几何变换的综合题目复习过程

1、关于几何变换的几道综合题【与旋转有关的几何证明题】1. ( 05北京)已知 ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边三角形 ABD、等边三 角形BCE、等边三角形 ACF .(1) 如图1,当 ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；(2)如图2,当 ABC中只有 ACB 60时，请你证明Sabc与S abd的和等于S bce与S ACF的和.毎正确地冯出一结论得1分，共4分.(訪解法一；过刈作AM 7/FGBCTM.连绪Mf、EM.因対= 60°.所以zc/ir,所 AF /MC.所址 四边AMCF *乎行四边形，乂因为 FAFC,所以£7如HUF

2、为董形.曲分所以 iC = MAM. _3_ ZMAC = 60°, 在甘/IC与bEMC中CA 工CM, "CBCB 写 CEr曆以%<?貝A£AfCSfy BA - EM与ARC 屮*AM = AC. />AM -ZLBAC. DA 二&&所以 = fJC.则 DMwES,DB = mL所以四边形対平行四边形. 7井M U纭WW十£咖 亠耳砂比B£f + $砒尸'即SgX十£片叩=+比NCT 谒分（2 ）解法二：过A作垂线，利用ACB 60将BC用AC、BC表示出来，进而将每部分的面积和都表示出

3、来，即可得证。此题目中包含了基本图形变换，其本质是旋转问题,但也体现了一些求面积的方法。【变化过程中不变的量及关系】2. （2008年广东省中山市）（1）在线段AD的同侧作等边三角形 连结BC .求/ AEB的大小；F如图OAB乙点0是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边 和等边三角形 OCD，连结AC和BD，相交于点 E,O旋转图7（2）如图8, OAB固定不动，保持（ OAB和 OCD不能重叠），求/ AEB的大小.解：(1)如图7./ BOC和厶ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点， OD=OC=OB=OA, / 仁/2=60 ° / 4= / 5.又/ 4+ / 5

4、= / 2=60 ° / 4=30 ° 同理，/ 6=30°./ / AEB= / 4+ / 6, / AEB=60° .(2)如图8. BOC和厶ABO都是等边三角形， OD=OC, OB=OA, / 1 = / 2=60° ,又 OD=OA, OD = OB, OA = OC, / 4= / 5,Z 6=Z 7./ / DOB= / 1+ / 3,/ AOC= / 2+Z 3, / DOB= / AOC.图7/ / 4+ / 5+ / DOB=180 , / 6+Z 7+ / AOC=180 2/ 5=2/ 6, / 5= / 6.又 /

5、AEB= / 8-/ 5,/ 8= / 2+Z 6, / AEB = Z 2+Z 5-Z 5=Z 2, Z AEB = 60 °这是一道变换条件但结论不变的变式题，纯几何图形的关于旋转的简单证明，注意图形之中有不变的量。其解法十分相似，第（1）题是第（2）题的特殊情形，第（2）题是第（1）题结论的推广，这体现了从特殊到一般的数学思想，利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变，数字可变，条件可变，结论亦可变，充满着神奇，孕育着创造！例1（2008湖北）小华将一张矩形纸片（如图 1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2）,其中 ACB，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的

6、位置摆放，EFD纸片的直角顶点 D落在 ACB纸片的斜边 AC上，直角边 DF落在AC所在的直线上（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当 EFD纸片沿CA 方向平移时（如图3），请你观察、测量 MB、MD的长度，猜想并写出 MB与MD的数量 关系，然后证明你的猜想；（2） 在（1）的条件下，求出BMD的大小（用含的式子表示），并说明当45。时,BMD是什么三角形？（3） 在图3的基础上，将 EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度 （旋转角度小于 90°, 此时 CGD变成 CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD （如图4）,请继续探 究MB与MD的数量关系

7、和BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明 为何值时，BMD为等边三角形AD图2EF图3图4解：(1) MB = MD 1证明： AG的中点为M 在Rt ABG中， MB AG2在Rt ADG中,1MD AG2二 MB =MDBMGBAMABM2 BAM同理DMGDAMADM2 DAMBMD :=2 BAM2 DAM=2 BAC而BAC900BMD1800 245'0时，BMD 900，此时BMD为等腰直角三角形.当MB = MD，(3)当 CGD绕点C逆时针旋转一定的角度，仍然存在BMD 18002故当600时，BMD为等边三角形。包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。【

8、阅读题类】4. 请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DFPG的中点，连结PG, PC .若 ABC BEF 60°,探究PG与PC的位置关系及的PC值.小聪同学的思路是：延长 GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.F请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：PG(1) 写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系及 竺的值；PC(2) 将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形 BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结

9、论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.解：(1)线段PG与PC的位置关系是 PG PC ;匹G.PC(2)猜想：(1)中的结论没有发生变化.证明：如图，延长 GP交AD于点H，连结CH, CG . Q P是线段DF的中点，FP DP .由题意可知AD / FG .GFP HDP .Q GPF HPD ,GFP HDP .GP HP , GF HD .Q 四边形 ABCD 是菱形，CD CB, HDC ABC 60°.由 ABC BEF 60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形 ABCD的边AB在同一条直线上，可得 GBC 60°.HDC GBC.Q四边形BE

10、FG是菱形，GF GB .HD GB . HDC GBC .CH CG , DCH BCG.DCH HCB BCG HCB 120°.即 HCG 120° .QCH CG , PH PG ,PG PC , GCP HCP 60°.PG -PC本题为阅读理解题，阅读材料，从中获取解题方法与思路，并运用这种方法解决问题【变化中的探究】5. ( 2008盐城)如图甲，在 ABC中，/ ACB为锐角.点 D为射线BC上一动点，连接 AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF .解答下列问题：(1)如果 AB=AC，/ BAC=90° . 当点D在线段BC

11、上时(与点B不重合)，如图乙，线段 CF、BD之间的位置关系为，数量关系为 . 当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？F图甲图乙第28题图图丙(2)如果 AB AC，/ BAO 90°，点D在线段 BC上运动.B G D图丁试探究：当 ABC满足一个什么条件时， CF丄BC （点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由.（画图不写作法）解：（1 CF与BD位置关系是 垂直、数量关系是相 等;当点D在BC的延长线上时的结论仍成立.由正方形 ADEF 得 AD=AF ，/ DAF=90o./ BAC=90o ,/ DAF= / BAC ,/-Z DAB=

12、/ FAC ,又 AB=AC , DAB FAC , CF=BDZ ACF= Z ABD .vZ BAC=90o, AB=AC , /Z ABC=45o，/Z ACF=45o, Z BCF= Z ACB+ Z ACF= 90o .即 CF 丄 BD(2 )画图正确当 Z BCA=45o 时，CF 丄 BD (如图丁).理由是：过点 A作AG丄AC交BC于点G,/. AC=AG 可证： GAD CAF /Z ACF= Z AGD=45oZ BCF= Z ACB+ Z ACF= 90o. 即 CF 丄 BD更开放，难度更大，在探究的过程中发现我们要寻找的结论。【坐标系中的变换一一与代数的结合】例2

13、 （2008苏州）课堂上，老师将图中 AOB绕0点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化.当 AOB旋转90o时，得到 AOB!.已知A（4,2）,B（3,0）. （1） AQB,的面积是 ; A点的坐标为（ , ）; B,点的坐标为（, ）;（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图中 AOB绕A0的中点C（2,）逆时针旋转90o得到 AO B ,设0B交0A于D , 0 A交x轴于E .此时A , 0和B的坐标分别为（1,3） , （3, 1）和（3,2），且0B经过B点.在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与 AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到

14、90o时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形 CEBD的面积.（3）在（2）的条件下， AOB外接圆的半径等于 .图图证明：(1) 3. A1( 2,4) , B1(0,3)(2)作 CG BD 于 G，CH x 轴于 H，Q B， B的横坐标相等，BB x轴， 四边形CHBG为矩形. 又QCG CH 1, 矩形CHBG为正方形.HCG 90° - Q ECD 90°,HCE在厶HCE和AGCD中，CHE CGD 90°CH CGHCE GCD HCE GCD .S四边形CEBD S正方形CHBG 1 -2这是一道坐标几何题，中考中的坐标几何题，

15、融丰富的几何图象于一题，包含的知识 点较多；代数变换（包括数式变换、方程变换、不等式变换）与几何推理巧妙融合，交相 辉映，数形结合思想和方法得到充分运用本题（2）中的面积的计算是根据旋转不变性，构造全等三角形，将四边形的面积进行转化，这是一种重要的数学思想方法7.（金华）如图，在平面直角坐标系中，已知 AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4）， 点B在第一象限，点 P是x轴上的一个动点，连结 AP，并把 AOP绕着点A按逆时针方 向旋转，使边 AO与AB重合，得到 ABD.（1）求直线AB的解析式；（2） 当点P运动到点（,3,0 ）时，求此时 DP的长及点D的坐标；43（3） 是否存在点

16、卩,使厶OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若4不存在，请说明理由解：（1）如图，过点 B作BE丄y轴于点E,作BF丄x轴于点F.由已知得BF=OE=2, OF= .4点 B的坐标是（2、322 = 2、3,2）设直线AB的解析式是y=kx+b，则有4 b2 2.3k bk解得b直线AB的解析式是y=x+43（2）如图， ABD由厶AOP旋转得到， ABD AOP , AP=AD ,/ DAB= / PAO，/ DAP= / BAO=60°, ADP是等边三角形， DP=AP= 42（ 3）2.19 .如图，过点 D作DH丄x轴于点H，延长EB交DH于点G, 则BG

17、丄DH.在 Rt BDG 中，/ BGD=90 0, / DBG=60 0._13 BG=BD?cos60 0=不 x-2 2DG=BD?sin60 0= 3 x3 = 32 OH=EG= § J, DH=-2 2点D的坐标为 （律,2（3）假设存在点P,在它的运动过程中，使 OPD的面积等于设点P为（t, 0）,下面分三种情况讨论：当 t>0 时，如图，BD=OP=t, DG= 2，4J3 DH=2+ t. / OPD的面积等于2 13、3-尹2 l"t） 丁， 解得ti tLz!,t3_V27 2虫点Pi的坐标为（, 0 ）2 3 （舍去）.4廳当vt W0寸，如图，BD=OP= t, BG=3 DH=GF=2 （酝 t） =2+t2 2 OPD的面积等于 ,4解得点2t(2tiI4.3.P2的坐标为（, 0），点P3的坐标为（,0