Chapter 3 扭转

1、目录目录主讲人：郭俊宏主讲人：郭俊宏理学院力学系理学院力学系第三章第三章 扭扭 转转第三章第三章 扭扭 转转3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 3.3 纯剪切纯剪切3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念汽车传动轴汽车传动轴3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例汽车方向盘汽车方向盘3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 杆件受到大小相等杆件受到大小相等, ,方向相反且方向相反

2、且作用平作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用面垂直于杆件轴线的力偶作用, , 杆件的横截杆件的横截面绕轴线产生相对转动。面绕轴线产生相对转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴圆轴扭转扭转。扭转受力特点扭转受力特点及变形特点及变形特点: :3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例直接计算直接计算1.1.外力偶矩外力偶矩3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功

3、完成：1000(N m)WP602nMWe已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me ePP3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图T = Me2.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图用截面法研究横用截面法研究横截面上的内力截面上的内力扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和

4、扭矩图扭矩图扭矩图 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图解解: :(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩例题例题3.13.13.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 传动轴传动轴, ,已知转速已知转速 n=300r/min,n=300r/min,主动轮主动轮A A输入功率输入功率P PA A=45kW,=45kW,三个从动轮输出功率分别为三个从动轮输出功率分别为 P PB B=10kW,P=10kW,PC C=15kW,=15kW,P PD D=20kW.=20kW.试绘轴的扭矩图试绘轴的扭矩图. .9549/eMP n由公式由公式

5、(2)(2)计算扭矩计算扭矩(3)(3) 扭矩图扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图max1432TN m 传动轴上主、传动轴上主、从动轮安装的位从动轮安装的位置不同，轴所承置不同，轴所承受的最大扭矩也受的最大扭矩也不同。不同。BMCMA AB BC CD DAMDM31432ATMN m A AAM3T318N318N. .m m795N795N. .m m1432N1432N. .m m3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 3.3 纯剪切纯剪

6、切0101rt dxxMeMe3.3 3.3 纯剪切纯剪切dx ABDCTtrrArrAAA )2(dd trT 22 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 0 yF3.3 3.3 纯剪切纯剪切2、 00 xzFMzyxd)dd( 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 3.3 3.3 纯剪切纯剪切lr l 3.3 3.3 纯剪切纯剪切lrtrT 22 G )1(2 EGTO 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 习题习题3.1，3.8作业作业变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律

7、建立公式建立公式3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力应力分析应力分析(Geometrical Relationship of Deformation)3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力_扭转角（扭转角（radrad）_ddxdx微段两截面的微段两截面的相对扭转角相对扭转角边缘上边缘上a a点的错动距离：点的错动距离：aaRddxdRdx边缘上边缘上a a点的切应变：点的切应变： 发生在垂直于半径的平面内。发生在垂直于半径的平面内。MeppqqMexdOdcabRdxabppqq3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的

8、应力dxd dR距圆心为距圆心为的圆周的圆周上上e e点的错动距离：点的错动距离：ccddx 距圆心为距圆心为处的处的切应变：切应变：ddx也发生在垂直于也发生在垂直于半径的平面内。半径的平面内。dd x扭转角扭转角 沿沿x x轴的变化率。轴的变化率。dOdcabRdxabppqqee3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力) G xGGdd 3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 TAA d TAxGA dddTAxGA ddd2 p2dIAA pddGITx PIT 3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力NOTE: 公式适用于：公式适用于：1 1）圆杆）圆杆2

9、2）maxp令令抗扭截面系数抗扭截面系数ptIWRmaxtTW在圆截面边缘上，有最大在圆截面边缘上，有最大切应力切应力 横截面上某点的切应力的方向横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。应力的大小与其和圆心的距离成正比。3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 dO AAId2p maxPt IW )d(2d A32d2d42032pdAIdA 162/32/34maxptdddIW dODdd32)1(44p DI)1(1643t DW其中其中Dd 实心轴与空心轴实心轴与空心轴 与与 对比对比pItW

10、/tpWIR3116D/(/2)tpWID3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力M1M2ABCll3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 M1M2ABCll1M2CT12M2CM1BT24kNm2kNm+_3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力tmaxmaxWT MPa5 .34)1(1643max DTT maxM1M2ABCll max3.3.4 4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力扭转强度条件：扭转强度条件： tmaxmaxWTmaxmaxmax()tTWmaxmaxtTW1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2

11、. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力强度条件的应用强度条件的应用 maxmaxtTW（1）校核强度）校核强度 tmaxmaxWT（2）设计截面）设计截面 maxtTW （3）确定载荷）确定载荷 tmaxWT3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力例例3.33.3 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径径D D=89=89mmmm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mmmm，材料为材料为2020号钢，号钢，使用时的使用时的最大扭矩最大扭矩T=T=19301930NmNm, , =70=70MPaMPa. .校核此轴的强度。校核

12、此轴的强度。34340.9450.2(1)0.28.9 (10.945 )29tdDWD 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTW3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力例例3.33.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。解：解：当实心轴和空心轴的最大应力同当实心轴和空心轴的最大应力同 为为 时，两轴的许可扭矩分别为时，两轴的许可扭矩分别为311 16tTWD34342(1) (

13、90) (1 0.944 ) 1616TD若两轴强度相等，则若两轴强度相等，则T T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力224211(0.0531)22.2 1044DAm223232422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。积之比。42416.87 100.3122.2 10AA可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实

14、心轴的可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的3131% % 。实心轴和空心轴横截面面积为实心轴和空心轴横截面面积为ABCMAMBMC22 14 +_MPa84.6416/ )12. 0(102216/33311t11max1 dTWTMPa3 .7116/ )1 . 0(101416/333222t2max2 dTWT3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 PGITl niPiiiGIlT1m)rad(PGITl max m)rad(Pmaxmax GIT3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形180pTGI/ /m

15、m扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T T 、D D 和和 ，校核强度校核强度已知已知T T 和和 ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T T 、D D 和和 / / ，校核刚度校核刚度已知已知T T 和和 / / ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 / / ，确定许可载荷确定许可载荷3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形max tTW3116tWDmaxpTGI413 2pID例题例题3.63.63.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形maxTWt 某传动轴所承受的扭矩某传动轴所承受的扭矩T=200NmT=20

16、0Nm，轴的直径，轴的直径d=40mmd=40mm，材料的，材料的=40MPa=40MPa，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，许可单位长度转角，许可单位长度转角/ /=1 =1 /m/m。试校核轴的强度和刚。试校核轴的强度和刚度。度。 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P1=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1) (1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的

17、直径d d2 2； (2) (2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3) (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMABC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例题例题3.73.73.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件mm4 .86m104 .8611080

18、180764032180323429421GTd3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 按刚度条件按刚度条件4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm762d 5. 5.选同一直径时选同一直径时mm4 .861 dd3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 6.6.将将