勾股定理综合性难题及答案

1、勾股定理练习题1、如图，己知：在中，匕4。3=90。，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等 2、直角三角形的面积为S斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）（A）y/d2 + S+2d椅-S-d(C)2d + S + 2d(D)2d + S + d3、如图所示，在 RtABC ,ABAC = 90 :AC = AB,ZDAE = 45 °BD = 3ACE = 4,求DE的长.C4、如图在RtAABC中,匕0 = 90A,人0 = 4,30=3,在riaabc的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示:要求

2、：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角 形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）5. 已知：如图，AABC中，ZC = 90：点。为ZXABC的三条角平分线的交点，ODLBC, OE± AC, OF1AB,点D、E、F分别是垂足，且 BC = 8cm, CA = 6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于cm第5题图6. 如图，在AABC中，AB=AC, P为BC上任意一点，请说明： AB2-AP2=PBXPCo7.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；

3、另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45。角，作业时调整为60。角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m.9.BC上，且DE已知：如图，AABC中，±DF,求证：AE2+BF2=EF2.10.己知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE= 4求证：AF±FE.11.已知AABC中，a2+b2+c2-10a+24b+26c-338,试判定AABC的形状，并说明你的理由.12.已知a、b、c是AABC的三边，5. a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三

4、角形的形状13.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经 过四 个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四个侧面缠 绕n圈 到达点B,那么所用细线最短需要多长？14.三角形的三边长为=疽+20,则这个三角形是（）（A）等边三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）锐角三角形勾股定理练习题答案1、如图，已知：在&招。中，ZAC3=90。，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等2、直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d,则这个三角形周长为(A ) Jd+ S + 2<

5、;7= a)222解：设两直角边分别为b,斜边为c,则c = 2d 2.由勾股定理，得a-+b=c .(a + bA = a2 + 2ab + b 2 = c2 + 4S = 4d' + 4S所以所以 a+b = 2Vd 2 + S以 a + /? + c= 2 捐可 M + 2d.故选(。3、如图所示，RtAABC 中，ZBAC = 90。, AC? = AB,ZDAE = 45。且 BD = 3CE = 4 ADE 的长.解：如右图：因为AABC为等腰直角三角形，所以ZABZ) = ZC = 45 °所以把MEC绕点A旋转到AFB，贝U AAFB = AAEC.所以BF

6、= EC = 4,AF = AE,ZABF = ZC = 45° a°f所以少"为直角三角形.由勾股定理，得DF2= BF 2 +切2 = 42 + 32 = 52 .所以班=5 .因为 ZDAE = 45；所以 ZDAF = ZDAB + ZEAC = 45 :所以叫十所以de = DF=5 4、如图在 RtAABC中；NC = 9QP,AC = 4,3C=3,在r/abc的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形 的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，

7、确定后再用 0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在RtAABC的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。5已知：如图，AABC中，ZC = 90AC和BC的距离分别等于OE±AC, OF±AB,点D、E、F分别是垂足, 则点O到三边AB,点O为AABC的三条角平分线的交点，OD± BC,cmv BC = 8cm, CA = 6cm,F 第5囲到第6题图6. 如图，在AABC中，AB=AC, P为BC上任意一点，请说明： AB

8、2-AP2=PBXPCo作 AD1BC 交 BC 于 D, AB2=BD2+AD2 (1) AP2=PD2+AD2 (1)-得：AB2-AP2=BD2-PD2,.? AB2-AP2= (BD+PD) (BD-PD) , VAB=AC, . D 是 BC 中点， .?.BD+PD=PC, BD-PD=PB, AAB 2-AP2=PB-PC7.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45。角，作业时调整为60°角（如图所

9、示），贝U梯子的顶 端沿墙面升咼了m.9. 已知：如图，AABC中，ZC=90° , D为AB的中点，E、F分另U在AC、BC上，且DE ±DF，求证：AE2+BF2=EF2证明：过点A作AM BC ,交FD延长线于点M ,% I /连接 EM . ?. AM BC，zMAE =匕 ACB=90 , zMAD=zB .AD=BD , zADM=zBDF , .?. ADM 竺ABDF . . .AM=BF , MD=DF .X /DE ±DF z /.EF=EM . /.AE 2+BF2=AE2+AM 2=EM2=EF2 .1CjD10.已知：如图，在正方形 AB

10、CD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE= 4求证：AFXFE.解：连结AE ,设正方形的边长为4a ,计算得出 AF , EF , AE 的长，由 AF2 + EF2=AE2 得 A1FE11.已知ZkABC中，a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,试判定AABC的形状，并说明你的理 由.解：原式变为 (a-5) 2+ (b-12) 2+ (c-13) 2=0 所以 a=5 , b=12 , c=13所以a2+b2=c2所以 ABC为直角三角形。12.已知a、b、c是AABC的三边，且a2c2-b2c2=a4-b4，试判断三角形的形状13.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经 过四 个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四个侧面缠 绕n圈 到达点B,那么所用细线最短需要多长？将长方体展开，连接 A、B，AA'=l+3+l