圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

1、圆锥曲线21 .设椭圆M :笃a2£1 a、.22的右焦点为F,，直线I : x 一2与x轴交于点A ,7 a 2uur uur若OF, 2F,A （其中0为坐标原点).(1)求椭圆M的方程;(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N ：x22y 21的任意一条直径(E、F为直径的两个端点)，求PE PF的最大值.2 為1 a b2(I)求椭圆E的方程；(n)设椭圆E的上下顶点分别为 A, A2, P是椭圆上异于A, A的任一点，直线PA, PA2分别交x轴于点N,M ,若直线0T与过点M,N的圆G相切，切点为T.证明：线段0T的长为定值,并求出该定值2x2 .已知椭圆E：飞ab 0

2、的一个焦点为iE°，而且过点H心13、已知圆0：x2y22交x轴于A,B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为上的椭圆,其左焦点为F,若P是圆02上一点,连结PF,过原点0作直线PF的垂线交直线 x=-2于点Q.（I ）求椭圆C的标准方程；（n）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线pq与圆0相切;（川）试探究：当点P在圆0上运动时（不与A B重合）,直线PQ与圆0是否保持相切的位置关系 ？若是,请证明；若不是，请说明理由24设A（xyj B（X2, y2）是椭圆 与X2与 1（a b0）上的两点，满足（工上）（竺半）0，椭圆的离心率b2babae,短轴长为2, 0为坐标原点.2（1）求

3、椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F （0, c）, （c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（3）试问： AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由2 25、直线I : y = mx + 1 ，双曲线C: 3x y = 1 ,问是否存在 m的值，使l与C相交于A , B两点，且以AB为直 径的圆过原点26已知双曲线C：笃a2古 1(a o，b0）的两个焦点为F1（-2，0），F2（ 2，0），点P（3,J7）在曲线C上。（1）求双曲线C的坐标；（2）记O为坐标原点，过点Q（0,2）的直线I与双曲线C相交于不同两点 巳卩,若厶OEF的面积为2, 2， 求直线丨的方程

4、。2 27.已知椭圆C :务占 1( aa2b20）经过点A（2,1），离心率为,过点B（3, 0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M ,N . （1）求椭圆C的方程;(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM kAN为定值.x2&已知椭圆C1 :-a轴长为半径的圆相切。y2b2 1(a b °)的离心率为直线l：yx 22与以原点为圆心、以椭圆Ci的短半(I)求椭圆Ci的方程;(n)设椭圆Ci的左焦点为F1，右焦点为F2,直线li过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线 2垂直li于点P,线段PF的垂直平分线交12于点M求点M的轨迹G的方程；(川)若AC

5、BD为椭圆Ci的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2,求四边形 ABCD勺面积的最小值.2 29设F是椭圆C：笃再i(a b °)的左焦点，直线l为其左准线，直线I与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长 a b轴，已知 |MN |8,且 |PM | 2|MF | .(1) 求椭圆C的标准方程；(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：/ AFM=Z BFN(2) 求三角形ABF面积的最大值.10如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点M(2,1)，平行于0M的直线I在 y轴上的截距为 m(m 0)， I交椭圆于A、B两个不同点(1 )求椭圆的方程

6、；(2)求m的取值范围；(3)求证直 线MA MB与x轴始终围成一个等腰三角形。211已知椭圆C :务a2b21(a b 0)，左、右两个焦点分别为R、F2，上顶点A(0,b)，AF1F2为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C的标准方程及离心率;(2) O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点，求| PF2 |PO|的最小值，并求出此时点P的坐标.12如图，设P是圆x2 y2 2上的动点，PDL x轴，垂足为 D, M为线段PD上一点，且|PD|= .2 |MD|，点 A、Fi 的坐标分别为(0，), (- 1, 0 )。(1) 求点M的轨迹方程；(2) 求 |MA|+|MFi|的最大值，并求此

7、时点 M的坐标。x213.如图，在平面直角坐标系 xOy中。椭圆C:y2 1的右焦点为F，右准线为丨。2(1) 求到点F和直线丨的距离相等的点 G的轨迹方程。(2) 过点F作直线交椭圆 C于点 代B，又直线 OA交丨于点T ,若uuu uuuOT 2OA，求线段AB的长；(3)已知点M的坐标为xo,y。，Xo于点N，且和椭圆 C的一个交点为点uuu 2 uuuu uuir OP OM ON ?，若存在，求出实数0 ,直线OM交直线y°y 1P，是否存在实数，使得;若不存在，请说明理由。6欢迎下载第18题图圆锥曲线答案1解：(1)由题设知，A(UJLT 由OF,uur2AF10，得.所

8、以椭圆M的方程为M(2)方法1:设圆n ：x2则 PE PF NE NP从而求pe pf2a 0a2_a22 222Xy：62y2 2NFNP,F1.a2 2 ,0 ,uuur uuuuuir6 分NF NP NFNp?的最大值.因为P是椭圆M上的任意一点，设P Xo ,y。,2所以X0-62耸 1, 即 X02 6 3y02 .因为点N0,2，所以 NP?2 2Xoyo222y。112.k2 , 2，所以当y01时，np取得最大值12.所以PE PF的最大值为11.3分解得a2NP7 分 ULU2NP7分 npuiU2 uuir2 NF NP 1.10分11分12分13分14分直线PA1：y

9、1 -y 1x,令y0,得 XnX0y° 1直线PA2：y1y° 1x,令y0,得 XmX0.X0y0 1则 |OM |ON |X0X01 一 X02y° 1 y° 1|y° 12而X0y。241 ,即 X041 y,|OM| |ON | 4|OM | |ON | 42 由(I)可知 0,1 ,A2 0, 1 ,设 P x0, y0取线段MN的中点Q连接GQ,GM ,GO, r | GM | OT2 OG2 GM 2 (OQ2 QG2) (MQ2 QG2)2 2OQ MQ (| OQ MQ |)(| OQ | MQ |)|OT| 2.即线段OT

10、的长为定值2. 14分3 7.(14 分)解:(I )因为 a，所以 c=1,则 b=1,' 22 所以椭圆C的标准方程为 鼻 y21 5分21(n ) P(1,1), kpF，二 kOQ2, 直线 OQ的方程为 y=-2x,点 Q(-2,4)7 分2- kPQ 1,又koP 1, kOP kpQ 1,即OHPQ,故直线PQ与圆O相切 10分(川)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切11分证明：设 P(X0,y°)(x3.2),则心 2 xo,所以 kPF ,kOQ D,X01y°所以直线OQ的方程为yX01-Xy。所以点Q(-2,2 X0 2 ) y

11、76;-12分2x02y0所以kPQy 0y。2y。(2 X02)2X02X0x0 ,又 k°P13 分x0 2(X。2) y°(Xo2) y。yoX0所以k°pkpQ 1,即OPL PQ,故直线PQ始终与圆O相切.14分4 9解:(1) 2b2.b1,e Caa2 b22.e. 3椭圆的方程为1 x214.(2 分)(2)设AB的方程为y kx.31 (k24)x20x1X22 3kk24 1X1X21k24(4分)X1X20 b2y“2a2x1x21(kx1. 3)(kx24)X1X23k(x1 X2)-444k244、.3k 2.3k 3,解得 k44 k2

12、4(7 分)(3 )当当AB必为顶点 .Saao=1A为顶点时，B不为顶点时，设 AB的方程为y=kx+b8 分)y2y4kx b1 (k24)x22kbx b240得到 x22kb k2 4x-i x2b224x1x2k24 1 2(kx1b)(kx2 b)0X X20代入整理得:2b2 k24( 11分)12|b|x1 心2|b | , (X1 X2)24x-|X2 |b|,4k2 4b2162土 12|b|所以三角形的面积为定值12 分)976 解：(1)依题意c 2, .2aa2b2,解得:2 2a 2,b所以双曲线方程为(2)依题意可知，直线l的斜率存在设直线l的方程为y=kx+2，

13、E( xi,y-)，F ( x?, y?)，2由 y=kx+2 及22 2k )x 4kx 6.有两个交点，1 k2又厶=16k224(1k2)XiX261 k2/ | EF | r k2_x2)2_4X2k2(4k )224(1 k2)k2 12 O点到直线的距离为d 丄TH7丄 |EF|d 2、2 ,214,)2 A 2， k=.直线l的方程为y -2x 2或y2x12分4占1,a7 .解：(1 )由题意得2 ab2 c2ca2 .22故椭圆C的方程为y1 .63解得 aJ6, b .、, 3 .(2)由题意显然直线I的斜率存在，设直线I方程为k(x3)，y由x!6k(x 3),2y_3得

14、(1 2k2)x2 12k2x 18k2 6 1,0.因为直线I与椭圆C交于不同的两点所以144k44(1 2k2)(18k26)24(1 k2)解得1 k 1.N的坐标分别为(x1, yi)，(X2, y2),则 X1x212k212k2,X1X218k2126, y1 k(x12k23),y2k(X23).9 分kAMkANy X2210分(3k 1)(x22) (kx2 3k 1)(为 2)ZkxM (5k 1)(为 x2) 12k4(X12)(X22)x-|X2 2(x1x2) 4所以kAM8 6 .解:2 2 22k(18k6) (5k 1) 12k(12k4)(1 2k )18k2

15、 6 24k24(1 2k2)2.2k22kAN为定值14分(I) Qe2 c_ 2 aa2 b21a222 2a 2b直线l : x y0与圆2b相切2222 b, b2,b2 4, a28,2椭圆C的方程是8 MP=MF二动点 M到定直线l1 :l1为准线，F2为焦点的抛物线M的轨迹C2的方程为y2 8x 6分当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k,(n)是以点(川)x 2的距离等于它到定点F2 (2, 0)的距离,动点M的轨迹CA(X1,yJC(X2,y2)，则直线 AC的方程为 y k(x 2).2联立81 及 yk(x00002 )得(1 2k )x 8k x 8k8

16、0.所以X18k21 2k8k2 81 2k2 .|AC|,(1 k2)(x!X2)2,(1 疋)(为X2)24玄232(k21)由于直线BD的斜率为-代换上式中的k可得|BD|k1 2k2.32(1 k2)/ ACBD ,四边形ABCD的面积为S由(1 2k2)(k2 2) 口2 2丄 |AC|BD| ；6(1 k ) 22(k22)(1 2k2)2k2) (k2 2)23(k2 1)2 22k22所以S 64,当1 2k2 k2 2时,即k1时取等号.9易知，当直线 AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形13分ABCD勺面积S 89 解：(1)/ |MN | 8又 I PM | = 2 |M

17、F | 得2豆|中廉甲2早即齐得ae a = 4椭圆的标准方程为2 X16当AB的斜率为0时,当AB的斜率不为0时，设代 入(48m)2椭 圆4 144(3m2kAFkBFkAFkBF综上可知：恒有x120,从而AFMy2X2 2AFM122 y12显然1（舍去）AFMBFN 0.满足题意“儿1）, B（X2,y2），AB方程为4), y1my 6BFN.BFN S ABF Spbf S PAF | PF| | y2% 丨7216m2472 m242 3(m4) 163 m2my8,当且仅当16vm 即 m三角形ABF面积的最大值是10【解析】：（1）设椭圆方程为程 整 理48my12my1

18、y26(y1y223my2my2 672 m2 43m2 4722.316(3m224)y 48my1440 则2x2ay2(my16)(my2 6)1443m24也028 （此时适合3 > 0的条件）取得等号2b 1(a b0)a 2bj22a 8x y则 41 解得 2 所以椭圆方程乂1 b2282a b(2)因为直线I平行于0M且在y轴上的截距为 m又Kom1yxm12y xm由 222xy1821，所以I的方程为:22 2x 2mx 2m 40因为直线I与椭圆交于 A B两个不同点,(2 m)24(2 m24)0,所以m的取值范围是m| 2 m 2,m 0。设A(;syj,B(X2, y2)，则k1上y2 1X12x22由x22mx2m2 40可得X1X22m, x1x22m24而k1k2y1 1y21(y11)(X22) (y21)(为2)(3)设直线MA、MB的斜率分别为ki,k2，只要证明ki k? 0即可x1 2 x2 2(x-i 2)(x2 2)(1x1 m 1)(x22)(-x2 m 1)(x12)2 2x1x2 (m 2)( x-i x2) 4( m 1)X 2)(X22)化 2)(X2 2)2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m 1)(X12)(X22)11 解：(I )解:由题设得aa 2c 62.2 2ab c解得：a 2,b