133函数的最值与导数

1、 1.3.3 函数的最大(小)值与导数(2 课时)教学目标：1使学 生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可 导函数f(x)在闭区间la,bl上所有点(包括端点a,b)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；2使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 教学过程：一.创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内 的性质.也就是说，如果X。是函数y = f x的极大(小)值点，那么在点X。附近找不到 比f x。更大(小)的值但是，在解决

2、实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小.如果X。是函数的最大(小)值，那么f X。不小(大)于函数y二f x在相应区间上的所有函数值. 二新课讲授观察图中一个定义在闭区间a,b 1上的函数f(x)的图象.图中f(xj与f(X3)是极小值，f(X2)是极大 值函数f(x)在a,b 1上的最大值是f (b)，最小值是f (X3).i.结论：一般地，在闭区间 a,b上函数y二f (x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函 数y = f (x)在 a,b 1上必有最大值与最小值.说明：如果在某一区间上函数y = f (x)的图像是一条连续不断的曲线，则称函数y =

3、 f (x)在这个区间上连续.(可以不给学生讲)给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值1与最小值.如函数f(x)在(0,：)内连续，但没有最大值与最小值；x在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，函数f(x)在闭区间a,b】上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件.(可以不给学生讲)2“最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是 个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性.从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在

4、其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也 可能没有一个.极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值， 有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.3利用导数求函数的最值步骤：由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.一般地，求函数f(X)在a,b i上的最大值与最小值的步骤如下：求f (x)在(a,b)内的极值；将f (x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值，得出函数f (x)在a,

5、b 1上的最值.三.典例分析例 1.(课本例 5)求f x =1x4x 4在0,3丨的最大值与最小值，3解：由例 4 可知，在1.0,31上，当x =2时，f (x)有极小值，并且极小值为4f (2)，又由于f 0 =4,f 3 =13因此，函数f 1x4x 4在0,3 1的最大值是 4，最小值是-彳.33上述结论可以从函数f 1x4x 4在1.0,3上的图象得到直观验证.3例 2.求函数y=x4-2x25在区间-2,2 1上的最大值与最小值解：先求导数，得y=4x3-4x令y= 0 即4x -4x =0解得XI = -1, x2= 0, x3=1导数yZ的正负以及f (-2),f (2)如下

6、表X-2(-2,-1 )-1(-1,0 )0(0,1 )1(1,2 )2y一0+0一0+y134/54/13从 上 表 知 ， 当x二2时 ， 函 数 有 最 大 值 1 3 , 当x二1时 ， 函 数 有 最 小 值4x2ax b例 3.已知f (x) - log3,x (0,+8).是否存在实数a、b,使f (x)冋时x满足下列两个条件：(1)f (x)在(0, 1)上是减函数，在1,+s)上是增函数；(2)f (x)的最小值是 1,若存在，求出a、b，若不存在，说明理由x2ax b解：设 g(x)=x f(x)在(0, 1)上是减函数，在1, +8)上是增函数 g(x)在(0, 1)上是

7、减函数，在1, +8)上是增函数.(1)=0b 1=0a = 1 解得丿3=3a + b +1 = 3b = 1经检验，a=1,b=1 时， 1(x)满足题设的两个条件四课堂练习1 .下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数 y=f(x)在区间a,b上的最大值是 M，最小值是 m 若 M=m 贝 U f (x)()A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.以上都有可能I 3.函数 y=14* 13 ,X +x +12,-x,在:1, 1 上的最小值为()1 101-14328.1131A.0B. 2C. 1D.6j121 /44.求函数4o 2y =X -2x+ 5在区间匚2,2】上的最大值与最小值.2y=x4-2x2+55.课本练习五.回顾总结-4-2102，4 x1. 函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点， 区间端点；2. 函数f (x)在闭区间a,b 1上连续，是f