电磁暂态数值积分方法

1、电磁暂态数值积分方法临沂师范学院物理系 杜煜摘要：电磁暂态仿真通常采用数值积分的方法求解系统的代数或微分、偏微分方程。电磁暂态仿真中的数值积分方法有梯形法，向前欧拉法，向后欧拉法，Simpson法和Gear 2法等。本文就以上几种时域离散方法进行分析，并讨论其精度和稳定性，找到最优算法CDA技术。关键词：电磁暂态；数值积分；时域离散；精度；稳定性；CDAElectromagnetic Transient Numerical Integration MethodsABSTRACT: Electromagnetic transient simulation usually adopts numer

2、ical integration methods to solve algebraic or differential, partial differential equations. The electromagnetic transient simulation numerical integration methods include Trapezoidal, Backward Euler, Forward Euler, Simpson and Gear second order. The paper analysis the methods and discuss the accura

3、cy and stability, then find the optimal algorithm, CDA technology.KEY WORD: Electromagnetic transient; numerical integration; time-domain discretion; accuracy; stability; CDA中图分类号：TM412 文献标识码：A 文章编号：0 引言电磁暂态过程仿真的主要目的在于分析和计算故障或操作后可能出现的暂态过电压和过电流，以便根据所得到的暂态过电压和过电流对相关电力设备进行合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限制和保护措

4、施1。电力系统电磁暂态过程仿真，需要详细考察元件的动态特性，一般采用微分方程描述，然后应用数值方法求解2。目前，电力系统仿真软件多采用隐式梯形积分方法或欧拉法对元件进行建模。梯形法会滤去接于电压源的电感上的高频电流，在电流强迫流经电感的情况下，又会放大跨接于电感上的高频电压。在前一情况下，梯形法的作用如积分器，它的性能很好；但在后一情况下，它作为微分器时性能很差，其结果表现为当电流的导数突变时的数值振荡，例如断路器遮断电流时的情况3。1 时域中的离散化技术对集中参数储能元件电感和电容，其暂态过程可以通过常用的数值积分方法，如梯形法，向后欧拉法，向前欧拉法，Simpson 法和Gear2法离散化

5、来模拟，从而得到离散时间系统的模型。1.1梯形算法应用梯形积分公式，在到的区间内取和的平均值连续时间系统中，电感两端的电压和流过电感的电流之间的关系为 （1）根据梯形公式对上式两边从到积分，并整理得（2）为便于进行网络分析，将上述等式改写为 （3） 为历史项，只与前一时间步长的电压和电流值有关。图1为连续时间系统和离散时间系统中电感电压和电流的关系。a) 连续时间系统电感b) 离散后的等效电感图1 连续时间系统电感和梯形法离散后的等效电感可以看出，在离散时间系统中，电感可由一个常数电导和历史电流源并联来表示。应用梯形法可以验证，在离散时间系统中，电容可由一个常数电导和历史电流源并联来表示。而时

6、域中的电阻模型比较简单，电阻两端的电压和流过电阻的电流不存在积分（或微分）关系，因此离散时间系统模型与连续时间系统模型差别不大，只是在表达方式上有所区别。1.2向后欧拉法向后欧拉公式，用时刻的值代替整个计算步长中的值，近似积分公式为 根据向后欧拉积分公式对式（1） （4）从到积分，并整理得 （5）为便于进行网络分析，将上述等式改写为 （6）这里，为历史项，只与前一时间步长的电流值有关。图2为连续时间系统和离散时间系统中电感电压和电流的关系。 a) 连续时间系统电感b) 离散后的等效电感图2 连续时间系统电感和向后欧拉法离散化后的等效电感可以看出，在离散时间系统中，电感L可由一个常数电导和历史电

7、流源并联来表示。应用向后欧拉法可以验证，在离散时间系统中，电容可由一个常数电导和历史电流源并联来表示。由于电阻模型的电压和电流之间不存在微积分关系，因此用向后欧拉法对电阻模型离散化后，其模型与梯形法积分得到的模型一致。实际上，用任何数值积分方法对电阻进行离散化，得到的模型都是一样的。1.3 向前欧拉法向前欧拉法，用值代替在到区间内的值 （7）向前欧拉法与向后欧拉法不同的是，用代替在到区间内的函数值，是一个显示积分公式。而向后欧拉公式和梯形积分公式的右端包括有时刻的函数值，属于隐式积分公式。计算稳定性表明，显示积分的稳定性比隐式的差，在实际数值求解中很少采用。1.4 Simpson法Simpso

8、n 公式又称抛物线公式，是通过，和时刻的抛物线代替积分函数得到的。 （8）公式用了三点处的函数值。从几何意义上也可以看出，在通常情况下，公式比梯形公式的精度要高。1.5 Gear 2法Gear 2 公式为4（9）用Gear 2公式对电感两端的电压和电流关系式积分得 1.6 积分算法比较以电感为例，式（1）为描述电感模型的微分方程。若以为输入，为输出，则模型为微分器；若以为输入，为输出，则为积分器模型。根据式（1）得对上式变形（均值定理）图3 微分方程曲线根据取不同点的函数值，可得到不同的积分结果，如表3所示。从表1可以看出，和=时间中点值这两种方法实际上是一种方法，只是表达方式不同。表1 不同

9、时的公式对照表公式方法向后欧拉法均值法=时间中点值均值法=函数的中点值梯形法对式（1）整理得对两边同时积分得用以上提到的积分算法对方程两边积分，并绘制面积曲线，得到表2。表2以电感为例几种积分法面积比较积分法则面积公式曲线梯形法向后欧拉法向前欧拉法Simpson法Gear 2法2 数值积分法精度对于大型电力系统，很难获得微分方程的解析解，最好的方法是将各元件在时间上离散化，一步步求得系统的解。当使用这种方法时，就要考虑时间步长和数值积分算法的选取，以及如何保证解的精确度和算法的稳定性。由于数值积分公式舍弃了高阶导数项，因而在每一步积分时都会产生误差。电路分析中往往必须多次调用线性代数方程组的求

10、解程序。因此选取合适的计算步长对解的精度影响很大。本文从线性系统的频率响应入手，以单个电感元件为例，说明数值积分算法的精度。将几种积分方法的频率响应曲线比较，如图4所示。图4 几种积分法的幅值和相角频率响应从图4中可以看出：1）向后欧拉法，梯形法，法，法这几种积分法的频率响应在低频段（，即奈奎斯特频率的）都接近1，即离散系统的数值积分算法和连续系统的解析算法比较，差别较小，算法的精度较高，基本上没有失真。2）法在低频段的响应效果更好，但是稳定性不高。3）梯形法没有相位偏移，但是在不连续点处出现数值振荡；4）向后欧拉法虽然在不连续点处不会出现数值振荡，但是存在较大的相位偏移；5）Gear 2法的

11、精度和稳定性介于梯形法和向后欧拉法之间；6）CDA技术则结合了梯形法和向后欧拉法这两种方法的优点。3 积分法的稳定性由于数值积分公式舍弃了高阶导数项，因而在每一步积分时都会产生误差，此误差即为局部截断误差。设前步的解（）都是精确的，定义当前时刻的积分公式得到的解与此时精确解的差为局部截断误差。本时刻的局部截断误差会对以后的解产生影响。一般说来，的误差除了它本身的局部截断误差外，还包括以前各时刻（）上解的误差的影响。在此提出绝对稳定性，即A-稳定性的概念，如果积分算法是A-稳定的，则此算法的稳定区域包含了整个复平面的左半平面。一个A-稳定的算法，不管取什么样的积分步长，当方程本身是稳定时，此积分

12、算法是稳定的。Dahliquist指出在绝对稳定的积分公式中没有超过二阶的，而在所有二阶方法中以梯形法的截断误差最小。他还进一步指出，任何显式积分算法都不是绝对稳定的。对于离散系统，其稳定的条件是系统的极点均在平面上以原点为中心的单位圆内，平面上的单位圆周为稳定的边界。如果系统中有极点在平面上的单位圆外，则系统就不稳定了5。3.1算法稳定性比较表3给出了独立的电感模型和RL串联模型在不同积分算法下的传递函数，零点和极点一目了然，根据域稳定判据，即极点在平面上以原点为中心的单位圆内时，系统稳定；极点在平面上的单位圆周上时，临界稳定；如果系统中有极点在平面上的单位圆外，则系统不稳定，可判断不同积分

13、算法的稳定性。表3 几种算法的零极点位置稳定性梯形法A稳定向后欧拉法A稳定向前欧拉法不稳定Simpson法条件稳定Gear 2法A稳定4 积分算法精度和稳定性比较表4 为以上几种积分法的精度和稳定性比较。表4 积分法精度和稳定性比较积分法则精度稳定性梯形法高一般， 绝对稳定向后欧拉法一般好， 绝对稳定向前欧拉法一般差Simpson法很高差Gear 2法一般一般，绝对稳定1）算法是否可行，亦即数值积分的解是否够精确，关键是看其方法的精度和稳定性。对都是稳定的算法，则要考虑它们的局部截断误差。2）隐式方法比较适用于暂态分析，这是由于稳定性方面的优点。向前欧拉法是显式积分，稳定性较差。3）向后欧拉法

14、，稳定性最好，但是局部截断误差较大，精度低。4）在所有二阶方法中以梯形法的截断误差最小。精度最好，因此，梯形法是结合精度与稳定性的较好的算法。5 结论梯形法在低频范围内精度较高，高频时仿真完全失真。对于向后欧拉法，虽然由于阻抗的存在使得离散系统产生了附加损耗，但使得系统网络仿真时的阻尼变大，这样能减弱梯形法产生的数值振荡6。梯形法在低频时精度高，但是稳定性不好；向后欧拉法稳定性好，但是精度不够高。由于梯形法的精度较高，向后欧拉法的阻尼较强，将两者结合在一起，即CDA技术，这样既保证了较高的精度，又不会产生数值振荡，非常适用于电力系统大型网络的仿真。参考文献：1 商立群，贾文胜. 电力系统电磁暂态技术仿真，仪器仪表学报，第26卷第8期增刊，2005年8月2 吴维韩，张芳榴等.电力系统过电压数值计算，科学出版社，19893 H. W. Dommel. 著，李永庄、林集明、曾昭华译，电力系统电磁暂态计算理论，水利电力出版社，1991年4 洪先龙，孙家广，吴启明，王泽毅，柳亚玲.计算机辅助电路分析算法和软件技术，清华大学出版社，1982年9月5 自