圆锥曲线(题型完美版)

1、高中数学选修2-1资料第一章圆锥曲线第一节椭圆i 椭圆的定义(1) 定义：平面内与两个定点Fi, F2的距离的和等于常数2a(2 a|FiF2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 另一种定义方式(见人教A版教材选修2- 1 P47例6、P50):平面内动点 M到定点F的距离和它到定直线I的距离之比等于常数e(0 v ev 1)的轨迹叫做椭圆.定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线I叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的 .2.椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程2 2y x2+72= 1(a>b>0)a b(3)范

2、围a< x< a, b< y < ba< yw a, b< x< b(4)中心原点O0 , 0)(5)顶点A( a, 0) , A(a, 0)B(0， b) , Ba(0 , b)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0， c) , F2(0 , c)(8)焦距2c= 2ja2- b2(9)离心率探(10)准线2 a x =± c2 a y=±w3.椭圆的焦点三角形椭圆上的点Rxo, yo)与两焦点构成的厶PF1F2叫做焦点三角形. 如图所示，设/ FiPR= 0 .(1) 当P为短轴端点时，0最大.1 sin 0Q(2) SAPF

3、F2=：| PF| PF| sin0 = b2 = b2tan = c| yo|，当| yo|= b,即即P为短轴端点时,2 1 + cos 02SA PFF2取最大值，为be.(3) 焦点三角形的周长为 2( a+ e).(4) 通径：过焦点的垂直于 x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离。大小为-2。题型一椭圆的定义【例1】(1)平面内与两个定点 F1, F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. 方程 mx+ ny2= 1( m>0, n>0, nr5 n)表示的曲线是椭圆.2 2y x(3)+口= 1(ar b)表示焦点在 y轴上的椭圆.()a b2 2 2 2x

4、 yy x g+ b= 1( a>b>0)与? + 了 = 1( a>b>0)的焦距相同.(【例2】已知方程2 2x y+ = 15 m m+ 3表示椭圆，则m的取值范围为(A.C.(-3,5)(1,5).(-3,1).(3,1) U (1,5)【变式1 】“3金5”“方程1表示椭圆”的(A.C.充分不必要条件充要条件.必要不充分条件既不充分也不必要条件【变式2方程 一25 m2y一 1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是16 m【变式2(2017?南开区模拟)已知椭圆10 m mD . 82y 1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于()2【变式(2013秋？西山

5、区校级期末)已知椭圆方程为x2+4y2=16,求出其顶点、焦点坐标及离心率.题型二椭圆的标准方程第一类定义法求轨迹方程2【例1】已知圆A: (x 2)2y 36，圆A内一定点B (2, 0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程.【例2】设动圆P与圆M :(x 3)2 y224外切，与N :(x 3)22y 100内切,求动圆圆心P的轨迹方. 2 2 .【变式1】已知圆C: (x 3) + y = 100及点 A 3,0) , P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线I与PC相交于点Q求点Q的轨迹方程.动圆P与圆M外切并且【变式 2 (2013 全国课标 I )已知圆 M (x+ 1)

6、2+ y2 = 1,圆 N: (x 1)2+ y2 = 9, 与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C,则C的方程为.第二类椭圆的标准方程【例1 已知椭圆经过点3J3P (2, 0)和点Q(1,-)，求椭圆的标准方程1有相同的焦点，并且经过点（3, 2），求此【例2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆椭圆的方程3 5【变式1】两个焦点的坐标是（0， 2）、（ 0, 2）,并且椭圆经过点（3,-）2 2【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点 P （3, 0）且a=3b,求椭圆的标准方程【例3】（2016?河东区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为-,且经过点M（1,卫）,2 2过点P

7、（2, 1）的直线I与椭圆C相交于不同的两点 A, B.求椭圆C的方程；【变式3】（2016秋？灌南县校级期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）焦点在x轴上，a=6, e=;3 3（2）焦点在y轴上，c=3, e=【例3】（2016春？伊宁市校级期中）已知椭圆的两焦点为Fi （0,-1 ）、F2 （0, 1）,直线y=4是椭圆的一条准线求椭圆方程.【例4】（2016秋？延安期末）在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 Fi，F2在x轴上, 离心率为上2，过R的直线I交C于A、B两点，且 ABF2的周长是16,求椭圆C的方程.2【变式4】（2015秋？霍邱县校级期末）已知椭圆

8、的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和 x轴上的较近端点的距离为 4（I 2 -1 ），求椭圆方程.【例5】（2015秋？永年县期末）已知 F, F2是椭圆的两个焦点，现有椭圆上一点M到两焦点的距离之和为20,且|MF1|、IF1F2I、|MF2|成等差数列，试求该椭圆的标准方程.2 2【变式5】（2016?天津）设椭圆字v 1（a3）的右焦点为F,右顶点为A,已知1OF1OA3eFA中O为原点，e为椭圆的离心率.求椭圆的方程;（垂直于焦点的弦）最短，通径为题型三椭圆的焦点三角形性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径性质二:2 X:已知椭圆方程为pa2 y b21(a

9、b0）,两焦点分别为F1, F2,设焦点三角形PF1F2中F1PF22,则 S 12 b tanq.性质三:2 x:已知椭圆方程为一2a2 y b21(ab0）,两焦点分别为F1, F2,设焦点三角形PF1F2中F1PF22,则 cos1 2e .【例1】2 2若P是椭圆xy1上的一点，10064F1、F2是其焦点，且F1PF260，求F1PF2的面积.【例2】2X已知F1、F2是椭圆飞a2 y b21(ab0）的两个焦点，椭圆上一点P使FfF?90，求椭a圆离心率e的取值范围。【变式1】已知Fi, F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ FiPF2= 60° .求椭圆离心率的范围

10、2 2【变式2】椭圆 厶 1上一点P与椭圆两个焦点Fi、F2的连线互相垂直，则厶F1PF2的面积为（）4924A.20B. 22C. 28D. 242X2 r【变式3】椭圆y1的左右焦点为F2, P是椭圆上一点，当厶FfF2的面积为1时，PF1 PF2的值为（A. 0)B. 1C. 3D. 61. （ 2017?崇明县一模）如图，已知椭圆C的中心为原点 O, F （-2、5 , 0）为C的左焦点，P为C上一点,3.已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 的方程。1有相同的焦点，并且经过点（3，-2），求此椭圆满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）2A2y- 1B2 x2厶125

11、530102222C .L 1Dx厶1361645252.已知椭圆的焦点是F1(0 ,-1)、F2（0,1） , P是椭圆上一点，并且PF+ PF2 2F1F2，则椭圆的标准方程是2 24.已知P为椭圆話弋1上的一点，&也是两个焦点，日吧120，求 VF1PF2的面积.2 2Xy我们根据椭圆 21 (a b 0)来研究椭圆的简单几何性质abb2代耐0%丿A2片1. 椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=± a和y=± b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足| x| < a, | y| < b.2. 椭圆的对称性2X对于椭圆标准方程ab21，把X换成-X

12、，或把y换成-y，或把X、y同时换成-X、-y，方程都不2变，所以椭圆笃a2匸1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心3. 椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点22x y椭圆r 21 ( a> b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为a bAi (-a, 0),A (a, 0), Bi (0, -b), B2 (0, b).线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AA|=2a , |BiB2|=2b.a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4. 椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫

13、做椭圆的离心率，用e表示，记作e2c2a因为a>c>0,所以e的取值范围是0v ev i.e越接近1,则c就越接近a,从而b a2 c2越小,因此椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0，从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当 a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2.要点诠释:椭圆2 x 2 a21的图象中线段的几何特征(如下图)：b2MlXKlAikFi0(1)(3)PFiBFiAiFipf2BF2A2F22a,|PFi|PF2| PMi | |PM 2 |e, |PMi|PM2| 至；cOFiof2c, AF2ARA，Babb2 ;

14、PFi5. 椭圆的第二定义、准线当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数-(0 e 1)时，这个点的轨迹是 ae是椭圆的离心率.的准线方程是x2告1,相应于焦点b2F(c,0)的准线方程是x2.根据对称性，相应于焦点F ( c,0)c22.对于椭圆与ca2务 1的准线方程是yb2可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义.由椭圆的第二定义|MF-1 e可得：右焦半径公式为|MF右| ed e| x | a ex ；左焦半径公dc2a式为 | MF左 | ed e| x () | a ex

15、.c题型一 椭圆简单的几何性质2 2【例1】求椭圆£1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆259【变式1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标【例2】已知椭圆mx2 5y25m m0的离心率为e求m的值.【例3】求椭圆 Z 1的右焦点和右准线；左焦点和左准线.2516【变式2】求椭圆9x2 y281方程的准线方程.题型二椭圆的离心率2 2【例1】（2017?河东区模拟）椭圆厶 1的离心率为 .432 2【变式1】（2017?河北区模拟）椭圆 1的离心率等于 .2516【例2】（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为.,3

16、：2的两段，求其离心率;（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率.【例3】从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200，则此椭圆的离心率【变式1】A.15B.G4D.12椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（2【例4】椭圆笃a【变式2】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 e2每 1上一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c,若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆b的离心率为2 2【例5】已知mn, n+ n成等差数列，m n, mn成等比数列，则椭圆 1的离心率为m n【变式3】已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆

17、的离心率是.2 2【例6】已知椭圆务 爲 1 ( a>0, b>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若BF丄BA,则称其 a b为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。【例7】在Rt ABC中,A 90 , AB AC 1，如果一个椭圆过 A B两点，它的一个焦点为 C,另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率.2_x【变式4】以F1、F2为焦点的椭圆 a2y2 = 1( a bb20 )上一动点P,当 F1PF2最大时 PF1F2的正切值为2，则此椭圆离心率 e的大小为【变式5】如图，椭圆中心在坐标原点uuu,F为左焦点，当FBuuuAB时,其离心率为,此类椭圆被称为“

18、黄金2椭圆” 类比“黄金椭圆”，可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于【变式6】如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AR与BF交于D,且 BDB1 90 ,则椭圆的离心率St1. 平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外,因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点 M （x, y），若点M (x,y)在椭圆上,则有2y_b21 (a0)；若点M (x,y)在椭圆内,则有2x2ay2b21 (a0)；若点M (x,y)在椭圆外,则有2 y b21 (a0).2. 直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b与椭圆的方程2 x 2 a2 y_ b2(ab 0）

19、联立成方程组，消元转化为关于元二次方程，其判别式为.厶0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）;< 0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点.3. 直线与椭圆的相交弦2x 设直线y kx b交椭圆a2y1 （a b 0）于点R（X1,yJ，巳区皿）,两点，则b2IP1P2I 、.(X1 X2)2 (y1 y2)2(x X2)21 (y1xiX：”E|xiX21同理可得I RP2 |y21 (k 0)这里|xi X21, | yi y21,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形:|Xi X2 |(Xi X2)2 4XiX2| yi y

20、21 , (yi y2)4yiy22【例i】若直线ykX i(k R)与椭圆 i恒有公共点，求实数 m的取值范围mx2【例2】对不同实数 m讨论直线y x m与椭圆一 y2 i的公共点的个数4【变式i】直线y=kx+i与焦点在x轴上的椭圆x2/9+y2/n=i总有公共点，求实数 m的取值范围是()A.i/2 < RK 9B.9v rk i0 C. K m< 9 D.iv m< 9【变式2】直线y=mxbi与椭圆x2+4y2=i有且只有一个交点，则R=()1234A.B.C.D.2345题型-:弦长22【例1】求直线x y +仁0被椭圆 乂 1截得的弦长164【变式1】已知椭圆

21、4x2 y2 1及直线y x m .(1 )当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为 乙卫，求直线的方程.5【例2】(2016秋？仙桃校级期末)已知椭圆A、B2y2 1，过左焦点F倾斜角为的直线交椭圆于96两点求弦AB的长.【变式2】(2016秋？黄陵县校级期末)已知椭圆2 2xyC：二 21 (a b 0)的一个顶点为 A (2, 0)ab，离心率为 .直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点 M N.2(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 求线段MN的长度.题型三点差法【例1】已知点P (4, 2)2是直线I被椭圆361所截得线段的中点，求直线 I的方程.【变式1】已知椭

22、圆x2751的一条弦的斜率为2513,它与直线x 的交点恰为这条弦的中点M，求点2M的坐标.【例2】已知椭圆E：2x2 +a2*= 1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A, B两点若AB的中点坐标为(1，- 1),E的方程为()2 2x yA. += 14536B.36+ 27= 1C.27+182 2x yD. += 11891【例3】过点M1,1)作斜率为一2的直线与椭圆C：2y2 = 1(a>b>0)相交于A, B两点，若M是线段AB的中2【变式2】过椭圆16【变式3】已知双曲线x2点，则椭圆C的离心率等于 1内一点M (2,1)引一条弦，使

23、弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。1，经过点M (1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。1.( 2016春？平凉校级期末)已知椭圆，短轴的长为2椭圆综合2 2x yM： - + 2= 1(a>b>0)的离心率为a b(1)求椭圆M的标准方程(2)若经过点(0, 2)的直线l与椭圆M交于P, Q两点，满足OP 0Q = 0,求I的方程.2 2XVL2. ( 2016秋？龙海市校级期末)已知椭圆C:云+含=1(a>b>0)的焦距为2. 6，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和

24、为6.(I)求椭圆C的方程;(H)设直线I : y=kx-2与椭圆C交于A, B两点，点P (0, 1)，且|PA|=|PB|，求直线I的方程.3. ( 2016秋？万州区校级期末)已知命题2p:方程-4 t2-1所表示的曲线为焦点在t 1X轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式t2(a 3)t (a 2)0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围;(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.4. ( 2016秋？邻水县期末)已知椭圆2 2x yC：二+ 2= 1( a>b>0)的离心率为a b左焦点为 F (-1，0)，过点D(0，2)且斜率为k的直线I交椭圆于

25、A, B两点.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 求k的取值范围.2 2 5. ( 2016秋？尖山区校级期末)已知椭圆 右+ b2= 1(a>b>0)的离心率为 弓，且a2 2b .(1 )求椭圆的方程；(2)直线I : x-y+n=O与椭圆交于A, B两点，是否存在实数 m使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在, 求出m的值；若不存在，说明理由.第二节双曲线1. 双曲线的定义在平面内，到两个定点Fi、F2的距离之差的 绝对值等于常数2a （ a大于o且2a RF?）的动点P的 轨迹叫作双曲线.这两个定点Fi、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距要点诠释：1.

26、双曲线的定义中，常数 2a应当满足的约束条件：| PF1 PF2 2a F1F2，这可以借助于三角形 中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解;2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：PF1PF2 2a F1F2 （ a 0 ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若PF2PF1 2a F1F2 （ a 0），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3. 若常数a满足约束条件：|PF1 PF2| 2a |F1F2，则动点轨迹是以Fi、F2为端点的两条射线（包 括端点）；4. 若常数a满足约束条件：PF| PF22a F1F2，则动点轨迹不存在；5. 若常数a 0，则动点轨

27、迹为线段 FiFz的垂直平分线.2. 双曲线的标准方程1.当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程：2 x2 ay2 b21 (a0,b20），其中c2.2a b ；222.当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程：y2x1 (a0,b20），其中c2,2abab2【例1】已知点F1( - 4,0)和 F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线方程为（)2222A.xy_1B.xy_1 = 1(y>0)9797C2 xy22 21或冬厶1D.2 xy21(x>0)'977997题型一双曲线的定义4，则动点P的轨迹是（【例2】已知点P(x,y)的坐标满足. (x 1)

28、2 (y 1)2,(x 3)2 (y 3)2A.椭圆B双曲线中的一支C两条射线D 以上都不对【变式1】“ab<0”是“曲线ax2 + by2= 1为双曲线”的（）C.充要条件D.既不充分也不必要条件已知 M(-2 , 0)、N(2, 0) , |PM|-|PN|=4 ,则动点 P 的轨迹是(A双曲线B.双曲线左边一支C一条射线D.双曲线右边一支【例3】2已知方程x2y1表示双曲线，则 k的取值范围是（)1 k1 kA.-1<k<1B.k>0C.k >0D.k>1 或 k<- 1【变式2】（2015?南市区校级模拟）【变式3】（2014?大连二模）如果方

29、程22丄1表示双曲线，则m 1m的取值范围是（A.充分不必要条件B.必要不充分条件A.( 2, +s)B . ( -2 , -1 ) C . (- 3 -1 ) D . ( 1, 2)3【变式3】已知双曲线8kx2- ky2=2的一个焦点为（0,），贝y k的值等于（）A. 2 B . 1 C . - 1 D题型一 双曲线的标准方程 类型一 定义法求双曲线的标准方程【例1】一动圆过定点 A 4,0），且与定圆B:（X 4）2+ y2= 16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为 【例2】动圆与圆x2 + y2= 1和x2 + y2 8x + 12 = 0都相外切，则动圆圆心的轨迹为 （）A.双曲线的一

30、支B圆C.抛物线D.双曲线【变式】已知圆G： （x + 3）2+ y2= 1和圆C2: （x 3）2+ y2= 9,动圆M同时与圆C及圆C2相外切，则动圆圆 心M的轨迹方程为.类型二 求双曲线的标准方程【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1） 已知两焦点F1（ 5,0）,F2（5,0）,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8.（2） 双曲线的一个焦点坐标为（0, 6），经过点A（ 5,6）.【例2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为3: 4，焦距为10的双曲线的标准方程【变式1】对称轴为坐标轴，经过点R3 , 2 7） , Q 6 2, 7）。2 2【例3】求与

31、双曲线蛊汽1有公共焦点，且过点（3丢）的双曲线的标准方程5【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在y轴，焦距为10, e的双曲线的标准方程焦点三角形:P /性质1 :若 FfF?则Sfpf b2cot特别地，当 FfF? 90时，有1 2 2S f1pf2 b .性质2 :双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。性质3:双曲线离心率为 e,其焦点三角形 PF1F2的旁心为A,线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则LBA-1 e.|AP|性质4:双曲线的焦点三角形PFR 中，PFF2,PF2F1当

32、点P在双曲线右支上时，有tan cot e1；22e当点P在双曲线左支上时，有cot tan e122e1【例1】已知Fi, F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且/ F1PB= 90°,则厶RPF的面积A. 1【变式1】已知双曲线2 2、y9 16 =1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线上一点 P使/ F1P= 90°,则厶RPR的面积是（）A. 12 B.16.24 D . 32【例2】双曲线焦点三角形F1PF2的内切圆与F1F2相切于点A，则|AF1.AF22 2【例3】设双曲线刍古1 a Qb 0 , F1、F2是其两个焦点，点p在双曲线右支上一点若离心率

33、e 2，tan 则.tan -2【例4】双曲线离心率为e，其焦点三角形 PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B ,若BA 4， AP|2，则离心率e _.1. 双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程2 2x y 72 1 (a 0,b 0)a b2 2y x 巴口 1(a 0,b 0)a b图形7i f i1 I i0x性质焦占八'、八、Fi( c,0) , F2(c,0)F1(0, c) , F2(0,c)焦距| F1F2 | 2c (c Va2 b2)|F1F21 2c(c Ja2 b2)范围xxa或 x a， y Ry ya或y a，x R对称性关于x轴

34、、y轴和原点对称顶点(a,0)(0, a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心率e (e 1) a渐近线方程by_xaay- xb要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y的系数,如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上2. 双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程:by xa2 2 2 2若双曲线方程为笃与 1，则其渐近线方程为务与 0a ba b已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“ 0”，然后因式分解即得

35、渐近线方程2 2与双曲线 刍 占 1有公共渐近线的双曲线方程可设为a2 b20)(0，焦点在x轴上,（2 ）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为mx ny 0，则可设双曲线方程为 m2x2 n2y2，根据已知条件，求出即可.2（3）与双曲线x2a2 y b21有公共渐近线的双曲线2 20，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x，因此等轴双曲线可设为 x2 y2（0）.3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为b .题型一 双曲线简单的几何性质【例1】求双曲线16x2 9y2144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率【变式1】双曲线

36、mX+ y2= 1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝U m等于（人1A.B. 4C. 44【例2】已知双曲线方程，求渐近线方程：2 2 2 2z xyxy(1) 1 ; ( 2) 19 169 16【变式2】求下列双曲线方程的渐近线方程:2 2X y2222(1)1 ; (2) x 2y 8; ( 3) y 2x 721636【变式3】中心在坐标原点,离心率为55的圆锥曲线的焦点在3y轴上,则它的渐近线方程为（)A.5443yX B .y xC . yx D.yx4534【例3】根据下列条件，求双曲线方程与双曲线x9 r 1有共同的渐近线，且过点（32；（2） 渐近线方程为3x2y 0，且双曲线过点

37、 M（8,6、. 3）【变式4】过点（2 ,-2）且与双曲线X-y22222A.y2L 1B.xy24422222C.y1D.xy4224【变式5】设双曲线2 2x y21(a0)的a9A.4B.3C2 222【变式6】双曲线-y1与笃y2a2 b2ab222112A.实轴焦占 八、八、C（0）有相同的（1有公共渐近线的双曲线是（3x 2y0，则a的值为（）B2【例4】双曲线142【变式7】双曲线9.渐近线.以上都不对A. 2 B2 y16的焦点到渐近线的距离等于1的焦点到渐近线的距离等于（题型二双曲线的离心率x2【例1】已知双曲线2 y2=1的一条渐近线方程为a2 b24y=3X，则双曲线的

38、离心率为2【变式1】已知双曲线务y2a2【例2】已知双曲线筈a2【例3】已知F1、F2是双曲线1(a2X2a3（a 0）的一条准线为x ?，则该双曲线的离心率为n.2）的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为32£ 1（a 0,b 0）的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MFF2,b2若边MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【变式2】已知双曲线 笃 y- 1 ( a>0, b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的a2 b2右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是【变式3】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的

39、四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为【例4】2已知双曲线笃a21 (a 0,b0)的左、右焦点分别为Fi、F2, p是准线上一点，且PFi丄PF,bI PFi |I PF? |= 4ab,则双曲线的离心率是【例5】2设Fi和F?为双曲线笃a2每 1( a 0,b0)的两个焦点，若Fi, F? , P(0,2b)是正三角形的三b个顶点，则双曲线的离心率为2x【变式4】过双曲线a2y i(a> 0, b> 0)的左焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线相交于M N两点,b以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于【变式5】设双曲线的一个焦点为 F ,虚

40、轴的一个端点为 B ,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为22【例6】已知双曲线冷 再 l,(aa b0,b 0)的左，右焦点分别为Fj F?,点P在双曲线的右支上，且| PFi | 4| PF? |,则此双曲线的离心率e的最大值为2 2X y【例7】双曲线 2 i (a>0, b>0)的两个焦点为 Fi、F2,若p为其上一点，且|PF|=2| PFq,则双曲a b线离心率的取值范围为2【变式6】双曲线仔a2占 i ( a 0, b 0)的左、右焦点分别是 Fi, F2，过Fi作倾斜角为30°的直线b1.直线与双曲线的位置关系Xy2将直线的方程y

41、 kx m与双曲线的方程2 1 (a 0,b 0)联立成方程组，消元转化为关于xa b或y的一元二次方程，其判别式为.(b2 a2k2)x2 2a2mkx a2m2 a2b20若b22 2a k0,即 k -,a直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;若b22 2a k0,即 k-,a厶0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；<0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点.直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.直线与双曲线的相交弦2 20)于点P(Xi，yJ ,巳化2),两点，则设直线y kx m

42、交双曲线务%1 (a 0,ba bIP1P2I .(xi X2)2 (yi y2)2.(xi X2)21(y1y2)2=1k2 |X1同理可得 | rp2 | , 1 ：2 I % y21 (k 0)这里I儿x21, | y1 y21,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形:|xi X2 | 、（X1 X2）4XlX2| yiy21 、,（yiy?）4沁2题型一直线与双曲线的位置关系【例1】直线I过点（1 , 1），与双曲线x22 y_41只有一个公共点，则满足条件的i有（）A.1条B.2条C.4条D.无数条【例2】已知双曲线x2-y2=4，直线I : y=k（x1），讨论直线与双曲线公共点个数

43、2【例3】过点P（、7,5）与双曲线72251有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。【变式i】“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 不充分不必要条件【变式2】若直线y=kx+1与曲线x=. y2 1有两个不同的交点，贝U k的取值范围是（）A.-、2<k<.2B.-. 2 <k<-1C.1< k< -2 D. k<- . 2 或 k> . 22y 1的交点个数是(【变式3】直线y=l(x 7)与双曲线 9A.0 个 B.1个 C.2D.4 个题型二弦长【例1】求直

44、线y1被双曲线1截得的弦长【例2】垂直于直线2y3 0的直线2xI被双曲线一204J51截得的弦长为，求直线I的方程.3【变式1】斜率为2的直线2I被双曲线52y41截得的弦长为2 5，则直线l的方程是(A.y=2x± 丿5B.y=2x± 山5C.y=2x ±D.5y=2x ± 心5【变式2】过双曲线16x2-9y2=144的右焦点作倾斜角为 一的弦AB则| AE|等于3题型三点差法2x在双曲线ab >0)中，若直线I与双曲线相交于 M N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为y0kMN ,则 kMN一X0b2 .a2同

45、理可证，在双曲线当a2(a > 0, b > 0)中，若直线I与双曲线相交于 M N两点，点P(x0, y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMN匹X。2ay.【例1】已知双曲线C : y21，过点P(2,1)作直线I交双曲线C于A B两点.若P恰为弦AB的中点,求直线I的方程.【例2】已知双曲线C：2x2 y22与点P(1,2).(1) 斜率为k且过点P的直线I与C有两个公共点，求k的取值范围;(2) 是否存在过点 P的弦AB使得AB的中点为P?(3) 试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在.【例3】设双曲线C的中心在原点，以抛物线 y2 2. 3x 4的顶

46、点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双 曲线的右准线.(I)试求双曲线 C的方程；(n)设直线I : y 2x 1与双曲线C交于代B两点，求 AB ；(川)对于直线I : y kx 1，是否存在这样的实数 k，使直线I与双曲线C的交点A,B关于直线l':y ax 4( a为常数)对称，若存在，求出 k值；若不存在，请说明理由.【变式1】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(. 7,0)，直线y x 1与其相交于 M N两点，MN的2中点的横坐标为2，则此双曲线的方程为(3【变式3】已知双曲线11，过点P( 23)作直线I交双曲线于A、B两点.A.2 X2y1 B.2 2Xy1C.2 2X y 1D.2 X2y 13443525【变式2】设A、B是双曲线2X2y1上两点，点N(1,2)是线段AB的中点.求直线AB的方程。2(1)求弦AB的中点M的轨迹;(2)若点P恰好是弦AB的中点，求直线I的方程和弦AB的长.双曲线综合2 21. ( 2016秋？宁城县期末)已知命题 p： k2-8k-20w 0,命题q：方程 一 1表示焦点在x轴上的双4 k 1 k曲线.(I) 命