华南理工大学大物近的统考题

1、以下是四套近年的统考题，仅供参考.试卷(一)：一.填空题(共20分)1. 若A是6阶方阵A的伴随矩阵，且ran k(A)=4,则ran k(A*) =2.、口COSa设A =(si not-sin :cos：，则 A1003.设V二(Xi，X2X)t |2xi - X2 3x3 =0是R3的子空间，贝U V的维数是4.对称矩阵A的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵AE为正定矩阵，则常数目必须大于数值0 005.已知n阶矩阵A二-0,则矩阵A的逆是1 3+ .* .0100( )(A) 向量组可以由向量组线性表示；(B) 向量组，：k可以由向量组1,2,i,k线性表示；(C) 向量组 2J

2、k与向量组1宀厂，九可以相互线性表示；(D) 向量组 U,，：k与向量组1,2,/ k不能相互线性表示.4. 若辽是实对称方阵A的两个不同特征根，, 2是对应的特征向量，则 以下命题哪一个不成立()(A)，1, 2都是实数；(B)一定正交；(C)2有可能是A的特征向量；(D)有可能是A的特征根.5. 已知A为n 1阶方阵，且rank(A)二k,非齐次线性方程组AX二B的n -k 1个线性无关解为I,；,，丄，丄1,则Ax二B的通解为().(A)& i * C25 Jz ；(B) Ci 1- C2 ； Cn Jn 上'Cn A 1 nA 1 ；(C) Ci(i 一 n±

3、1)C2(2 一 nX1)CnX(n_kn -k 1)；(D) C1(1- n±1)C2(2 - nX1) 上仁上n_k1)，n_k1.三. 解下列各题(共25分)1. 若A为3阶方阵，且A 1,求：AJ -A*2(1-1-1 -T-1 1 -1 -12. 设A =,求矩阵A2, An.-1 -1 1 -11-1 -1 -1 13. 计算向量-(-1,2, 4)t 在基：1 =(1,1,1)1 匕=(0,1,1)T,： 3 =(1,1,1)T 下的 坐标.4. 设向量组：i =(一2,1,0,3)丁，： 2 =(1,3,2,4)t,: 3 = (3,0,2,1)t,: 4 =(Z2,

4、4,6)t,求向量组的一个最大线性无关组(12 05.利用分块矩阵方法,计算A二0、0的逆矩阵.,00 04四证明题（8分）设n维向量组二，,，："和向量组，：n有关系目 1 =0（2 +口3 +«n”再=旳+4 +«n| 十1*2川：；5问n维向量组1,2,，:n和向量组n是否同秩?证明你的结论2 2 2五 （8 分）二次型 f （x1, x2, x3,x4 2x13x23x32 x2x3 0,通过正交变换,可将此二次型化为标准形 f = %2 * 2y22 - 5y32,求参数、：及所用正交变换六. （8分）求线性方程组x1 - x2 - x3x4 = 0-x

5、2 -2x3 3x4% -x2 x3 -3x4 = 1的通解.七. （6分）解矩阵方程，并写出解方程时初等矩阵的变换过程-40110 0X001=201八. （5分）设A是4阶方阵,且A的特征根、，一，、，、互不相同,证明:（1）方阵A有四个线性无关的特征向量方阵A可以对角化试卷(二)：计算下列各题：(每小题6分，共30分)162 379225(1) 162 380 176 ,162 380180o(2 -1 ?(2) 求 2A2 +3A + E2,其中 A =<13丿(3) 已知向量组 r =(0,2,3)丁，：七=(2,3,3几：3 =(-1,2,t)T 线性相关,求 t.求向量：=

6、(-1,2,4)丁 在基：= (1,0,1)T,： 2 = (0,1,1)T,： 3 =(1，-2,1)丁 下的(12)设A =，求A的特征值.Q 5丿"03.(8 分)设 A = 2 0e 010 ,且AB = AT +B,求矩阵B.2丿12 3a三.(8分)计算行列式：0 0 b 30 c 0 2x 0 01四. (8分)设有向量组：1 =(0,1,1,2,3)t,： 2 =(1,0,1,2,5)t,： 3 =(1,1,0,-2,-7)丁，： 4 =(3,3,2,0,-6)丁,求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组-10,=4,五. (8分)求下列方程组的通解以及对应的齐次方程

7、组的一个基础解系3x1 2x2 - x3 x4 - 4x5 c 2捲x2 +3x3 x4 +x57x1 5x3 - x4 - 2x5 二 18.六. (8 分)求出把二次型 f = a(x12 x22 x32) 2x1x2 2%x3 -2x2x3化为标准形的正交变换，并求出使f为正定时参数a的取值范围.七. （10分）设三阶实对称矩阵A的特征值为3（二重根）、4（ 一重根）,宀=（1,2,2）T是A的属于特征值4的一个特征向量，求A八. （10分）当a,b为何值时,方程组ax1 x2 x3 二 4,x2bx2 3x3 = 10,3bx2 3x3 二 2,有惟一解、无穷多解、无解？九. （10分

8、）（每小题5分,共10分）证明下列各题（1）设A是可逆矩阵，A B,证明B也可逆,且 B J. 设是非零n 1向量，证明是n n矩阵门T的特征向量.试卷（三）:一.填空题（每小题4分，共20分） q 01.已知正交矩阵P使得PtAP= 0 -1I。00 ，贝y PtA2006 (E +A)P =一2丿2 .设A为n阶方阵，人，入为A的n个特征值，则det（A2 ）=.3 .设A是m n矩阵，B是m维列向量，则方程组 AX二B有无数多个解的充分必要条件是：.4 .若向量组:=(0,4,2)t/ =(2,3,1)t,=(t,2,3)T 的秩为 2,则 t 二15115. D(x) =x52-325

9、49x3 x5827则D（x） =0的全部根为:选择题（每小题4分，共20分）1.行列式0-1-1000的值为（）.A. 1B. -1n(n 1)n(n 二)C.(-1) 2D.(-1)2. 对矩阵Amn施行一次行变换相当于().A.左乘一个m阶初等矩阵B. 右乘一个m阶初等矩阵C.左乘一个n阶初等矩阵 D. 右乘一个n阶初等矩阵3. 若 A 为 m n 矩阵，r(A)二 r : n, MX | AX =0,X Rn则().A. M是m维向量空间 B. M是n维向量空间C. M是m-r维向量空间D. M是n-r维向量空间4. 若n阶方阵A满足，A2=0,则下列命题哪一个成立().A. r(A)

10、 =0B.r(A)=n22 D.")与5.若A是n阶正交矩阵，则下列命题哪一个不成立).A. 矩阵At为正交矩阵 B.矩阵A为正交矩阵C.矩阵A的行列式是一1 D.矩阵A的特征值是_1解下列各题(每小题6分,共30分)1.若A为3阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，求det(A*).2.计算行列式a1111a1111a1111a3.0 2 0 "设 A= 2 00 AB=A-B,求矩阵 B.<0 0 1>4.求向量组：1 =(1,2,1,2)t, ： 2 =(1,0,1,2)t, ： 3 = (1,1,0,0)T, ： 4 = (1,1,2,4)t 的一个最大无关组

11、.5. 求向量=(1,2,1)t 在基=(1,1,1)T/ =(0,1,1几 =(1,-1,1)丁 下的坐标.四.(12分)求方程组x1 X2 _ 2x3 x4 x5 = 23xj -x2 2x3 7x4 3x5 = 2Xi ' 5x? -10X3 - 3X4 ' x 6的通解(用基础解系与特解表示).五. (12分)用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2 2f (Xi,X2,X3)=2XiX2 X2 X3 _2XiX3六. 证明题(6分)设1 =012,是线性方程组AX二1对应的齐次线性方程组的一个基础解系， 是线性方程组AX 的一个解，求证i *厂*,线性无关

12、试卷(四):一.填空题(共20分)1. 设A是m n矩阵，B是m维列向量，则方程组AX二B有唯一解的充分必 要条件是：2. 已知E为单位矩阵，若可逆矩阵P使得2PAP PA2P =3E,则当E-A可 逆时,A3二3. 若 t 为实数,则向量组 a =(0,4, t), B =(2,3,i),丫 =(t,2,3+t)的秩为：4. 若A为2009阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，则| A* =n5. 设A为n阶方阵，入1,入2, '入是A的n个特征根，则送A，=im选择题(共20 分)1. 如果将单位矩阵E的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为P(j,i(k),将矩阵Am n的第i列乘k加到第j

13、列相当于把A：A, 左乘一个 P(i,j(k); B ，右乘一个 P(i,j(k);C.左乘一个 P(j,i(k); D，右乘一个 P(j,i(k).2. 若A为mX n矩阵，B是m维非零列向量，r（A）二r : min m, n。集合M 二X : AX 二 B, X R,贝UM是n-r维向量空间,A, B, C都不对A, M是m维向量空间，BC, M是m-r维向量空间，DB, 若n阶方阵A满足 A2，3A=4E，则以下命题哪一个成立A , A 二 E ,B, r(A)訂(E)C. det A 二 detE ,D, r(A E) r( A - E)乞 nC,若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一

14、个一定成立：A,矩阵A Aa为正交矩阵，B ，矩阵2 A为正交矩阵C,矩阵A + A为正交矩阵，D ，矩阵A-A为正交矩阵1 1 1_1 _1 0D,如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：-100A, 2007 ,B,2008C, 2009,D,2000三.判断题（每小题4分，共12分）（1）对线性方程组的增广矩阵做初等变换，对应的线性方程组的解不变.（）（2）实对称矩阵的特征值为实数.（）（3）如果矩阵的行列式为零，那么这个矩阵或者有一行（列）的元素全为零,者有两行（列）的元素对应成比例.（）四.解下列各题（每小题8分，共16分）i'5、1 .求向量P = | -1，在基口 1

15、I3丿£1、V0,°2 =1,口3 =1下的坐标n23IIIn '213IIIn2设 A =231IIInIIIn*<234hib计算det A5110111、0五.（10分）求矩阵A =列向量组生成的子空间的一个标准正交基0101J001J六.证明题（6分）设A是m行n列矩阵,如果线性方程组 W 对于任意m维向量1都有解，证明A的秩等于m.七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2 2 2f （x1 ,x2, x3） = 2x1 4x1x2 3x2 - 4x2x3 4x3 .八、（6分）设矩阵A，B都是正定矩阵，证明矩阵 A B也是正

16、定矩阵.试卷（五）:一. 填空题（每小题4分，共20分）1. 设A是m x n矩阵,那么A的秩不超过r的充分必要条件是 .2. 已知E为单位矩阵，若2A + A=3E ,则当E -A可逆时,A =.3. 若 向量组：一 （t,3t -2,-t-6）,亠（2,3,1）,=（t,1,3 t）的秩为 2时，t =.4. 若A为2009阶正交矩阵,A*为A的伴随矩阵,则| A* |=.5. 设A为n阶方阵,工,，S是A的n个特征值,则nZ | 人 E AT |=.i ±二. 选择题（每小题4分，共20分）1.如果将单位矩阵E的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为P（j,i（k）,那么P（j,i（

17、k）的逆矩阵是:A, P(i,j(k)； B , P(i,j(-k);C P(j,i(k)； D , P(j,i(-k).2.若A为rnK n矩阵,r(A)=r= n,令集合 m 二X:AX=O, X Rn,则A, M是空集；B, M只含一个元素;C, M含有两个以上元素D , A, B, C都不对3.若n阶方阵A满足2A -2A E =0 ,则以下命题哪一个成立A, A = E ,B,r(A) =r(E)C. det A 二 0 ,D,r(A E) r(A - E)乞 n4.若A,B都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立:A,矩阵A + B为对称矩阵，B，矩阵AB为对称矩阵C,矩阵A3

18、为对称矩阵，D，矩阵AB+BA为对称矩阵00 10 .1 05.如果n（n>1）阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为1 0 0-1,那么i+j-n的值：A,为 0,B，为1C,为 2,D，无法确定.三.判断题（每小题4分，共12分）（1）对一个线性方程组做初等变换，线性方程组的解不变.（）（2）正交矩阵的特征值是实数.（）（3）一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的.（）四.解下列各题（每小题8分，共16分）1 .求单位向量：，它在基rrV1宀2 =1卫3 =0下的坐标向量也是P .naa1*1a、a1a1*1a2 设n阶方阵A =aa11*1aIII<aaaHIb计算det A五.（10分）求矩阵A0 11 01 1J 0的逆矩阵.六. 证明题（6分）设代B是m行n列矩阵,证明rank（A - B）乞rank （A） rank（B）.七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正 交变换矩阵f（XX2，X3）=2x2 3X222-4x2