及其性质椭圆

1、第5讲椭圆一、【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等 相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题； 四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等二、【经典例题精析】考点1椭圆的定义及其应用【5-1】已知椭圆的焦点是 Fi、F2, P是椭圆的一个动点，如果M是线段RP的中点，那么动点 M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛

2、物线的两个焦点，为椭圆【5-2】【河北省定州中学 2017届高三上学期周练】已知 、 是椭圆上一点，且.若的面积为9则【基础知识回眸】1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F、F2的距离的和等于常数(大于尸也|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.(2)代数式形式：集合 P=M|MF1+|MF 2|=2a1|FF2|=2c. 若a c，则集合p为椭圆； 若a = c，则集合p为线段； 若a : c，则集合p为空集22 22x丄 y八,c、y丄 x一,c、2.椭圆的标准方程：焦点在 x轴时， 22=1(a>b>0)；焦点在y轴时， 22

3、 =1(a>b>0)a ba b【方法规律技巧】1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解.2. 涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解【新题变式探究】【变式一】已知 ABC的顶点B、C在椭圆2x+ y =13上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 ABCP为圆 M : x- - 3 彳 y2 =24 上的动点，定的周长是【变式二】【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】如图,点 Q - 3,0 ，线段 PQ 的垂直平分线交线段 MP于点N(1) 求动点 N 的轨迹方程;(2)记动点N的轨迹

4、为曲线 C，设圆0 ： x2 + y2 = 2的切线l交曲线C于A,B两点，求 OALOB 的最大值.【综合点评】应用椭圆的定义，可以得到结论:(1)椭圆上任意一点P(x，y)(yM0与两焦点F!( c,0)，F2(c,0)构成的 PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a + c).(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a 是斜边，a2 = b2+ c2.考点2椭圆的标准方程2 x【5-3】已知椭圆C:2a2y -1(a b 0)b2的左右焦点为F1,F2离心率为兀，过F2的直线l交C与A,B两点，若 AF1B的周长3的方程为2xA.32=1B.C.2xD. 1212【

5、5-4】求满足下列各条件的椭圆的标准方程:(1)长轴是短轴的 3倍且经过点 A 3,0；(2) 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为【基础知识回眸】1.椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴，2x+ab2=1(a>b>0)(2)焦点在y轴,2x孑=1(a>b>0).2.满足条件:2a> 2c,2.22小a = b + c， a> 0,b>0, c>0【方法规律技巧】1. 求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参).当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为2

6、 2乙 V-=1m n(m> 0， n>0且 m = n)，可以避免讨论和繁杂22的计算，也可以设为 Ax + By =1 (a> 0，b >0且ab)，这种形式在解题中更简便.2. a2.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量a, b, c, e,c等之间的关系，并能熟练地应用.【新题变式探究】 【变式一】求经过点 P(-2?3,1),Q3,-2) 两点的椭圆标准方程【变式二】求与椭圆2 2+ =1有相同离心率且经过点 (2,-3)的椭圆标准方程.43【综合点评】1.用待定系数法求椭圆标准方程的

7、一般步骤是:作判断：根据条件判断焦点的位置.(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2+ n y2=1(m>0, n>0且m = n)-(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、 b、 c或m、 n的方程组.(4)求解，得方程.2 2 2xyx2. (1)方程 2 +2 =1 与 2aba2y+= '( >0)有相同的离心率.b2(2)与椭圆2 2x y+ =1(a>b>0) 共焦点的椭圆系方程为 a2 b2a2 k2y= 1(a>b>0, b k 0) ，恰当运用椭圆系 b k方程，可使运算简便.考点3椭圆的几何性质2x【5-

8、5】已知椭圆C:-2a2y2 =1 (a b 0)的左、b2右焦点为43F、F2，离心率为，过F?的直线l交C于a ' B两点,3若 .：AF,B 的周长为 4 3 ，则C的方程为(2xA.32xy 132 2Li12 822D. H=1124【5-6】设P是椭圆x225Fj, F2是椭圆的两个焦点,PF1 卩F2 = 0,则-F1PF2面积是 ()A. 5B.10c.8D. 9【基础知识回眸】椭圆的标准方程及其几何性质2 2 22 a>2 c, a = b + c， a>0， b>0, c>0图形yyV0 x标准方程2 2?+£=1(a>b&g

9、t;0)2 2£+£=1(a>b>0)范围x 兰a, y <b|x b, y 兰 a对称性曲线关于x, y轴、原点对称曲线关于 x, y轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0 )，短轴顶点(0,±b )长轴顶点(0,±a )，轴顶点(±b,0 )焦点(比,0)(0,土c)焦距F1F2 =2c(c2= a -b2)离心率e=(°,1卜其中g厶2 _b2通径2b2过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为a【方法规律技巧】c、a、b的方程或不等式，.1. 在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目

10、给出的椭圆的几何特征，建立关于参数通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.较多时候利用定义式的平方2.对焦点三角形 EPF? 的处理方法，通常是运用余弦定理、面积公式(|PF|+|PF 2)(2a)2二 «2c) 2 =|PF12+|PF2|2 _2PF1|PF2|cos 日1Sa 弓PF|PFsin 0【新题变式探究】2 2b)，且左焦点为f , ABF是以角b为直角的直角X y.【变式一】椭圆+的两顶点为 A a,0 , B(0,a b三角形，则椭圆的离心率B.1；51 -3C.D.44【变式二】已知 Fi、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ FiPF2= 60'求

11、椭圆离心率的范围;(2)求证： PF1F2 的面积只与椭圆的短轴长有关.【综合点评】1. 学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴,六点"两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a c),过焦点垂直于长轴的通径长为等.2 2x y(2)设椭圆+ 2 =1(a>b>0)上任意一点a2b2P(x, y)，则当x = 0时,|OP|有最小值b,这时,P在短轴端点处；当x= a时，|OP有最大值a,这时P在长轴端点处.(3)椭圆上任意一点P(x, y)(yn0与 两焦点Fi( c,0)F2(c,

12、0)构成的 PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a+ c).(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2 = b2+ c2.2. 重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征.考点4直线与椭圆的位置关系【5-7 【2016高考新课标1卷设圆y22x15 =0 的圆心为A,直线l过点B ( 1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E.(I)证明EA EB为定值,并写出点E的轨迹方程;A交于P,Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围(II)设点E的轨迹为曲线 C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与

13、l垂直的直线与圆2x【5-8 已知椭圆一2y2 =1上两个不同的点A, B关于直线y =mx 1对称.2(1) 求实数 m的取值范围;(2) 求 AOB 面积的最大值( O为坐标原点)【基础知识回眸1. 直线与椭圆位置关系的判断(1) 代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2+ Bx+ C = 0.记该一元二次方程根的判别式为，若A> 0,则直线与椭圆相交；若 A= 0,则直线与椭圆相切；若 A< 0,则直线与椭圆相离.(2) 几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系.2. 直线与椭圆的相交长问题：(1 ：2)&#

14、169;1 丫2)2 rym(1)弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点M (咅,y1), N(x2, y2),则弦长公式为 MN =J(1 +k2)(X1 +X2)2 4x1X2或 MN =(2)弦中点问题，适用 点差法”.【方法规律技巧1.涉及直线与椭圆的基本题型有:(1)位置关系的判断(2) 弦长、弦中点问题(3) 轨迹问题(4) 定值、最值及参数范围问题(5) 存在性问题2. 常用思想方法和技巧有:(1)设而不求(2)坐标法(3)根与系数关系3.若直线与椭圆有两个公共点 M (x-i, yj, N (x2, y2),可结合韦达定理，代入弦长公式MN =伙2)(为 +X2)2 -4XM或 M

15、N| = (1 +右)(丫 i + 丫2)2 4y2，求距离.【新题变式探究】【变式一】已知椭圆C:2 20=1,点94M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A , B,线段MN的中点在C上，则【变式二【2016高考天津理数】设椭圆(a 3 )的右焦点为F ,右顶点为 A,已知1|OF|OA|3eHfa|，其中O为原点,e为椭圆的离心率(:n)设过点 A的直线|与椭圆交于点(I)求椭圆的方程;B( B 不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点 M ，与 y轴交于点 H，若BF _ HF，且/MOA MAO，求直线的l斜率的取值范围【综合点评】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：(1) 位

16、置关系的判断(2) 弦长、弦中点问题(3) 轨迹问题(4) 定值、最值及参数范围问题(5) 存在性问题2 .常用思想方法和技巧有：(1)数形结合思想；(2)设而不求；(3)坐标法；(4)根与系数关系三、【易错试题常警惕】2x易错典例：已知椭圆 C :飞aZ =1 a b 0 的一个焦点为 .5,0 ，离心率为b（2）若动点P （x0, y0 ）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程（1）求椭圆 C的标准方程;易错分析：研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解.温馨提醒：（1）研究直线与圆锥曲线位置关系问题，要特别注意运用

17、数形结合思想；（2）在解答此类问题时，要注意直线斜率是否存在，分类讨论，避免漏解.四、【课时训练】A基础巩固训练1.已知椭圆=1 （ m 0）的左焦点为F (-4,0 )，则 m =(2.已知椭圆2 2x yc : 2牙=1(a 、b 、0)的左右焦点为a bF1,F2离心率为3，过F2的直线l交C与A,B两点，若厶AF1B的周长为3则C的方程为（）A.3.设x2=1F1, F2为椭圆B.4.【2016高考新课标2f y2=12y 1的两个焦点，点2xC.122y =18P在椭圆上，若线段D.PF11文数】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点5.【四川省成都市 2017届高中毕业班摸底】已知椭圆

18、Cx212的中点在是椭圆C-|和双曲线 C?的一个公共点，若2y =14y轴上，则1吓|的值为（，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 £则该椭圆的离心率为（22x y2222 =1(a b 0)a bPF2 = 2,则椭圆C1的离心率为（）：.k.4有相同的右焦6.设椭圆C :2 x2 aC.2 -12y2 =1 a b 0的左右焦点为F2，作F2作x轴的垂线与C交于 A, B 两点， b''1.【2016高考新 课标m文数】已知2y厂1（a b 0） 的左焦点， A,B 分别为C的b交于点D，若 AD _ F1B ，则椭圆 C的离心率等于B能力提升训练2xO为坐标原点，F是椭圆 C : -2a左，右顶点.P为C上一点，且PFI x轴.过点 A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E .若直线BM经过OE 的中点，则 c的离心率为1A.31B.22C.33D.42.若m是1和4的等比中项，则圆锥曲线=1的离心率为（D.、2或323.设 P,Q分别为xy - 6=2和椭圆2