz( , )d

3、 d df x y zx y z 三变、一勿忘三变、一勿忘( , , )f x y z积分区域积分区域 球坐标表示球坐标表示被积函数被积函数( , , )F r 体积元素体积元素d d dx y z2sind d drr 一个勿忘一个勿忘2sinr一般先一般先r后后再再观察、想象观察、想象2( sinsin , sincos , cos )sin d d df rrrrr 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素dvdxdydz（计算时将三重积分化为三次积分）小结方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”),(),

4、(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(目录 上页 下页 返回 结束 2. 确定上下曲面函数，得 z的积分限;1. 把往xoy平面上投影,得积分区域D;3. 先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;4. 再求关于x,y的二重积分.先一后二”积分法的基本步骤:对za,b用过点(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截 ，得截面Dz;1. 把向z轴投影,得z的积分限a,b;3. 先求关于x,y的二重积分,得“先二后一”积分法的基本步骤:4. 最后计算单积分( )baF z dz( )( , , )zDF zf x y z d

5、xdyabxyzzzDzyxyxDO目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 回忆用投影法（先一后二）计算三重积分( , , )Df x y z dVdxdy21( , )( , )( , , )zx yzx yf x y z dz如果积分区域 在坐标面上的投影区域 D 是圆域则二重积分应当考虑用极坐标计算.这就等于用柱面坐标计算三重积分.2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 zyxyxDO目录 上页 下页 返回 结束 xyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三

6、重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目录 上页 下页 返回 结束 d ;柱面 与 xyzodzvdd ;半平面 与dzzz平面 与ddzz在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),( cos ,sin , )fz zdddddd ,D当积分域 的投影域 为与圆域有关的区域时,( , ).zz r一般选用柱面坐标 此时曲面应表示为元素区域由六个坐标面围成目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面

7、坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录 上页 下页 返回 结束 常见曲面的柱面坐标方程常见曲面的柱面坐标方程曲面直角坐标方程柱面坐标方程222zaxy22zar22zxyzr22zxy2zr222xyara222xyax2 cosra半球面半球面圆锥面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面222xyay2 sinra目录 上页 下页 返回 结束 常见曲面的柱面坐

8、标方程常见曲面的柱面坐标方程目录 上页 下页 返回 结束 2、利用公式用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域Dcos ,sin ,.xryrzz3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区域确定z的上下限；4、在 D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）次序为：zr将的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式；柱面坐标常用于：柱面坐标常用于： 圆柱体和圆锥体上的三重积分。圆柱体和圆锥体上的三重积分。目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算三重积分d d d ,z x y z22zxy4z 所围成 .与平面其中

9、 由抛物面OOxyz在柱面坐标系下4:24zdz22012(16)d226 210684z022020d 20d2zvdddd原式 =26 2106864.3解解:在xOy面上的投影区域D: 224,xy上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .2目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算计算 22(),xy dv22zxy解：解：222zxyz由22()xydv222200dddz22302ddz2302(2)d165故在xOy平面224,xy得交线 上投影区域为:2z02202z 所围成 .与平面其中 由圆锥面22( , )|4xyDx yxy上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .dd d

10、dvz 目录 上页 下页 返回 结束 解解:2222zz1,1,zxyzo2124001(2)2dd 例例3. 计算三重积分d ,z v22xyz所围成 .与抛物面其中 由球面2222xyz:22z01202知交线为由222dzz10d 20d原式 =124601146 7.1222,z上边界:下边界:2,z目录 上页 下页 返回 结束 2axyzO其中 为例例4. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐标系下:cos2020az 0及平面zvddddzzddd2原式由柱面cos2围成半圆柱体.cos202ddcos342032a20d0da

11、z z298a目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzOP目录 上页 下页 返回 结束 半平面 及 + d ； 半径为r及r + dr的球面；圆锥面及+d r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 + d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 球

12、面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素目录 上页 下页 返回 结束 元素区域由六个坐标面围成：球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 + d dddsind2rrv r drd xz y0 d rd rsin d .dv目录 上页 下页 返回 结束 rddrdd如图所示, 在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrFdddsin2rrxyzO( sin cos , sin sin , cos )f

13、rrrdddsin2rr目录 上页 下页 返回 结束 球面坐标球面坐标直角坐标直角坐标球体球体zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R0d20d:rR02002222xyzR:下面介绍一些区域的球面坐标的描述目录 上页 下页 返回 结束 球面坐标球面坐标直角坐标直角坐标球体球体zyxzyxfddd),(dddsin2rr2 cos0a20d:2 cosra022002222xyzaz:20d( , , )F r 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R40d20d球面坐标球面坐标直角坐标直角坐标:rR0420

14、022222xyzRxy:球顶锥体球顶锥体目录 上页 下页 返回 结束 常见的曲面在球坐标下的方程常见的曲面在球坐标下的方程目录 上页 下页 返回 结束 次序为次序为: r 2. 将区域往xoy面上投影，确定平面区域D，4.过原点做射线，穿区域确定 r 的上下限.1. 关系式关系式sin cos ,sin sin ,cos .xryrzr3. 对任一，过z轴做半平面，找出角变化最用球面坐标计算三重积分的一般步骤：用球面坐标计算三重积分的一般步骤：将的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式；由D找出的上下限；大的与的截面，确定的上下限注：当积分区域注：当积分区

15、域 由球面、锥面或其一部分所围时，由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。选用球面坐标计算较简便。目录 上页 下页 返回 结束 xyzO例例5. 计算三重积分,ddd)(222zyxzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目录 上页 下页 返回 结束 Oxyza2例例6. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darr

16、dsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M目录 上页 下页 返回 结束 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成于是所求立体的体积为 此球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 例例6. 的立体的体积 由圆锥面和球面围成 ,解解:采用球面坐标，锥面方程为 在球面坐标下球面方程为r2acos , :0,02 cos ,ra02.dVv2sind ddrr dddsind2rrv 2 cos20darr33016cossin d3a 0sind 20d033sincos316da)cos1 (3443aa Ox

17、yza2M目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 计算三重积分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz解解: 在球面坐标系下:22()d d dxyx y z所围立体.202 cos2 cosarb20其中 面dddsind2rrv 2 cos2222 cossinsindbarrr20d20d是由两个球2222xyzbz(),ab355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba2目录 上页 下页 返回 结束 22()d d dxyx y z355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba25564()5ba3520sincosd 5564()5ba25

18、20(1 cos)cosd( cos )5564()5ba2520(cos1)cosdcos5564()5ba86coscos28605564()5ba124558()15ba目录 上页 下页 返回 结束 2222240(4z4)daaazzz58.15a20daz22()d dZDxyx y20daz2220daz z 20d224012( 2) d4aazzz解解: 1:02za222:2zDxyazz例例7. 计算三重积分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz所围立体.其中 面是由两个球2222xyzbz(),ab122()d d dxyx y z原式原式 258()1

19、5ba目录 上页 下页 返回 结束 z Oxya4.M.02 cosra0204r :解解: 在球面坐标系下d ,Iz v10(2).计算其中 由不等式 2222(),xyzaa222xyz所确定. 2 cosra目录 上页 下页 返回 结束 .02 cosra0204dz v:解解: 在球面坐标系下d ,Iz v10(2).计算其中 由不等式 2222(),xyzaa222xyz所确定. 2 cos30darr40cos sind 20d4401cos sin (2 cos ) d4a247.6acos drv2sin d d drr 48 a540cossind 48 a4601cos6目

20、录 上页 下页 返回 结束 所围成的闭区域.0cos ,r222dvxyzcos30drr420cos2sind4110cosr0,22020dsin20ddddsind2rrv yzx1Or222d ,Ixyzv11(2).计算其中 是由球面222xyzz:解解: 在球面坐标系下250 cos25 目录 上页 下页 返回 结束 所围成的闭区域.01,r222()dvxyz140drr02sind54.51r 0,200sind 20ddddsind2rrv 222()d ,Ixyzv10(1).计算其中 是由球面2221xyz:解解: 在球面坐标系下02cos5 Ozxy目录 上页 下页 返

21、回 结束 所围成的在第一卦限内的闭区域.01,zdxy v10dzd d dz 1.801,02130d20sin cos d d ,Ixy v11(1).计算其中 为柱面1,0,0,0zzxy:解解: 在柱面坐标系下2201sin8221,xy及平面2cos sin11xyzOzvdddd1dd dz 目录 上页 下页 返回 结束 11(2).求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4y

22、Oz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz dddsind2rrv yzxaOr目录 上页 下页 返回 结束 3. 设 由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:zOxy24利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分

23、公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P164 9，10，11（1，2）。 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz dddsind

24、2rrv yzxaOr目录 上页 下页 返回 结束 4zxy1O3. 计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21 21zDzyxyxyxdddsin52220目录 上页 下页 返回 结束 2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20dx思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:目录 上页 下页 返回 结束 442222(),.Ixydvzxyzh计算其中 由所围例例8xyzoh解解1)(xy22(+)d dDIxyx y22dhxyz22300d()dhh31.6h解解230()dd dzhIz ()z23000dddhzz202d4hzz31.6h目录 上页 下页 返回 结束 例例92222111211dddxxxyIxyxz计算解oxyz2( )dvIxv2212dxyxz222()1dxyxxy22()cos1 d dxyrr r r