华理高数答案第2章

1、第2章(之1)第2次作业教学内容：§2.1导数概念*1.设f (x) = x3 + 2x，试用导数定义求f'(x).”f (x + Ax) - f(x) (x + Ax) 3 + 2(x + Ax) - x3 -2x解: lim= hmAX&项AX=3 子 +2.*2.试用导数定义计算下列函数的导数:(I) f( x)= L，求广;X(2) g(0 = 8-已求 g，( 2)；(3) (p(t) = 3r - t,求'(一 1).解：(1)广二 lim.一( 1+ 明-'一(1)kT。Ax 11=lim = lim= -1.kT。 Ax kTO 1 +

2、 Ax 8们=1血赤+金)一g / 一 0 =lim 8(。+ "8 尸=Hm 0ArA O AtAt.尸一(尸 + 3tA + 3/A/2 +=lim x0Ar=lim(-3r -3A-Ar) = -3r, 一。 /g'(t)=-3r,:.g'(2) = -12.R(f)=lim 轮+ &) 凡=1血怵+ 金)、(1佥I时二go Arg。At.6tAt + 3AA2 - /=lim=lim (6r + 3At一 1) = 6r 1, io At *T0/(P?) = 61 - ,9, ( 1) = 7 .解：曲线在点 P处切线的斜率为lim=4H x-1所以

3、切线方程为 y = 4( x 1) + 2.*4,化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。设有 一化学反应，反应物浓度C与反应开始后的时间 f之间有如下关系：C = f(f).(1) 试表出时刻to到时刻这段时间内的平均反应速率；(2) 表岀在时刻tQ的瞬间化学反应速率。解：-=,t to(2) Vo = lim v = lim.o 1%1 'o*5,已知沿直线运动物体的运动方程为：，求物体在时刻t0=2的(瞬时)速度。解：攵=t + At t为7 ,现已流强度I(t).-A? s _ & + .)_1Z t(t + ?)'& 0

4、 金 &项 t t + &) r物体在时刻to = 2的(瞬时)速度vo =.甫4*6.在作等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，已知非匀速旋转时，旋转角。与 间t有如下关系：。=珈)。试导岀非匀速旋转时的(瞬时)角速度刃表达式.解：M=火+也)一 e(t),乎顶)，=lim = 1(')=一。一 0 7.在时间段流经导线某个截面的电量为Aq,则称孚为时间段攵上的平均电流强度，记知时间段0* :内流经导线这个截面的电量为0(f),试求在时刻f导线于该截面上的电解： 0 =川 + &)-川),7 =空顼 + 金)一施)，At Atr v 7 vq(t + Z

5、) q(t)，,、/ = hm / = lim = lim = q'(t).一 o 一 o At 10 At第2章（之2）教学内容：第3次作业§ 2.1函数极限的定义 *1 .试证：lim cos x = cos X0.证明：> 0,取8 = £Vx满足条件有0II _ . X + Xn .|cosx-cosx0| = 2 sinX-X()_ . X- X() Isin - < 2sin- v |x-x°| v ,£lim cos x = cos X0.x >x0*2 .试证:证明：（1）(1) lim =2 ；x->-3

6、 x > 0,限定 Ix + 3I<1 l + 3x c x-l(2) limJA = 2.xt4，则有一4<x< 2,2 = x_+_3 |i + _3|所以只要取x-18 = min(3 丹)，当 0 < + 3| < $时，就有x+ 3x c 2 =x-11 + 3x从而也就证明了lim= 2.XT 3 X 1 Vz? > 0,限定 lx 4l<4，则有 0<x<8,即 0<J7扼,&-2| =安四 <斗-4心，1 1 & + 2 21若使取 8 = min(2A , 4 ).于是 V > 0

7、,当时,|J7 2I< £limVx = 2.*3写岀lim f（x） = A的定义，并用定义证明XT 8lim2'=0。XT-00解：(1)V e>0, 3X >0, x< X, n |/(.r)-A|vzr,则 lim /(x) = A oX >-00(2 ) VA>0,若限制 妖1,则可令X =-log 2a(> 0)o当x < X时，必有|2a -0| = 2a' <2-' Y =£,lim 2' =0.XT-oo3+' 7 D+lim f(x) = lim (l + x

8、2)= 1.X + X X0*4.讨论函数/(x)= <'在点x = 0处的左、右极限.1 + x2, x < 0解：lim f(x) = lim(x + x 2)= 0 ,丄 » 7 c丄7*5.讨论下列函数在所示点处的左右极限:(1)/(x)= x-x在x取整数值的点；(2)符号函数sgnx在点1 = 0处. 解：(1) xo为整数，lim /(x) = lim (x - x)=lim x - lim x = x o - xo = 0,x >XQ+x >XQ +lim f (i) = lim (x - x)X- X-=lim x 一 lim x =

9、 x° - (x° -1) = 1。xx Xq(2) lim sgn x = lim 1 = 1,XT0+XT0+lim sgn x = lim (-1) = -1.xtO xtO /*6.从极限的定义岀发，证明：lim In x = In x 0 (x。> 0).XT%证明：只需证明X/Se > 0, 3 > 0, 0 < |x-xo| < A => |lnx-lnx o| < se 即可。由于：| Inx-lnio = In< se, xo即:坨 < In < se 9 e < < 痔，_ 1) &

10、lt; x _ < 气(e*e 1),取 8 = min| XQe雄-xoL|xoefc -x°|则当 O<k-io|<$ 时，有 |lnA: -ln x°| < e織立，即：lim In x = In x 0 (x° > 0).XT%*7.设lim/(x) = A,若存在气的某个去心邻域N(x°,3)，使当xeN(x°,3)时，成立/(x) >0 ,试问是否必有 A >0成立，为什么？解：不一定。如/(x) = x2在尤=0点.第2章(之3)教学内容：第4次作业§极限的性质§无穷小

11、与无穷大1.填充题：* (1)用M-X语言写岀极限lim /(.x) = +co的定义为:XT 8>0, 3X >0, Vx<-X n /(x) > M。用M-6语言写岀极限lim f(x) = -oo的定义为:x+0VM >0, 38 > 0, V.x e (,xo , ,xo + 3) n /(.x) < -M用一X语言写岀极限lim/(.x) = A的定义为：x >+。VE > 0, 3X > 0, Vx> X n |/(x)-A| < s2 _ * (2)设f 3)=,则当XT 时fM为无穷小；当 XT 时,3 +

12、 1)/(x)为无穷大。答案：1-1.2.选择题：(1)设 /(%)=COS,则 XT 0 时，/(%)X X( )(A)疋无界量，也疋无穷大量；(B)疋无界量，不疋无穷大量；(C)不疋无界量，疋无穷大量；(D)不疋无界量，也不疋无穷大量答(B)21 J*(2 )当 XT1时，f(x) = EAeM的极限x-1( )(A)等于2;等于0；(C)为8；(Q)不存在但不是无穷大.答：(D)(3) lim tan x ? arcta n=( )oxjrjr(A)0； (3)不存在；(C)=；( >)-.22答：A*3.用无穷大定义证明：lim A=+8.11+0 7.X-1解：任给M>0

13、,令a=>M ,解得：0 < X -1< -'v M取$ =，贝U当0<x 1<时，恒有因此：lim /-=+oo.ii+o +1*4、当,x > X0时，f(x)是无穷大，旦lim g(x) = A,从定义岀发证明：XT* 当XTX。时，f(x) + g(x)也为无穷大.证明：因为limg(x) = A,所以由局部有界性定理可知> 0,> 0,当 0 < |x-x0| < 切时，有 |g(x)| < . 又因为lim f(x) = oo,所以HoX/M > 0, 3S2 >0,当 0 v|x-xo| <

14、;a2 时，W|/(x)| > M +M r 取 5 = min?, 舄)，当 0 < |- 引< 5时，有|/W + g I>(M+M i)-Mi =M ,所以X T尤。时，/(X) + g(l)是无穷大.第 2 章( 之 4)第 5 次作业教学内容： §2.2.4 极限的运算法则 A-D1.选择题* (1) 下列叙述不正确的是()A. 无穷大量的倒数是无穷小量；B. 无穷小量的倒数是无穷大量；C. 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D. 无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答(B)* (2) 下列叙述不正确的是A. 无穷小量与无穷大量的商为无穷小量；B.

15、无穷小量与有界量的积是无穷小量；C. 无穷大量与有界量的积是无穷大量；D. 无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答(C )* (3)"当时，/(.x)-A 是无穷小"是"lim/(.x) = A "的：()XT 与(A)充分但非必要条件(3)必要但非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分条件，亦非必要条件答：c(4)设 /( x)+ Zzx -1=< x当尤丰0a(A)。= 3,。= 3；(Cg = 3,。可取任意实数当尤=0(B) b =(報尸6, a可取任意实数。答：D2求下列极限：.3.x +1* (1) lim ''3.

16、X-1%2 -9(2)殴-二-3*(3) lim (2x - l) cos ,、Vx _ 2 * (4) lim .=-14 J 尤 + 5 一 3(子+2 尸-(亍 一2) 2*(1)6) lim(是正整数)=2.7 5(尤+1) 2+ (x >+2l 1 埋(3"1 )4lim= -A=4?113x-l lim (3x -1 ) 2Y2 _g lim = lim (x + 3) = 6.x>3 jy 3 x>3/. lim (2x - l)cosXT 212.X-1=0.(4) lim &2 =血(._2)(7圭刮=血吁 2)(叫巨 + 3)'

17、VA+5-3 4x + 5-9 4 ( 77-2)(71 + 2)J+ 5 + 3 =lim xt4x +2盾十 r zVl-Hx 1 J1 + 2 -1 i1(J1 +' +1)(5) 原式=lim( )=1 lim /=1.1。+1+1 10 J + 2 +原式=四盘%八?1=4 lim =4.XTOO 1 1 H2nX*3.若limgO) = 0,且在j的某去心邻域内g(x)壬0, lim '=A,XTXoXTXo贝Ulimf(x)必等于0,为什么？g(X)解:lim/(x) = limX*0?丑 2? g(x) = AXTXo g(x)0 = 0.*4.设lim'

18、;= 3,试确定Q力之值.n x2 -1小ax3 +ax2 +x + /?今解：因 lim =3,2 | 11x -l32t./r ./1、 + ctx + x + b Q +/? + 2 八 nn故 lim(x -1) - =0。 即则limii.?.0 = 1,+ txx? + x + Z?=lim(X2 -I心尸一I子一1b = 3.*5 .设f(xyAx = xo处可导，求极限1血也 WI2XTX。X- XQ解：原式=14丝上婪+些土也 X-XQ X-XQ=-lim "(x)f( + limf(x)XTX。 X-X o XTX。=f3o) %广 3o)?第2章（之5）第6次作

19、业教学内容：§极限的运算法则 无穷小的比较*1 .试求下列极限：,3x + 1.A7 州II. lim(->03x) sin _£(1) limf -),;1 + 2方(1) liml io"l + 2lim(l + 2i)XTO/c、/3尤+ 1、白=lim 1ii 3 + X2(x-l)土 =3 + X3+x3+x3+x2=hme =e.112(3) lim(l + 3x) sinx = e6.xtO*2 .试求/ （ x） = cosx的导数。W：（小limZU小At弭N2 sin| x + limsin2Ar.Ax.(呵 siny lim suu x

20、 + - 卜.l2 ) Ar2Av2.A.vsin=-si n x, litn ? 山 Ax2_/r(x) = (cosx) = - sin x.*3。研究极限lim'2 2C° sqx（q 。）的存在性10 x日.ax2 sin7解：原式TimdXn V2 sin- 2 sini ?2.2lim= lim = axtO+ X xtO+ X.dXn Y2 sin- - 2 sinlim= lim = -aXT。 XXT。 X由于左、右极限不相等，所以原极限不存在4选择题1 VI (1)设 a(x) = , ” (x) = 3 3 昨则当 xti 时(l + .x(A)a(x)

21、与” (x是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)a(x)与/?(x)是等价无穷小；(C)a(x)是比/?(x)高阶的无穷小；(D)/3(x)是比a(x)高阶的无穷小.答：A供 设f(x)为可导函数旦满足lim，/(aT)=-I,则曲线y = /(.x)在点2x(a, f(a)处的切线斜率为()(A)2 (B)-l (C)l (D)-2分析：lim i_怎一 X) = Lim 国一 )_二也 =与，=T,5 2x2o -X2答(D)*(3)设 f(x) = (2+ 国)sin x,则 /(.x)在 x = 0 处(A) f,(0) = 2(B) f(O) = O(C)广(0) = 1(D)不可导

22、si nx(2 + |x|)lim =210 Y答(A)*5.适当选取 A、k的值，使下式成立：V1 + tanx - 71 +sin x - Axk (当xrO).钢角牟：./l COSX、.SI nx()目：一tan x-sinxcosxVI + tan x - VI + sin x =.- 一 .J1 +ta nx + JI + sinx J1 +ta nx + JI + sinxsin x-2s in2 (J1 + tan 尤 + 71 +sin x) ? cos x2-.x-(-)23?nO时，sinx? x, /.上式等价于6.当X TO时，试确定下列各无穷小对的阶数 .* (1)

23、+10000 亍；* ( 2)+1+SY3 4-1 0000 Y2.阶数为2。解：(1)? .? lim 十=10000,(2)lim(1 +x(x + I) x + 1 jim1。1 + 帼=1,阶数为1.、门"*7.设心=x。(尤)cos，尤主0,其中a(x)为X的高阶无穷小.(ITO),试证明函,尤=0,数/(尤)在尤=0点处可导.证明：由于xrO时，心是无穷小量，Xcos 是有界量，所以X")一如=1血？次=0,X Xf在=0处可导.Y2*8.设 lim1=_(Q 0),试确定Q,之值.Va2 + .x2(A-cos.x) 2=",则解：因limi

24、76;J a2 +2( o cosi) yla2 +x2 (Z?-cosx) limio r2贝U 1 血 2 . J/ + x-二一 cosx)=她一1) = o,得 b = i,10X代回原式 lim .=-= %,° y/a2 +.x2( 1-cos.x) a 72 故知a =4, b = I为所求. 9.设 /(.x) = A (y)tan5x，其中 q® 在 x = Q 处可导，且 0(0) = 0,'(0) = 1,试证明/*()? 5 尤，(IT0).证明： 临些="江峥=1血蛭.畋-9（。）=扎=5 ,xtO尤X >0尤之xtO尤尤.

25、?. f与公为同阶无穷小（尤T 0时）.*10.设 =° (x)"nx ,其中 9()在=0 处可导，且 9(o) = o,求 limf(x).(1-e )xi。解：！哽/(x)=瓯(*); 例)? f := 9，(0) .(_?) = _； 0，(0).*11. (1)若当 x> X (某个定数)时，恒有 /(x)< g(x)< /z(x),且已知 lim f G) = lim hx) - A o 证 明：lim g(i) = A .XT+8XT+8XT+8(2)若对于一切正数x,都有 T<<-,试求：lim(px).Vx2+1 X + Vx

26、 2+1 X i证明：(1)依题意，V E>0, mX> 0,使仅当x>X时，A-f </(.x)；同理，3X2 > 0，当 x> X2 时，有 h(x) < A + A ,令 X'= max(X19X2,x)则当 x> X'时，同时成立A-s < /(x) < g(x) < h(x) < A + ，即 |g(x) - A| <亦即 lim g(x) = A。/c、* 日石 a -t- -A + V-A 2 +1 / , x + jf+l依题息，有-/ < 0(工)Vx2+1尤利用(1)，知 l

27、imA(x) = 2.x>co及 lim = 1 血 V（之6）第7次作业§初等函数的连续性 *1.教学内容：函数连续的概念§连续函数的运算性质从定义岀发证明函数f（x） = 4x在任一 *点xo（> 0）处连续。分析:证明：函数/(x)=在任一点Xo(> 0)处连续.*2.讨论函数/(%)= < r0,-V- y f%9在1 = 0点的连续性.x = 0解：lim/(x) = lim|x| sin = 0 = /( 0),* °X °JQ:.函数/ '(x)在点x = 0连续.sin + e2s i*3. /(%) =

28、<%'，在尤=0处连续，则 a =a，当尤=0答：一 14试利用极限四则运算的性质，重要极限，等价无穷小，基本初等函数连续性及变量变换与 限过程改写等各种已知结果，求下列极限：一、tan(x2 -I)I，XXtan (x2 - I)解: lim* lim11x-sin(x2 -1)Il (x2 -I) cos(x2 - I)1=limXTI IXX/c、tanx - sinx * (2) limr ；i0 (arcsi nx)tan x ? (1 - cos x) lim xtox2 nO 时,2(arcsin x)3有 l cosx , tanx ? x, arcsinx ?

29、x,x2所以原式严厂*(3)计算极限lim% >0解：因当 x T 0 ecosx-e = e(e*z _ 1)e 2? e(cosx-l)x故原式=lim=.5 %22sinJ 一. 4 一一一-*( 4)计算极限lim 一44皿+ x2(1- cos x) ln(l + x )解：因当尤 TO 时1 - cosx ? %2, ln(l + 子)？ ，旧".X4V1eAx 1 ? sinx + X2c 工，原式=lim = 2.x-o 22X -X 2竹-1|,*5.设 f (x) = mI 2解：容易看岀f(l)在(-3,国 1 ,试讨论f(x)的连续性.I必11) 9 (

30、 19 1)及(1, + 00)内均连续在1 = 一 1处,lim (1 - x) = 2,1 一 1 一 0lim /(x) = lim cos=0,XT -1+0XT-1+02f ( 1 ) A/(-l + 0)故 / '(x)在 X = 1 处不连续 在 x = l 处，/(1 + 0)= lim (x 1) = 0,XT1+0/(1-0) = lim cos = 0,H-02nf =cos- = 0,/(l-0) = /(l) = /(l + 0), W(x)在 x = l 处连续.第2章(之7)第8次作业间断点；x = 0是f(x)的教学内容：函数的间断点及其分类§

31、闭区间上连续函数的性质§函数可导与连续的关系§函数的和差积商的求导法则丫2 _1*1.函数 y 的间断点为2 X = I、2,则此函数间断点的类型为 (A. x = l,2都是第一类；B. x = 1,2都是第二类；C.尤=1是第一类，尤=2是第二类；D. 1 = 1是第二类，尤=2是第一类答：Cx -x 1*2.设 f(i)=sin，则 x = -I 是/(尤)的k -间断点；x = I是f(x)的间断点.答案：1、无穷；2、可去；3、跳跃.*3.对怎样的a值，点x = a是函数/(%)= 的可去间断点？x-aV2 4解：函数在可去间断点处x = a极限必存在。由极限基本

32、定理，设lim = A,则必有2xra X-a22x2 - 4 = A(x - a)+a(xAx - a),其中。(尤)是a时的无穷小。 ffi卿 2 -4) = 6i2 - 4 ,另一方面，IimA (x-a)+a(xx-6i) = 0 0 所以由 a1 -4 = OM a = ±。经验证，当x>a4a = ±时，lim二存在，故a = ±为所求.x* x-a2 _*4.指岀f(x) = "Xx的间断点，并判定其类型.|x 一 1| sin x解：x = 0, x = I, x =7i, ±TC,? + n7i, ?都是 f(i)的间断

33、点,在尤(主 0,处，sin " = O, Iimf(x) = oo,x故X = ±71, ±71, 3±1,是/的第二类间断点；在尤=0 处，了 (0)无意义,Iim f(x) = Iim 二=一 1, xtox-。| x 一 sin 尤.尤=0是f (i)的可去间断点；1 1在 X = 1 处 /(I-0)=,心 + 0) = , /(1-0)A/(1 + 0)sin 1sin 1解：依题意,x = 0 Rx = k7r (k =± 1, ± 2, ?顶)的间断点.而X2x = 1是/(尤)的跳跃间断点. 5、指岀下面函数的无穷间

34、断点：/(%)=- 一xsinxIim/(x) = lim ；- = limio 1 o x sin x io x - x 2=.故x = 0不是无穷间断点w r 1-cosx . co$S2ATT_ I) . gk. x)2又 lim= lim =lim =0 伙 o 0),X 2 施 x sin x 尤 sm(lk7r - x) xA2kA - x(2kn - x)而 lim Igosx 伏=0, ± ±.), x2k兀 +兀 xsmx函数/(x)的无穷间断点为 x = ±, ±冗，±5 ,? ? ?.*6.设y = /(%)在0,1上连续

35、，且 OVf(x)<l。试证：存在 G : 0,1:使f(g)= 成立. 证：构造函数 Fx) = fx)-x,则 F(x)在:0,1:上连续。<F(0) = /(0)-0>0,F( l) = /(l)-KOo则由闭区间上连续函数的零值定理知，必存在一个e :0,1使F(g) = 0,即/ ( £ )= £成立证毕.*7.证明方程x = asinx + b (a > Q,b > 0)至少有个不超过 a+b的正数根.证：令F( x) = x- asinx-b，则 F( x)必在0,a+ Z?上连续。且有 F(0) = -b <0 , F(

36、a + &) = ? l-sin(a+Z?) >0 ,故由闭区间上连续函数的零值定理知必存在一个gc(0,a + b,使得F(g)=0, BPA = asinA + &.证毕.*8 .如果f (x)在区间(a,b)内连续，. < .*2 < ? < X是该区间内任意个点，试证明在(以)内至少存在-点£ ,使得用)=小山色虹、.n证：因为函数f(x)在li， 1 (U(Q,o )上连续。由闭区间上连续函数最值定理有m = min/(x), M = max /(x).工 1 <X<X,X <x<x n所以，m<fA+f

37、A + - + fA<M.n再由闭区间上连续函数的介值定理，知命题得证。证毕*9.证明方程尤°-3x = 1至少有一个根介于1和2之间.解：设f ()=一 3尤一 1,S在:1,2上连续，5/(1) =-3 <0, /(2) = 25>0,由零值定理知至少存在一点s 6(1,2)，使/ '(8) = 0即方程营-3x = l至少有一个根介于 1和2之间. 10. 若/*()在(-oo,+oo)连续，且 lim/(x)= A，试证明 f(x)在(-oo,+oo)第界.证明：依题意，取 £= 1, mx>0,当 |x|X 时，有 |/(x)-A|

38、vl,于是 |/(x)|v|/(x)-A| + |A|vl + |A|. 又当|x| < X时，利用闭区间上连续函数的有界性定理，>O,V.re-X,x,有 |/(.r)| < Mx ,取 M = max(M ,1 + A),则在(-oo,+oo)上有 |/(.r)| < M 成立.*11.讨论 /(x) = (x-|)|cosx|,在 x = |处的可导性解：lim2 X一 2(x- )|cosx|Z = 0,71X2解：没有。=lim ,X2 -1 c ?/ hm = 2,7T XT 1叫x>r*12试问曲线X>1在点(1,1)处是否有切线，为什么？试简

39、单说明之X <1x->1+ X 1.1 . (2 -x) 1 /. lim"limx->1+ X 111 一 x-1即曲线在点(1,1)处没有切线*13.设/?在(-8,+3)上有定义在此定义域上恒有-x).讨论/(尤)在X = 0处的可导性./3 + 1)= 2/3),且在0,1上有/(尤)=x(l解：-1< x < 00|/(x)=f(x +1)=(X + l)(-x)f: (0) = lim E 力廿=lim 业电=1, xto+x沮0) = 1一加=临一；"*)=-上XT。 x x->o XxtO+ x2 :.f(1)在 x =

40、0处不可导*14.试确定式中。力之值，使 /*()处处可导ex, x < 0,ax + b, x > 0.解：V /(x)在。点处可微，所以必连续。f (0 0) = lim /(x) = lim e* = 1,XT(r XT( r/(0 + 0) = lim f(x) = lim (ax + b) = b ,/. 0=1。x x A/e -b e -1(0) = lim -_- = lim - xT。X XT必O)=lim竺旦=a,10+ xQ=l.=1,-X*15.设 /(x) = |x-6i|g(x),其中续性与可导性.解：lim/(x) = limlx - ag(x) =

41、0 = f(a) x >ax>a':,f(x)Ax = a 处连续r fM-f(a) r hm -=hmx-a xtg x- a:.f (i)在x =。处可导.g(x)在x = a处连续且 g(o) = 0,讨论f(x)在=Q处的连x-ax处可导。试证明：rff(x)v(x)w(x) + u(x)v (x)w(x) + u(x)v(x)w (x).证明：左式*16.设 w(x),v(x),w(x)在点ru(x)v(x)w(x)= u=(uv)w r = ("V) 'w + ("V ) w' = (urvw + uvfw) + uvw r

42、=右式.第2章(之8)第9次作业教学内容：§反函数的求导法则§复合函数求导法则§基本求导公式y=cot x 一escx ；Inx y =(4)X(5)y=xex Inx(6)c 33|(7)y2x H x-log 3 e;(8)y = x(ex - In x)；y = ex(cos x + sin x)；.y = 2X tanx + secx.*1.求下列各函数的导数：secxA(8)2X In 2 ? tanx + 2x sec2x +sec x tan x.一(1-1 nx);X(5) ex(xlnx + lnx + l)； 9 3 (7)6x2-x(4) (

43、x + 1)/ lnx 1;(6) 2ex cosx ;2. 求下列函数的导数：* y = sin(3e2x +1)；解：y'= cos(3e2x +1) ? 3 ?凌'.2 = 6cos(3e2' +1)* (2)2.T-1Y 2(x + 3)-(2x-1).x + 3 J (.x + 3)2+ 1=4(2 XT)、2X + 6 2x28(2x-1)'(X + 3)5(x + 3)5(1-尸尸*(5) y 二x + h無:= < 1 + )；2厶+石 旳* y =ln2sin(x + l)；解 ,2cos(x + l)w 1、y= ;( = cot3+i

44、).2si n(x + l)* (4)I尸;FT解：一J* (6) y = ln(x + );*(7) y = sin x-sin(x2)；解: yr = sin 2x - sin(x2) + 2xsin2 - cos(x2)；,、1*(8) y = arccos;x2 冈解：矿=;x2 Vx2 -1*(9) y = e2x sin ；3解：yr = e2x (-2sin jcosj);人八x + 1*(10) y = arcta n.x-l解：yf =.x2 +13.求下列函数在指定点处的导数值2 y =,求矿(。)；(1)y = arctan e*,求 y'(0)y = V2 +

45、In 2 x ,求 yf(e)(3)(4) y = Iog3 cosx , 求 yr()(5) y = (arcsinx)3,求 矿(；)y =求矿解答:(1). - ；(2). - ； (3).-L ； (4). 一一 - ； (5).92V3eIn 34. * 设 f(u)为可导函数,y = f(sine3，) 3*2 求 y'(x). 解：yX-x) = 3e 3A cos$' (sine3')+ sin/(x)?/r(x)-3cos/u)-l n3.i181 £ 兀 2(6).4*(2)设 y = f (secx) - sec(A(tanx),其中 f

46、( “),(们为可导函数，求矿(尤)？解：y'(x)= sec x tan xf '(seex) - sec(A(ta n x)+ sec(?(tan x) tan(?(tan x) ? sec 2x ? ?'(tan x) ? /(secx).*5.设/(x)= f'?max*, x2 x G (-00,+ oo),试讨论/(尤)的可导性，并在可导点处求岀x2, x <0解：由于X, Ovxvl, 所以广(0)不存在，广不存在,X2, X >12x, x < 0,当 x 0, x 1 时，f'(x) = < 1,0 < x

47、 < 1, 2x, x>l.*6.设 /(x) =(p(a + bx) -(p(a - bx),其中 9(1)在(-oo, + oo)有定义 且在=。可导，求厂(0) 的值./(x)-/(0) (p(a + bx)- (p(a-bx)-0解：hm= hm XT0 xXT0X=lim b* + bx卄一史)卅狄。一鼠)-他)=勺宜).bx - bx7. *(1)设 v =ln J- (|x < 1)求反函数的导数 x'(v).V + .x解：、'=，X -1xy) = x -1.*(2)设y = f(x)具有连续的一阶导数，已知f(2) = l,广=e,贝u尸(

48、wL=解：一.e第2章(之9)第10次作业教学内容：§隐函数的导数及对数求导法§.4.7由参数方程确定的函数的导数§极坐标系下曲线的切线问题1.* 验证由方程xy-ln= l所确定的隐函数=y(x)满足方程 + (xy_i) y，= o,证明：y + xy， 一匕=0,两边同乘 y,得 y2 + (.xy - l)y , = 0.*(2)设 y = y(x)由方程 +sin(xy)= >确定，求 y'(0).解：e"'(y + xy') + (y+ xy')cos(xy)= >',当=0时，=1,代入上

49、式有矿(0) = 2.* 设y = y(x)由方程x" +更 =2所确定，求y，(l).解：xy(+ y， lnx) + y， (lny+ 三)/) =0, x y当x = l时,y = I,代入上式有y，(l) = -l.(0,0)处的切线方程.解：cosy-xsiny.y' + e'yJO,得 yf =xsi ny-eyy，(0) = 1, (0,0)点切线方程为 y = i.3. *(1)设!* = e cos"定了函数 y =心)，求坐 y = e si nt食,dy _ egsinr+ cosr) _ e'(2sinr_+ cos。r222

50、2dx e (cosr - 2rsinr ) (cosr - 2rsinr )dx*(2)设=y(x)由方程FT:"所确定，试求空|q? y = e 'Z7rdxZ7r解：一=3t2,当尤=2 时，t = 19 dt=3 ,dt 一型=2edydldij=i2e;r-Tl 一r 3x = cost已知曲线乙的参数方程为t则曲线乙4.在t=-处的法线y = sin 2方程为-答4x-而+=0.cos*试求由所确定的曲线 y = yOO在尤=0处的切线方程.y = t+t知当尤=0时，f = 0, y = 0, ,x = e? -xcosr-L、. 解：由y = i口 dx t

51、且一 =e -ddydx.cosl + xsinr, dtdx也=2il, dtdtt=0_ 1 dydt |(=02, dx故所求切线方程为 y = 2ur=0VI + x5. *(1)设 y =,求 y'.2(X-1) V5X-2'解：In|y| = Tn|x + 1|- 21n|x -1| -Aln|5x - 2|矿一1_5§ 一 3(x +1) 一占一 3(5x - 2)5_ 3-1)2 妊1 刁 3(1 + 1) X-1 3(57人2)*(2)设 y =2 +1)Vsin x , (0 < x < "),求 y'.解：ny =+

52、 (ln(x2 +1)+ ln|sinx|)2 2 21+ cotx42) Js inxX+cotx1 + x2 .X24*6.设函数y = y （x）由方程(尤 +y) *+i = 3x + 2y-2 所确定，试求dx (x,y)=(0,2)解：两边取对数(x +1) ln(x + y) = ln(3i + 2y 2),两边求导：ln(x + y) + (x +1)x + y 3x + 2y 2将（0, 2）点代入上式：+22 2In2 +22*7.证明曲线+舟标轴之间的线段为定长3 + 2y . ,i，可解得 y|52)=2"2.=Q '（ Q > 0） ±壬意点 =（尤 0, &