九年级数学第4讲二次函数探究_二次函数与平行四边形的综合问题教案

1、小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料1二次函数与平行四边形的综合问题知识点二次函数综合；平行四边形的性质及判定；教学目标1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2 .灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；复习预习平行四边形的判定与性质1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2性质：平行四边形两组对边分别平行；2平行四边形两组对边分别相等；3平行四边形两组对角分别相等；4平行四边形的对角线互相平分；3.判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3两组对角分别相等的四边形是平行

2、四边形；4对角线互相平分的四边形是平行四边形；5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；知识讲解考点 1 二次函数的基础知识1. 一般地，如果 y=ax2+bx+c (a, b, c 是常数且 0),那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.当b=c=0 时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数.2 22. 二次函数 y=ax +bx+c (a, b, c 是常数，a* 0)的三种表达形式分别为：一般式：y=ax +bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a (x-h)

3、2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a (x-xi) (x-X2),通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标 xi, X222b 4ac b2才能求出此解析式；对于 y=ax +bx+c 而言，其顶点坐标为(,-).对于 y=a (x- h) +k2a 4a而言其顶点坐标为(h, k), ?由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方 向，对称轴，顶点.考点 2探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3 个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有 两种：

4、小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料2第一种是：从给定的3 个顶点中任选 2 个定点确定的线段作为 探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是： 以给定的 3 个定点两两组合成 3 条线段， 分别以这 3 条线段为对角线作出平行四边形； 根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的 性质进行计算， 也可以利用全等三角形、 相似三角形或直角三角形的性质进行计算， 要具体情况具体分 析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。小

5、初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料3例题精析例 1 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( 4,0)、B(0, 4)、C(2,0)三点.(1) 求抛物线的解析式；(2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为 m MAB 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数 关系式，并求出 S 的最大值；(3)若点 P 是抛物线上的动点，点Q是直线y= x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料4例 2 如图，抛物线、-一 X 2x 3与 x 轴相交于A B两点（点 A 在点

6、B 的左侧），与 y 轴相交于点 C, 顶点为 D.（1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2） 连结 BC 与抛物线的对称轴交于点E,点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作 PF/DE 交抛物线 于点 F,设点 P 的横坐标为 m.1用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？2设 BCF 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系.小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料52例 3 如图，抛物线y二x -2X-3与 x 轴交 A、B 两点(A 点在 B 点左侧)，直线I与抛物线交于 A、C 两点, 其中 C 点

7、的横坐标为 2.(1 )求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；(2) P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；(3)点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F,使AC、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平 行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由.小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料62 _ _例 4 如图，抛物线 y=ax+bx+c 交 x 轴于点 A (-3,0 ),点 B (1,0 ),交 y 轴于点 E (0, -3 ),点 C 是点 A 关于点 B 的对称

8、点，点 F 是线段 BC 的中点，直线 I 过点 F 且与 y 轴平行，直线 y=-x+m 过点 C,交 y 轴于点 D.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H,与抛物线交于点 HG 长度的最大值；(3) 在直线 I 上取点 的坐标.G 求线段求点 N小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料7课程小结有针对性的对平行四边形的性质及判定与二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与平行四边形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与平行四边形的综合问题时，抓住已有的信息及 条件在函数图像中构造出平行四边形，

9、并能运用平行四边形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。例 1【规范解答】因为抛物线与 x 轴交于 A( 4,0)、C(2,0)两点，设 y = a(x + 4)(x 2).代入点1B(0, 4)，求得 a =.2所以抛物线的解析式为y = l(x 4)(x - 2)=丄x2 x - 4.2 21212MD =(-m-4)-( m m-4) m -2m.2 2122所以S=S.MDAS.MDBMD OA - -m-4m - -(m 2)4.因此当m二-2时，S 取得最大值,最大值为 4.(3)如果以点 P、Q B、O 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：x 4

10、.过点 M 作 x 轴的垂线交 AB 于 D ,那么小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料81当 0B 为一边时，那么 PQ/OB, PQ= OB= 4 .设点 Q 的坐标为(X, _x)，点 P 的坐标为(x,X2 X _ 4).2当点 P 在点 Q 上方时，Jx2 x -4) -(-x) =4解得x = 2_2 5.2此时点 Q 的坐标为(2+2j5,22J5)(如图 3),或(22j5,2+2j5)(如图 4).当点 Q 在点 P 上方时，(_x)一(丄x2 x_4) =4.2图 6【总结与反思】1. 求抛物线的解析式，设交点式比较简便.2. 把 MA 盼割为共底 MD 的两个三角形

11、，高的和为定值 0A3当 PQ 与 0B 平行且相等时，以点 P、Q B、0 为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程.例 2【规范解答】(1) A (- 1 , 0), B (3, 0) , C (0, 3).抛物线的对称轴是 x = 1.(2)直线 BC 的解析式为 y = x+ 3.把 x = 1 代入 y= x + 3,得 y = 2.所以点 E 的坐标为(1, 2).把 x = 1 代入 y =-x22x 3，得 y = 4.所以点 D 的坐标为(1, 4).因此 DE=2因为 PF/DE，点 P 的横坐标为 m,设点 P 的坐标为(m,-m - 3)

12、，点 F 的坐标为(0m22m 3),小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料9因此FP = ( m22m 3) -(m 3) = -m23m.当四边形 PEDF 是平行四边形时，DE=FP 于是得到-m2dmZ.解得m =2,m?= 1(与点小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料10E重合， 舍去). 因此，当 m=2 时,设直线四边形 PEDF 是平行四边形时.PFS = S.BCF = S BPF S CPF与 x 轴1 FP OM2交于点1 FP BM2M , 那么OM+BM=OB=3. 因此0 mi3.【总结与反思】1. 数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表

13、示2. 当四边形 PEDF 为平行四边形时，根据 DE=FP 列关于 m 的方程.3. 把 BCF 分割为两个共底 FP 的三角形，高的和等于 OB例 3【规范解答】 解：(1 )令 y=0，解得 X1= - 1 或 X2=3,. A (- 1, 0), B (3, 0),将 C 点的横坐标 x=2,代入 y=x2- 2x - 3,得：y=- 3,二 C (2,- 3);二直线 AC 的函数解析式是：(2)设 P 点的横坐标为 x (- K xw2),贝 U P、线段的长. P 点在 E 点的上方，PE=( - x- 1)y= - x - 1;E 的坐标分别为：P (x , - x - 1)

14、, E (x ,2129(x- 2x - 3) =- x+x+2=-( x-) +, 当4x2- 2x - 3),1x= 时，PE 的29最大值=;44 个这样的点F,分别是：Fi(1 , 0),F2(- 3, 0),F3(4+J7, 0), F4(4-眉,0).(3)存在连接 C 与抛物线和 y 轴的交点，那么 CG/ x 轴，此时 AF=CG=2 因此 F 点的坐标是(-3 , 0);小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料11小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料12AF=CG=2A点的坐标为(-1,0)，因此 F点的坐标为(1 , 0);因此 F 点的坐标为(1 , 0);如图

15、3，此时 C，G 两点的纵坐标关于 x 轴对称，因此 G 点的纵坐标为 3，代入抛物线中，即可得出G 点的坐标为（1 土 .7，3）,由于直线 GF 的斜率与直线 AC 的相同，因此可设直线 GF 的解析式为：y= - x+h，将 G 点代入后, 可得出直线的解析式为：y=- x+7.因此直线 GF 与 x 轴的交点 F 的坐标为：(4+、7, 0);同可求出 F 的坐标为：(4 -, 0);综合四种情况可得出，存在4 个符合条件的 F 点.【总结与反思】、21. 抛物线y=x -2x-3与 x 轴的交点即为 A 和 B,再将 A 和 C 带入求解直线方程。2. 将点 P 和点 E 坐标设出后

16、，求解最大值。3将已知 AC 边作为边或者对角线分类讨论求出点坐标。13例 4【规范解答】(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)(x+3).抛物线交 y 轴于点 E ( 0 , -3 ),将该点坐标代入得 a=1, 抛物线的函数表达式为2y=(x-1)(x+3)=x+2x-3.(2 ) 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 A 的坐标为(-3,0 )，点 B 的坐标(1,0 ), 点 C 的坐标(5,0 ).将点 C 的坐标代入 y=-x+m,得 m=5, 直线 CD 的函数表达式为 y=-x+5.小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选资料14小初高试题、试卷、习题、复习、教案精选

17、资料设 K 点的坐标为(t,0 ),则 H 点坐标为(t,-t+5), 点 G 的坐标为(t,t2+2t-3 )223241点 K 为线段 AB 上一动点， -3 t 1. HG=(-t+5)-(t+2t-3)=-t-3t+8=-(t+) +.4341 -3 t 1. 当 t=-3时，线段 HG 的长度有最大值41.24(3)v点 F 是线段 BC 的中点点 B( 1,)，点 C( 5,0),点 F 的坐标为(3,0),v直线|过点 F 且与 y 轴平行，直线 l 的函数表达式为 x=3, 点 M 在直线 I 上，点 N 在抛物线上，设点 M 的坐标为(3, m),点 N 的坐标为(n,n2+

18、2n-3 ).点 A (-3,0 )，点 C (5,0 ) . AC=8.分情况讨论：1若线段 AC 是以点 A,C,M,N 为顶点的平行四边形的边，则须 MIN/ AC,且 MN=AC=8 当点 N 在点 M 的左侧时，MN=3-n, 3-n=8，解得 n=-5，点 N 的坐标为(-5 , ,1 );当点 N 在点 M 的右侧时，MN= n-3, n-3=8，解得 n=11,二点 N 的坐标为(11, 140).2若线段 AC 是以点 A,C,M,N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 是点 A 关于点 B 的对称点”知：点 M 与点 N 关于点 B 中心对称，取点 F 关于 B 的对称点 P,则 P 的坐标为(-1,0 ),过 P 作 NP 丄 x 轴， 交抛物线于点 N,将 x=-1 代入 y=x+2x-3.得 y=-4，过点 N, B 作直线 NB 交直线 I 于点 M,在厶 BPN 与厶 BFM 中，/ NBP=/ MBF BF=BP / BPN 玄 BFM=90 , BPNABFM, NB=MB.四边形 ANCM 为平行四边形，坐标为(-1 , -4 )的点 N