电容、部分电容与工作电容

1、电容、部分电容与工作电容兼答实验1的思考题2陈德智（1）电容两个导体之间存在电容。电容的因果关系是这样的：如果导体带电，则在空间产生电场；电场的分布使得两导体出现一定的电位差，其值U与导体带电量q成正比。电容C即定义为导体带电量q与电压U的比值。因此，电容是对电场的一种集中参数化的描述。只要电场的分布是确定的，两导体之间的电容也是确定的。任意两个导体，无论形态差异多大，都有电容存在。此外，需要说明一点，如果空间只有两个导体，则隐含着两导体带电量必然为和，以满足电荷守恒定律。当讨论多个导体时，各导体的电荷总量也必须满足。当系统中出现第三个导体时，用部分电容描述导体两两之间的关联关系。为叙述方便，

2、把原来的两个导体编号为1、2，把第三个导体编号为0。此时，导体1、2之间出现部分电容C12，对电路来说还有工作电容Cp。讨论三个电容值C、C12和Cp的数值关系是一个饶有趣味的话题。（2）工作电容图1 工作电容首先考察工作电容Cp的含义。无疑，如果只有一对导体（编号1、2），将其接入电路中，那么工作电容Cp就等于电容C，即导体带电量q与电压U的比值：。设若保持两导体的带电量q不变，而在场中另外放置一个不带电的导体（编号为0），则第三个导体0的出现必然改变空间电场的分布，从而导致电压U发生变化，设新的电压值为。对于连结两个导体1、2的电路来说，它并不知道场中具体发生了什么变化，它只关心导体上的电

3、荷与导体之间电压的比值，对它而言，工作电容为。换言之，工作电容就是，在介质中可能存在其它不带电导体的情况下，两个带电导体的电荷q与电压U的比值；当不存在其它导体的时候，工作电容Cp就是普通的电容C。如图1，工作电容；设0号导体不带电，则导体1、2带电量分别为、。根据部分电容公式，有：又，由电容C10和C20的串联关系得：故：从而：。现在分析Cp与C的大小关系。前面说到，Cp的改变在于0号导体（电荷为0）的引入改变了空间电场的分布，从而改变了导体1、2之间的电压。当0号导体位于无限远处时，它对电场的影响忽略不计，因此也就不改变导体1、2之间的工作电容，Cp=C。当0号导体逐渐移近时，保持导体1、

4、2带电量q不变，我们考察1、2号导体之间的电压U12的变化。(a) 没有0号导体时(b) 有0号导体时图2 0号导体的引入改变了1、2之间的空间电场为计算U12，可以取连结导体1、2表面的任意一条路径对电场E积分，如图2(a)中的l1和l2。为便于分析，设l1的端点a和b分别为导体1、2表面电场强度E最大的点，我们知道，该点的电场强度，、为导体表面的自由电荷面密度。显然，、也分别为导体1和导体2表面电荷面密度的最大值。当0号导体逐渐移近时，如图2(b)，由于0号导体上感应电荷的影响，导体1上的电荷分布发生改变，a点的部分电荷向靠近0号导体的位置（例如图中的c点附近）转移，这样变小；类似的，也变

5、小，从而沿路径l1上的电场强度E都变小，导致积分量变小，因此，工作电容变大。0号导体对工作电容的影响还可以这样理解：两导体之间的电容取决于导体的表面积和它们之间的距离。当引入第三个导体时，部分介质被短路，因而缩短了导体1、2之间的“电距离”，从而使等效电容增大。从力和能量的角度看，导体系统的总能量可表示为；当0号导体向导体1、2组成的系统靠近时，它受到系统的吸引力，因此电场做正功，从而电场能量减少，也得出Cp增大的结论。综上，可以得出结论：引入其他导体时，工作电容。使用大于等于号“”，是因为存在这样的情形：引入的导体表面刚好填充原来的等位面，则不改变原来的电场分布。读者可以自己寻找这样的例子。

6、图3 部分电容的计算（2）部分电容C12根据部分电容的公式，如果将导体1跟导体0短接，即令，则需要注意这个公式和工作电容计算公式的区别。计算工作电容Cp时，0号导体不带电；而计算部分电容C12时，0号导体带电，它与1号导体带电总量为q。0号导体的带电量可以看做是与1号导体短接后分走的部分电荷。设导体2带电量仍为，则1号导体剩余的带电量为。三个导体带电总量仍为0，如图3所示。可以肯定，当0号导体逐渐靠近导体1、2时，它分得的电荷逐步增多，导体1带电量逐步减少，电压也随之下降。因此，要想保持不变，唯一的办法是增大电压，因此0号导体的靠近使部分电容C12减小。0号导体分走的电荷量，在特定条件下可以是

7、全部电荷q，从而使C12减小到0（参见下文的算例1）；但是，即使0号导体位于无限远处，仍可能有，即（参见下文算例2、算例3）。（3）算例验证（以下推导全部用Mathematica完成）图4 平行板电容器算例1：在1、2两个导体组成的平行电容器中，插入一个导体板（编号为0），分析工作电容和部分电容。参数如图4所示，设极板面积为S；忽略边缘效应。解：没有导体0时，电容。插入导体0后，如果保持导体1、2带电量不变，而导体0不带电，则极板表面的电荷面密度也不改变，从而极板间电场E保持不变，1、2之间的电压降变为，因此，工作电容可见，导体0的插入，相当于等效地减小了极板间距d。为计算部分电容C12，我们

8、将1号导体与0号导体短接，此时电压；导体1、0之间无电场，从而导体1带电量，这个结果不因导体2无论带电量多少、电位多少而改变，因此部分电容。它说明，导板1、2之间的电相互作用被导体0完全隔断了！这就是静电屏蔽的效果。当1号导体与0号导体短接时，导体1上的电荷q全部跑到导体0上；导体0、2之间的电压。由部分电容公式，得到。同理得到。从电路的角度看，图4中的工作电容可以看做是与的串联，计算得到与前面结果相等。这是一个的例子，我们看到了。算例2：如图5，计算距地面高度为h的两平行长直输电线之间的部分电容与工作电容，设导线半径为a，导线间距为d，。（教材128页，例3.21）。图5 距地面高度为h的两

9、平行长直输电线解：不考虑地面影响时，根据例3.19的结论，单位长度输电线之间的电容为。考虑地面影响时，对电势系数矩阵求逆，得到单位长度输电线之间的部分电容为，工作电容为。当参数取h= 10m，d= 2m，a= 1cm时，计得，。，与我们前面的定性分析相符（书上给出的计算结果误差稍大）。当h变小时，的关系会更加明显。例如，取h=0.1m，其它参数不变，得到，。当h非常大，例如大到10100m，其它参数不变，得到，（）。可见，地面作为一个无限大的导体平面，其影响是非常显著的。算例3：把上例中的长直圆柱导体改为半径为a的两个导体球，其它参数不变。解：两个导体球之间的电场分布不能用单一镜像法计算，但是

10、，如果两球距离远大于其半径，则可将电荷近似看做是位于球心处来计算空间电场的分布。容易得到：（1）没有地面时的电容当地面不存在时，设导体带电量为，则导体电位分别为所以两球之间电压为两球之间的电容为工作电容与C相同。图6带电导体球对地面的镜像（2）存在地面时的电容存在地面时，使用镜像法求解电场分布，仍然将电荷近似位于球心处。导体球电位分别为所以两球之间电压为故工作电容为为计算部分电容，我们令两导体球带同样的电荷q，此时，。由于对称性，有故，根据部分电容公式，有故由，得到图7给出了随着h增大时，工作电容Cp和部分电容C12的变化情况。(a) Cp随h增大时的变化(b) C12随h增大时的变化情况图7随h增大时，工作电容Cp和部分电容C12的变化（注意：为便于作图，纵坐标用进行了归化）可以看到，0号导体的引入，使得工作电容增大。随着h的增大，0号导体逐渐远离，影响减弱，减小。当时，在意料之中。随着h的增大0号导体逐渐远离，部分电容迅速增大，但是，当时，并不收敛到C，而是。这说明，尽管0号导体远离导体1和2，如果将它与导体1相连，它还是可以分走导体1上的相当一部分电荷。本题中当大地位于无限远时，还有一种方法计算。我们应该记得点电荷在接地导体球1上引起的感应电荷