塑性成形理论课后答案2修改

1、第一章201-10 .已知一点的应力状态 ij 50151010 MPa,试求该应力空间x 2y 2z 1的斜截面上的正应力n和切应力n为多少?1 AmB,n.A2B2C2，、A2B2 C211-2因此:|m112(-2)222312(-2)22212100s=(T x |+ t xym+T xzn=20050 -33312350s< =T xy l+ t yIT+t zyn =50150 -3332200s=T xz |+ t yzT+t zn=1003310013502200 2SxlSymSzn 33333321000111C22B2 C2解：若平面方程为 Ax+By+Cz+D=0

2、则方向余弦为:,122(-2)222s2s；100335032003125001-11ij解:J2125001000 21004020J113.4OXYZ坐标系中，物体某点的坐标为（4 , 3 ,-12),其应力量为503010，求出主应力，应力偏量及球量，八面体应力。z =100+50-10=1402 2x y yzxz2xy =100 X 50+50 X( -10 )+ 100X( -10 )-40 2-(-20)2-302=600J3123 = xy z 2 xyyz xz2x yz2xz2xy =-19200032140600192000c 1 =122.2, c 2=31.7,c m

3、=140/3=46.7CT 3=49.5ijo- 8=1-1253.346.7403.3203056.7c m =46.71 23 '. ( 1 2) ( 23设物体的应力场为imyz zx0，试求系数xyxzxxyzyxyyzxyzzxzyzxyz即：6 3c22y2c33c2有（1）可知：因为x因此，-6-3c 2=03c1-c 3=0联立（2 )、(3)和（即:C1 = 1 , C2 =-2,解：由应力平衡方程的:46.70046.73)2(31)26xy2 c1x3 ,2 2 26y3c1x3c2y2c3xy 3c2xy 03c1 -c3 x20与y为任意实数且为平方,4）式得

4、:C3=3501-13 .已知受力物体一点应力量为:ij508039.1|c2xy,2xy3c?y2C3X y ,C3X要使（5075(1)(2)1）为零，必须使其系数项为零,（3）（4）8075 MPa,求外法线方向余弦为301 1l=m= , n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。2 2解：S<=c x l+ t xy mT xz1n=50150801250 40、222Sy =T xyl +c y IT+t zy1n = 50 -7512537.5. 22SZ=T xzl +t yz T+c z1n=80 -175 30122.5 15.222S=111.7J1=20J2=160

5、25J3=-806250CT 3=58.6已知物体某点的应力量为c 3-20 c 2-16025 c +806250=0方程具有三个不相等的实根!c 1=-.2,c 2=99.6,1-14 .在直角坐标系中，10-1050-10-5-10a) ij-10100 MPa b) ij10500 MPa; c)耳10-5-10主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效MPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、 应力、应力偏量及球量。解：a）点的应力单元体如下图10-10a) ij10MPa该点的应力不变量:J1=10 MPa, J 2=200 MPa, J 3=0 MPa

6、,-1010主应力和主方向:cr 1 =20 MPa, 1=;m=02n=2c 2=-10 MPa, l=m= n=0er 3=0 MPa, l=；m=0 n=2 2主剪应力 t 12=± 15 MPa；T 23= ±5 MPa；T 12=±1O MPa最大剪应力 T ma>=15 MPa八面体应力 e 8=3.3 MPa ; t 8=12.47 MPa。等效应力一 26.45MPa应力偏量及球量。20030403-10 0-100 MPa； ij20310100 MPa；10 3b）点的应力单元体如下图050050 0 0 MPa该点的应力不变量：J1=1

7、0 MPa, J 2=2500 MPa, J 3=500 MPa,0 0 10主应力和主方向：e 1 =10 MPa, l=m= n=042e 2=50 MPa, l= m=； n=o ；2e 3=-50 MPa , l= m=； n=o 。2主剪应力 t 12=± 20 MPa；T 23= ±5 0 MPa；T 12=± 30 MPa 最大剪应力 T ma)=30 MPa八面体应力e8=3.3 MPa ；t 8=41.1 MPa。等效应力87.2MPa应力偏量及球量。10105000 03310cc10cij500MPa； ij00 MPa;3ij3201000

8、0 0c）-10-5-10ij -5-100 MPa该点的应力不变量：j1=-18 MPa , J 2=33 MPa,J 3=230 MPa,主应力和主方向：cr 1 =10 MPa, l=m= n=0c 2=50 MPa，1= m=c 3=-50 MPa , l= m=丘.；n=0。2t 12=± 30 MPa主剪应力 t 12=± 20 MPa；T 23= ±5 0 MPa；最大剪应力 t max=30 MPa八面体应力 c 8=-6MPa；T 8=9.7 MPa。等效应力=20.6MPa应力偏量及球量。-16-5-10ij -5-100 ；12ij1-23

9、),在板上每一点x=常数，试问y为多大时，等1-19 .平板在x方向均匀拉伸(图解：等效应力:图 1-23 （题 19）2(2(2()2 ( 2yzxz2 2 2xyy zxz)2(y)2(x)2y)2(y)2(x)2，要使等效应力最小，必须使y值最小，两边微分得:y)d等效应力最小值:min)(y)2( x)1-20 .在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成B角的一个平面上，其正应力为b(bV 0),切应力为T,且为最大切应力K,如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力b y及切应力t xy，且将b y、T yz及b x、t xy所在平面标注 在应力莫尔圆上。

10、图 1-24 (题 20)解：由题意得知塑性区一点在与 x轴交成B角的一个平面上的切应力为为最大切应力K,因此可以判断该平面为主剪平面， 又由于切应力方向为逆时针， 因此切应力为负，其位置为应图 1-25Ksin2第三章3-6 .某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为d x=75, (T y = 15, (T z=0, T xy = 15(应力单位为MPa,若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？ 解：由由密席斯屈服准则：1 22zz2 6 2xxy2yz2xzs 2 x yy得该材料的屈服应力为：1 2 2 2 2s 75 1515 00 756152 0 073.5MP

11、a23-7 试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为：证明：由密席斯屈服准则:(1)即：222123121323而：2122232223211 31 232所以：(1)式与(2 )式相等。3-8 试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于 弹性还是塑性状态？(材料为理想塑性材料)s005 s00a) j000 ,b)0ij5s0 ,00s004 s1.2s000.5 s00c) j00.1 s0 ,d)0ij00000000.6ss0000.45 s0e)ij00.5 s0,f)ij0.45 s00001.5 s000解：a）由屈雷斯加屈服准则：b 1- （T

12、3=b s得：b S-O = b s,存在。应力处于塑性状态。由密席斯屈服准则 洽 12 232 213 2 S。存在。应力处于塑性状态。b）由屈雷斯加屈服准则：T1- T 3= T S得：-4 T s + 5t S = T s ,存在。应力处于塑性状态。由密席斯屈服准则1-5 s-4 s存在。应力处于塑性状态。C）由屈雷斯加屈服准则：T1- T 3= T s得：1.2 T s-0 =1.2 T s >T s,不存在。由密席斯屈服准则I 1.20.1 s0.1 s0201.2 s1.33 s s不存在。d）由屈雷斯加屈服准则：T 1- T 3= T s得：0.5 T s + 0.6 T

13、s =1.1 T s>T s，不存在。 由密席斯屈服准则-0.5 s020 0.6 s-0.6 s0.5.0.96存在。应力处于弹性状态。e）由屈雷斯加屈服准则：t 态。由密席斯屈服准则1- T 3= T s得：-0.5 T s + 1.5 T s = T s= T s,存在，应力处于塑性状22ss-0.5 s1.5 s-1.5 s0.75存在。应力处于弹性状态。f)由屈雷斯加屈服准则：Tma)= (b 1- (T 3) /2= (T s/2得：T max =0.45 (T sVb s，存在，应力处于弹性状态。由密席斯屈服准则1 2 22【(x y)( y z)( z2 2x)6( xy

14、2yz2zx)0.45 s0.78 s存在。应力处于弹性状态。75-1503-9已知开始塑性变形时点的应力状态为j -15150 ，000试求：(1) 主应力大小；(2) 作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；(3) 作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。解：由于点的应力状态为平面应力状态，由1,2xy得主应75 151,2275 15152主应力为：t 1=78.54 ,最大切应力：T max=33.54T 2=11.46 , T 3=0单轴向屈服应力为:2xy22 xy67.08作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算:单轴向屈服应力：t s= t

15、 1- t 3=78.54 ;作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力:2(xy)2( yz)2(2 2 2 zx)26( xyyzzx2)(75 15)2(15 0)2 (0 75)26(1520 0)73.48t s=73.48第四章4-5 .有一金属块，在 x方向作用有150MPa的压应力。在 Y方向作用有150MPa的压应力，z3方向作用有200MPa的压应力。试求金属块的单位体积变化率(设E=207X 10 MPa v =0.3 )。解：各方向应力为：c x=c y=-150MPa,c z=-200MPa,则球应力为：c m=-166.7 MPa单位体积变化率为：4-6

16、 .已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。图 4-16 （题 15）解：设（T 1>b 2>b3，则:平均应力:应力偏量为:-1-3由列维米赛斯增量理论ijijd 得:1 2mEm1-2 0.3 m3166.7207 103即:£ m =-3.22 X 10-4d !4dd 2'2d-dd 3'3d-3d主应变简图如图示:4-7 .两端封闭的细长薄壁管平均直径为r，平均壁厚为I，承受压力p而产生塑性变形,管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。解：4-8 .求出下列两种情况下塑性应变增量的比:单向应力状态:纯

17、剪力应力状态:si、3解：设(T 1 >b 2>b 3,则:，因此,应力偏量为:由列维一米赛斯增量理论ijjd得：-d3塑性应变增量的比为:-2,-2,同理：s.dd解：已知纯剪力应力状态: 应力量为:ijs.3.3由列维一米赛斯增量理论d耳 Id得:d xy3 dd yzs d<3xz3d塑性应变增量的比为:xyxzyzyz第六章1. 20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为50X 50mm室温下压缩至高度h=25mm设接触 表面摩擦切应力t =0.2Y,已知丫=746& 0.20MPa试求所需变形力P和单位流动压 力p。解：圆柱压缩时体积不变，则当 h=25mm寸，50R 5

18、025 2 如'4 25H h 50 250.5H 50P u 0=t =0.2 Y =0.2 X 746 £ 0.20=129.9MPa 当 t = t maxt max=K=129.9MPa由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为 t =0.2Y，Y=746£ 0.20MPa设三个坐标方向的正应力 c r、八 和cz视为主应力, 且与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力 平衡方程为：(込十2皿+击洌申-込胡岔叶烈込厂创必一 2 口和山号谕=0令sin( d© /2)d©/2,并忽略二次微

19、分项，则得-dr由于轴对称条件，c r=CZ此时平衡方程简化为1-1根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为zr 2K或d rd z代入式(1-1)， 得d z2z .dr因此h2In zr C或h259.8 rzGe hr边界条件：当r R时,1-20。由近似屈服条件知，此时的Z 2K，代入方程式（1-2），可得2K竺RC1e h2KeR259.8h代入式（1-2 ），得2Ke259.8(R_r)h1-3因为：h=25, R=25 2，K=129.9MPa10.36(25 2 r)259.8e()所需变形力P为:zdsR10.36(25 2 r)0 259.8 e () 2 rdr7.5510压

20、板上的平均单位压力用p表示，则191.12MPa2.模压缩铝块，某瞬间锤头压力为500kN,坯料尺寸为50X 50x 100mm3如果工6-11)图 6-11 (题 2)具润滑良好，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力（如图解：从变形区取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度 h，宽度为 dx，长度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿 x轴坐标有dx的变量是,T y表示。摩擦力 如图所示。（T x相应的变化量就可用微分dg来表示。y方向上的压应力用f的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p，列出单元体的微分平衡方程:xhx)h 2f ydx2fy dx 02-1屈

21、服条件为:2k因此，d x将此式代入式（2-1 )整理得积分后得:In2 fxGe hy根据应力边界条件确定积分常数。应力边界条件为：当x b/2时，2k由屈服条件式，得x b/2(T2-2=P。代入式(2-2 )求系数C 得:2f bC12k p e722f(b x)ybP202k peh 2b竺(？ x)yhdx 2 2k p eh 2 hdx因此:已知锤头压力P为500kN,代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力p。3.圆柱体周围作用有均布压应力，如图6-12。用主应力求镦出力P和单位流动解：圆柱压缩为轴对称冋题，米用柱座标。设二个坐标方向的正应力（T r、 和T z视为主应力，且与对称轴

22、Z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示， 单元体沿径向的静力平衡方程为：+汕+必廉曲-馮必刘4眾馮严d阳尸2円曲dn（陆=）令sin （ d© / 2）d©/2，并忽略二次微分项，则得由于轴对称条件，T r=TZ此时平衡方程简化为2 zd t-dr3-1h根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为代入式(3-1 )，得2mk z ,-dr h因此In2mkr ChGe2mk r h3-2边界条件：当r R时，C r= （T 0。由近似屈服条件知，此时的 Z 2K + （T 0,代入方程式（3-2）,可得C,e2Kco或c . R2 mk_ h 0 eCi 2K代入式（3-2 ）

23、，得2mk.(R r)2K3-3所需变形力P为: 压板上的平均单位压力用p表示，则（不考虑材料加试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布 工硬化）图 6-14 （题 5）解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图6-14，为平面应力状态，设正应力(T r、ce为主应力，单元体沿径向的静力平衡方程为：d r r dr hdrhd2 Sin 二 hdr 0令sin ( dB /2) d 6 /2，并忽略二次微分项，则得5-1dr将屈服条件T r T 6=2K代入上式得2KI nr C积分常数C根据凸缘的外缘处(r=R)的r=0边界条件，得积分常数C 2KI nR5-2凸缘变形区的应力分布为:2

24、KIn R/r第七章7-10解：已知a族是直线族，B族为一族同心圆，c点的平均应力为：c mc=90MPa最大切应力为 K=60MPa C点应力为：xcme2ksin2 c9060 si n230MPaycme2ksin2 e9060 si n2150MPaxyK cos 2 e 05图 7-1z由于B点在a族上，a族是直线族，因此，所以B点应力状态和C点相同D点在B族上，B族为一族同心圆，因此由沿线性质得:m cmd2k(cd)即：m dmc2k ( cd)90 2k690 20D点应力为：5xdmd 2k sin 2 e902060 si n6122.8MPaydmd 2ksin2 e90

25、2060sin56182.8MPa5 xy K cos2 e 60? cos -51.96D点的应力莫尔圆图 7-2z7-11试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷P（图7-36）。设冲头宽度为2b,长为I，且l»2b。解：（1）确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于平冲头光滑，故可认为冲头与坯料 之间无摩擦，因此 AO区域可看成是光滑（无摩擦）接触表面，滑移线场和确定 a、B方向如图教材中图7-10o AB区域表面不受力，可看成是自由表面，但受 AOD区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第2种情况，滑移线场和确定a、B方向如图如图7-9b所

26、示，在均匀滑移线场 ADO和ABC之间必然存在简单 滑移线场，由此确定出光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时滑移线场， 如图7-3z o取一条a线BCDOS行分析，由于B点在自由表面上，故其单元体只有一个压 应力，由此可判断出 （T 1c=0，根据屈服准则，C 1C 3=2k，因此，C 3c= 2k。而平均应力 T mc=( T 1c+ T 3c)/2，可得已知o点在光滑接触表面上，因此/4，其单元体上承受冲头压力和金属向两边流动的挤压力，即存在 T x，T y作用，均为压应力，且 T 3=T y=-p， 其绝对值应大于T x，根据屈服准则可得 T 1= T x=-p+2k，平均应力T m

27、=-p+k（3）求角度。3 b为 n /4+ 丫。3 c=n /4 一(冗 /4+ 丫)=一冗 /2 一丫对a线BCD（进行分析。接触面AO上的O点的夹角3 o为一n /4，在自由表面 AB上的B点的夹角贝=3 0- 3 B=3 D-momB2k(b) 2k得:p k ( k)2k(2) k即:极限载荷P为：P2blp 2blk（4）求极限载荷 由汉盖应力方程式CT m=解：已知直线AB是B线，其上 但也是直线，直线上的 可通过圆弧mCmB2k( cb) 2k即:mCk)2kmC即AC线上（T m为:mC7-13图7-37为一中心扇形场，圆弧是a线，径向直线是B线，若AB线上 =-k ，t m

28、=-k，故B点的t mB=-k， AC线是B线,(T mT m相同，求出C点的T m，即得到AC线上TC点的BC求，已知圆弧BC是a线，由汉盖应力方程式7-14具有尖角2 丫的楔体，图7-38在外力P作用下插入协调角度的V型缺口， 试按1）楔体与V型缺口完全光滑和2）楔体与V型缺口完全粗糙做出滑移场，求 出极限载荷。2b“i图 7-4 z第一种情况：楔体与V型缺口完全光滑解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于冲头光滑，故可认为冲头与坯料之 间无摩擦，因此AB区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定a、B方向如图教材中图7-10 0 AE区域表面不受力，可看成是自由表面，

29、但受ABC区域金属 流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定a、B方向如 图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和ADE之间必然存在简单滑移线场，由此 确定出具有尖角2丫的楔体在外力P作用下插入完全光滑的 V型缺口时的滑移线 场，如图7-4z o(2)求平均单位压力和角度。AB面是光滑接触表面上，因此/4 。由于垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力，因此，可以确定平行于 AB面的压应力为(7 1,垂直于 AB面的压应力为7 3=-p，根据屈服准则，7 17 3=2k，因此，7 1=2k+7 3=2k-p，而平均应力7 mE=( 7 1+ 7 3)/2，可得 mB k

30、 - P 0AE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出7 1E=0，根据屈服准则，7 1 7 3=2k，因此，7 3E= 2k。而平均应力7 mE=( 7 1e+ 7 3e)/2，可得mE/4(3)求极限载荷已知BCDE线为a线，由汉盖应力方程式2k( be)得：p k (k)2k(-7) 2k44即：p 2k 1极限载荷P为：P2blp/si n4blk1/sinmBmE第二种情况：楔体与V型缺口完全粗糙做出滑移场图 7-5z解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于楔体与 V型缺口完全粗糙，故可认 为冲头下坯料为变形刚性区。AE区域表面不受力，可看成是自由表面，

31、但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定a、B方向如图如图7-9b所示，三角形ABC和 ADE存在简单滑移线场，由此确定出 具有尖角2丫的楔体在外力P作用下插入完全粗糙的 V型缺口时的滑移线场，如 图 7-5z。(2)求平均单位压力和角度。AE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出 c ie=0，根据屈服 准则，C 1 c 3=2k，因此，c 3E= 2k。而平均应力c mE=( c 1e+ c 3E)/2，可得mE/4，三角形ABC是难变形区，该区的金属受到强烈的等值三相压应力，AC面是摩擦接触表面上，垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力

32、作用，不发生塑 性变形，好像是冲头下面的刚性金属楔，成为冲头的一个补充部分。CD为a线，C /4 。由于垂直于CD面的压应力大于平行于 CD面的压应力，因此，可以确定平行于CD面的压应力为c i,垂直于CD面的压应力为c3=-p，根据屈服准 则，c 1c 3=2k，因此，c 1=2k+ c 3=2k-p，而平均应力 c m=( c 1c+ c 3c)/2，可得 c m= k-p。(3)求极限载荷 已知CDE线为a线，由汉盖应力方程式mCmE2k( ce)得：k p ( k) 2k(-4-) 2k4即: p 2k 1极限载荷P为：P 2blp/sin4blk1/sin7-15何谓滑移线？用滑移线

33、法求解宽度为2b的窄长平面冲头压入半无限体的单位流动压力p。材料为理想刚塑性体，屈服剪应力为K;参见图7-39解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，设冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间 无摩擦，因此AB区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定a、B方向如图教材中图7-10。BE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流 动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况， 滑移线场和确定a、B方向如图 如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和BDE之间必然存在简单滑移线场，由此确 定出宽度为2b的窄长平面冲头压入半无限体的滑移线场，如图7-6z。2b图 7-6z(2)求平均

34、单位压力和角度。AB面是光滑接触表面上，因此/4。由于垂直于 AB面的压应力大于平行于AB面的压应力，因此，可以确定平行于 AB面的压应力为c 1,垂直于AB 面的压应力为c3=-p，根据屈服准则，c ic 3=2k，因此，c i=2k+c3=2k-p，而平均应力 c mA=( c l+ c 3)/2，可得 mA k - p。BE面是自由表面上，即只有一个压应力，由此可判断出c 1E=0,根据屈服准则，c 1c 3=2k，因此，c 3E= 2k。而平均应力 c mE=( c 1e+ c 3e)/2，可得 c mE=-k。/4(3)求极限载荷已知ACDE线为a线，由汉盖应力方程式mAmE2k( ae)得: k p ( k) 2k(-)即:p 2k11极限载荷P为：p 2blp 4blk 1第八章8-7模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示。试分别计算其上限载荷P?并与滑移线作比较，说明何种模式的上限解为最优？图 819 （题 8）解：（1）模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第一个图图 8-1z四个刚性区A、B、C和D相对滑动，刚性区0为死区，其速度图如图8-1z 若冲头的宽度为2b，平均极限压力为P,根据功率平衡原理，可得：pVoHAB Vab AC Vac BC VbC CD VCD k2Vo 2Vo 2Vo 2