高数高等数学A上复习资料

1、高等数学A上册资料第一、二章 函数、极限与连续第三章 导数与微分第四章 微分中值定理与导数应用第五章 不定积分第六章 定积分第七章 无穷级数第一、二章 函数、极限与连续第一讲 函数教学目的和要求：深刻理解一元函数的概念，熟悉函数的几种特性、运算，能熟练作出基本初等函数的图形。 知识点：一元函数的定义、函数的特性、函数的运算、基本初等函数、分段函数。 重点：一元函数的定义（着重要强调自变量与因变量之间的单值对应关系），函数的几种特性，基本初等函数。 难点：复合函数、反函数、分段函数 教学方式：多媒体，讲授 教学思路：本讲实际上是复习中学有关一元函数的内容，通过这一次课，让学生对一元函数y = f

2、(x)有一个统一、准确的认识，尤其要深刻理解其中x与y之间的单值对应关系，熟悉函数的特性、运算、图形、强调对分段函数的讲解，为以后讲函数的连续、求导做准备。教学过程：一、函数的概念定义1 设A、B是两个实数集，称映射f: AB为一元函数，简称函数，记作其中x称为自变量，y称为因变量，f(x)表示函数f在x处的函数值，A为f的定义域，记作D(f)、f(A)=y | y= f(x)、xA称为f的值域，记作R（f）。注意：函数的两个基本要素：定义域和对应法则，x与y之间必须是单值对应关系。函数常用的表示方法：列表法、图示法、公式法。例1 求函数的定义域。解：必须满足条件： 即 得 函数的定义域为：（

3、1,2）。例2 求函数 的定义域。解：x必须满足条件 由<1> ，解之得由<2>，当，即时，<2>变为，无解。当 ，即 时，<2>变为，解之得： 函数的定义域为：分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式来表示对应法则的函数。例3 符号函数例4 取整函数表示不超过x的最大整数。 如：-3.2= -4 3.55=3 例5 例6 即例7 设解：略通过分段函数的学习，进一步理解函数的概念，扩大学生认识函数的范围，为以后讲解函数的连续性创造条件。二、函数的图形定义2 称集合为函数f的图形，记为G(f)。函数f的图形是坐标平面上一些特定点（x,y）的集合

4、。注意：与x轴垂直的直线与函数曲线最多只能有一个交点。三、函数的几种特性1函数的有界性 设函数的定义域为D，数集，如果存在正数M，使对于任意都有则称函数在集X上有界，否则称在X上无界。2函数的单调性设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，有，或，则分别称是区间I上的单调增加函数或单调减少函数。单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。3函数的奇偶性设函数的定义域D关于原点对称，如果对于任意，都有，则称为奇函数；如果对于任意都有，则称为偶函数。奇函数的图形关于原点对称，因为也在图形上。同理可以说明偶函数的图形关于轴对称。4函数的周期性设函数的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意

5、，有，且则称为周期函数，T称为周期。若T是的周期，则也是的周期，周期中的最小正值称为最小正周期，通常周期均指最小正周期，如，。例8 证明下列函数在所示区间内有界1） 2） 证明 1）只要证明在上是单调的，则有界。 设 ，则而 ，有于是 由于 所以 即 在上是单调的或因而有界。 2）因，则 设 ，则，故 。 所以 或有界例9 讨论函数的奇偶性。解：函数的定义域 因 所以，是上的奇函数。例10 试证 是奇函数证明： 设，则，由于设 ，则，由于又 ，于是对于任何，都有，从而是奇函数。例11 函数是否为周期函数，如果是确定其最小正周期。解：对任何x，存在整数n，使，则 。当T为整数时，由于，故 ，于是

6、有是周期函数，最小正周期为1。四、函数的运算 1函数的四则运算 设f, g是定义域分别为的函数，定义f, g的和、差、积、商如下： 且 特别地 ，称为f与的数。 2复合函数定义3 设有两个函数和，如果函数将集合映入，函数将集合映入，若，则得到了一个从到的一个新的函数，也称为由函数和复合而成的复合函数，记作，称为中间变量。例12 设，求复合函数。解：由于可构成复合函数，反之可否构成，不可定义4 设函数的定义域为D，值域为f(D)，则对于任一，必有唯一的使，从而确定了一个新的函数，这个函数称为函数的反函数，记作它的定义域是f(D)，值域是D。注意：是单值对应的，但其反对应关系不一定是单值的，从而不

7、一定能构成单值函数。如：，函数与的定义域与值域是互换的，因而在xoy面上图形相同，习惯上用表示的反函数，若点P（a, b）在的图形上，则Q（b, a）就在其反函数的图形上，反之亦然。而P（a, b）与Q（b, a）是关于直线y=x对称的，从而y = f(x)与其反函数的图形是关于直线y=x对称的。五、基本初等函数 常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。 1见教材即可注意：对这些函数的定义式、定义域、值域、图形及相关的性质要了如指掌。六、初等函数定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。注

8、意：一般地、分段函数不是初等函数 但：是初等函数我们所讨论的函数一般都是初等函数，如：，等双曲函数：见教材反双曲函数：见教材小结：抽象地讲，一元函数就是讨论两个变量x与y之间的一种动态关系，不过要求x与y的对应关系是单值的，与其相关的有界性、单调性、奇偶性、周期性都会在这一动态过程中得到体现。推而广之，世界上的万事万物如果可以量化的话，不都可看成以时间为自变量的函数吗？因为它们都是随时间的变化而变化的。第二讲 极限（一）教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解x无限增大时函数极限的定义。知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x无限增大时函数极限的定义。重点：两个定

9、义及数列极限的性质难点：x无限增大时函数极限的定义教学方式：多媒体，讲授教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义，着重解释如何用精确的数学语言来表达对“无限增大”，“无限接近”这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到x无限增大时函数的极限教学过程：一、数列极限的概念 以自然数为自变量的函数的函数值按自然数的顺序排列起来，就构成一个数列。，简记为，xn为通项。例如 1） 2） 3） 4） 5）将这些数列的若干项表示在数轴上，当时，观察它们的变化规律，会发现无限增大，无限接近于0，、无限接近于1，变化趋势不确定。1234如果当n无限增大时，xn无限接近某个确定的常数a，则称xn以a为极

10、限，或称xn收敛于a，记为：以（3）为例，当时，的各项无限接近于1，也就是说，随着n的增大，数列各项与1之差的绝对值（即点与1的距离）就可以越来越小，任意小，要多小有多小，可以小于任意给定的正数。就是说，对于任意给定的正数，不论它有多么小，只要n足够大，都可以使，换句话说，只要存在正整数N，对于n>N的所有项都满足不等式就行了。 如：取，要使，即，得，取N=100，当n>N时，就一定有。也就是说该数列从第101项开始，后面所有的各项与1的距离都小于0.01。再取定义1 设有数列，若存在一个常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，有成立，则称

11、数列存在极限，并称a为的极限记作 或。此时，也称数列收敛于a，或为收敛数列，否则称数列为发散数列。 上述定义用逻辑符号表述为：，使得当n>N时，恒有，则称a为数列的极限。注意：定义中，正数是任意给定的可以充分小，它刻画了xn接近于a的程度，正整数N与有关，用n>N刻画n足够大，它是保证成立的条件，对于一个给定的，N不是唯一的。以a为极限的几何意义：对于数轴上的点a的任意给定的邻域，总存在自然数N，使得点列从第N+1项起所有的点：，都落在之内，而在此邻域之外至多只有的有限项，因此可知，数列的收敛性与它的前有限项无关。例1 用数列极限的定义证明：证明：分析 利用N定义证明关键是对，视n

12、为未知数，通过不易解出n，可设法将适当放大为，然后由，解出，再取，因 ，要使 ，即要或，所以，对，取，则当n>N时，有： 。例2 用数列极限的定义证明，证明：因 ，而 。所以，要使 ，只要，即 ，于是，对，取当 n>N时，恒有成立。 。例3 用“”语言证明：证明：因 而 于是 ，要使 ，只要，即 所以，对，取，当n>N时，恒有 成立。 例4 用“”语言证明：证明：当时，结论显然成立。 现设 ，因，要使 ，取对数得：即 （不妨设）。所以，取，当n>N时，恒有 。 。二、数列极限的性质定理1 （极限的唯一性），收敛数列的极限是唯一的证明： 用反证法，如果，且a<b，取

13、 由 知，存在正整数N1，当时 有 又由 知，存在正整数N2，当n > N2时 有 取 ，当n > N时，上两不等式都成立 于是有 。 矛盾，假设不成立，定理成立。 设数列xn，若，使得当恒有，则称xn有上界L。类似可定义xn有下界。若xn既有上界，也有下界，则称xn是有界的，否则称xn无界。定理2 （收敛数列的有界性），如果数列收敛，则数列必有界。证明：设 ，则对于，存在正整数N，当n>N时， 有 ，从而 取 ，当时都有 数列xn有界。注意：有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件，也就是说有界数列不一定收敛，如数列，有界但不收敛，若数列xn无界，必发散，如数列无界，因而发

14、散。子数列的概念：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的数列称为原数列xn的子数列（子列）。 如xn中取出。定理3 （收敛数列与子数列间的关系），如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。 证明：设数列是数列xn的任一子数列， 由于 ，均对于，当n>N时 恒有 成立。 取K=N，则当时， 于是 成立 。 注意：如果子数列收敛，但原数列xn不一定收敛，如思考题：猎狗的奔跑速度为10m/s，兔子的奔跑速度为 5m/s，猎狗沿直线追赶兔子，兔子提前一秒钟开始跑，如图，当兔子跑到B点时，狗追到A点，当兔子跑到C点时，猎狗追到B点，这样追下

15、去，似乎猎狗永远也追不到兔子，为何？三、自变量x无限增大时函数的极限 x无限增大包括三种情况：。 如果在的过程中，函数值无限地接近于确定的常数A，则A就叫做函数当时的极限。定义2 设f: 是一函数，其中 ，若存在常数，满足关系：，使得当时，恒有。那么称A是f(x)当时的极限，记作或这时，我们说，当时，f(x)极限存在。当时，定义中的改为就可得的定义当时，定义中改为就可得的定义定义的几何意义：对，总能在x轴上找到一点X，使得函数的图形在直线右边的部分与直线左边的部分位于平面带形内定理4 证明：必要性 设 ，由定义可知： 对于 ，当时，即当 或时 充分性，设 对于，当时， 对于，当时，取，当时恒有

16、 成立 。例5 证明：因 要使 ，只要 ，即 于是对于，取，当时，就有 成立 小结：数列的极限实际上是一元函数当自变量无限增大时极限的一种特殊情形，数列极限是自变量n“离散地”取正整数无限增大时，函数值的变化趋势。而一元函数当自变量无限增大时的极限是自变量x“连续地”取实数无限增大时，函数值的变化趋势，一个是“离散变量”，一个是“连续变量”。第三讲 极限（二）教学目的和要求：深刻理解函数极限的定义，掌握用定义证明函数极限的方法、熟悉函数极限的性质。知识点：定义，函数极限的性质重点：定义难点：定义，用定义证明函数的极限教学方式：多媒体，讲授教学思路：利用函数极限的几何意义，详细、形象、深刻地讲解

17、定义，适当地增加用定义证明函数极限的例题，让学生熟练地掌握用定义证明极限的方法。教学过程：一、自变量趋于有限值时函数的极限x趋于有三种情况：x从的右侧趋于，即为；x从左侧趋于x0，记为；x从左、右趋于x0，记作。如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值A，那么A叫做函数当时的极限。在的过程中，无限接近于A，就是能任意小，要多小有多小，可小于任意给定的正数，即，而无限接近A是在的过程中实现的，所以对于任意给定的正数，只要充分接近于的x所对应的函数满足不等式即可。而充分接近的x可表示为，其中是某个正数。适合不等式的全体x，就是的去心邻域，则体现了x与的接近程度。定义1 设：是一函数，若存在

18、一个常，满足关系：，使得当时，恒有 则称A是当时的极限，记作或此时，也称当时，存在极限。注意：在时的极限只与在的去心邻域的值有关，与在处是否有定义或在处的值的大小无关。因为极限是考虑时，函数的变化趋势，与在处的状态无关。几何意义：对于任意给定的，总能找到一个，使得函数f的图形在宽为2的竖直带形内的部分全落在长方形内.例1 证明（C为常数）证明：因，对于，可任取一正数（此处与无关），当时，能使不等式 成立。例2 证明证明：因 要使对于，取，当时，就有不等式 成立例3 证明。证明：因，要使，即要对于，即，当时，就有不等式 成立。分析：用定义验证的关键是对于任给，在不等式中视为未知数，从中解出，取即

19、可。如从不等式中不易解出可设法将适当放大为，再从中解出，再取即可。例4 证明：当时，。证明：因要使只要或，且，而可用得证。对于，即，当时，不等式：成立，例5 证明证明：因，而，可限定，则，于是得到放大的不等式要使，只要，即，于是对于，取，当时，就有 成立，。例6 证明证明：因，而，可限定，即，则，于是得到放大的不等式：要使，只要，即。于是对于，取，当时就有 ，。例7 证明。证明：因，而，可限定，则，（因）于是得到放大的不等式要使，只要，即，于是对于，取，当时，就有 成立，。类似可以定义，时函数的极限：设函数：常数），若存在数，满足关系：，使得当时恒有 则称A为当的左极限，记作或同样可定义当的右

20、极限，记作或定理1 注意：时，的极限为A的充要条件是的左、右极限存在并且相等，如果左、右极限有一个不存在，或都存在但不相等，则不存在。例8 设， 证明不存在。证明：因为 故不存在。思考题：设， 是否存在？与是否有关系？在函数极限不存在的情况中，有一种比较特别：设：是任一函数，若，使得当时，恒有 则称当时，的极限为无穷大，记作或类似地，有和等。二、函数极限的性质：定理2 若存在，则极限唯一。证明：依照数列极限唯一性的证明方法。定理3 （局部有界性）若存在，则与，使得都有。证明：设，由极限定义，对于，当时，有从而，。定理4 （局部保界性）如果，且（或），则，当时，有（或）。证明：设，取正数，由的定

21、义，对于此，当时，不等式 即 成立。故 。类似可证明的情形。定理5 （局部保序性）若，当时，且，那么。证明：反证法，设，取则，当时，有 有 有 矛盾。小结：极限的作用就是描述因变量y随自变量x在一定的变化过程中的终极状态（或变化趋势），它是分析数学中最基本的概念之一，是研究若干数学问题最基本的方法之一，极限概念的理解对后面学习函数的连续性、导数、微分、积分都是至关重要的。第四讲 极限的运算法则教学目的和要求：熟练掌握极限的运算法则，以及极限存在的两个准则，进一步熟练用定义证明极限存在的方法。知识点：函数及数列极限的运算法则，极限存在的两个准则。重点：函数极限的运算法则，极限存在的两个准则。难点

22、：极限的运算。教学方式：多媒体、讲授教学思路：通过对极限四则运算法则的证明进一步熟悉用“定义”证明极限存在，通过一些典型例题的计算尽可能多地掌握函数极限的计算方法以及两个准则的运用。教学过程：定理1 （四则运算法则）设，则1）2）3）此定理对于等情形也成立。证明：2）因 由，对于正数，存在，当时，有 又 ，对于正数M，及，存在，当 时有 。取，当时，上述三个不等式同时成立于是 。3）因对于正数，存在，当时，有，即 ，在内有界。设 ，对于正数，当时，有，从而 再由（2）可知，定理2 （复合运算法则）设函数，当时的极限存在且等于，又，则复合函数，当时的极限也存在，且。证明：因为，所以，使得当时，恒

23、有 又由于 ，故对于上式的，使得当时，恒有 设在的的心领域内，取，则当时恒有 ，即，从而有。定理表明：求可通过变量代换求，化为求的极限问题。例1 求。解：原式例2 求解：原式一般地对于多项式，则。有理函数：有 如果，则不能用法则。例3 求解：当时，分子、分母的极限为零，不能用运算法则，对这类极限通常是将函数式作适当变形，消去分子、分母中趋于零的因式后，再用运算法则。原式例4 求解：（略）以上两例中的极限式称为型的未定式。例5 求解：当时，分子、分母的极限都是，不可用运算法则，以除分子、分母就可以了。原式。例6 求解：（略）例7 求解：原式。此例中的极限式称为型未定式，可化为型未定式。例8 求解

24、：由极限的复合运算法则，设 关于数列，也有类似的极限运算法则。定理3 设，则1）2）3） 例9 求。解： 。极限的运算法则提供了求极限的方法，但前提是极限存在，而且需要利用一些已知极限的结果。极限存在的两个准则：准则I（夹逼原理）如果数列、及满足下列条件：1）2），那么数列的极限存在，且。证明：因为，由数列极限的定义有，当时，有当时，有，取 ，则当时，有，同时成立。又 ，当时，有 ，即 。于是 。上述准则对函数也成立。准则I（夹逼原理）如果1）当时，有成立2），那么：存在，且等于A。准则 （单调有界准则）单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。单调增加数列： 单调减少数列： 单调增加、单调

25、减少的数列统称为单调数列。我们知道：收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则数列的极限存在，也就是说数列一定收敛。例10 计算下列极限1） 2）解：1）因 而 有 又 ，由夹逼原理 。2）因 而 ，。例11 证明数列收敛，并求其极限。证明：先证明其单调性（数学归纳法）当时，有，设当时，有，则 ，即当 时，有 。所以，对一切自然数，故数列是单调增加的，再证其有界（数学归纳法）当时，设， 则 。所以，对一切自然数n，都有，故数列有上界2。根据单调有界准则，存在。设 ，由 ，当时，两边求极限得 解之得：， 显然，不能为负。思考题：1）求 2）小结：直接用运

26、算法则和准则求极限一般较容易，难点在于对函数式的变形，为了达到好的学习效果，务必要有针对性地做适量的练习，通过练习归纳、总结行之有效的方法，熟练法则、准则的运用。第五讲 两个重要极限教学目的和要求：深刻理解两个重要极限的意义，能熟练运用两个重要极限的结果，求解与之相关的极限问题。知识点：两个重要极限。重点：两个重要极限。难点：的证明。教学方式：多媒体、讲授。教学思路：通过两个重要极限的证明，加深对它们的理解。在与之相关的例题与练习之中，进一步熟练运算法则、准则的运用，解题力争做到简洁、明了。教学过程： 一、证明：设，作单位圆，由图可知：的面积<扇形AOB面积<的面积 所以：。即：，

27、除就有或。以代都不变，上述不等式在（）内的一切也是成立的。 从而有： 由夹逼原理得： 因而由上面的证明还可知 ，即 。 由此结果，可得：圆周上任一弦与其对应弧的长度之比当弧长超于0时的极限为1 事实上，弧 弦。 。例1 求。 解：原式= 例2 求 解：原式= 例3 求 解：原式。 例4 求 解：原式 例5 求 解：原式 例6 求 解：因 =。 不随n变化，且 。 =。 例7 求。 解：原式。 例8 求。 解：原式。 例9 求。 解：原式。 或先将化积，再变形。此类极限问题关键是要将极限式化为的形式，再用的结果。 二、先考虑x取正整数趋于的情形，设，可以证明是单调增加，并且有上界。由二项公式，有

28、 比较与的展开式，每一项均为正数，除前两项外，的每一项都小于的对应项，且还多一项，于是，即数列是单调增加的。又 这说明数列有上界，根据单调有界准则，存在，设极限为，从而得： 为无理数，的每一项是有理数，而极限是无理数。 再考虑x为实数的情形： 先证 设 ，则，从而有当时，并且 由夹逼原理可得：。 再证，令，当时，从而有 所以： 。 利用极限的复合运算： 例10 求。 解：令，则当时，于是 原式。 例11 求。 解：， 令，则，当时， 原式= =。例12 求。 解：原式=例13 求。 解：令 当时， 例14 求 解：原式 = = =（因）此类极限问题关键是将极限式化成或的形式，再用的结果。 小结

29、：两个重要极限在实践中有很重要的应用，它们的证明应用了夹逼原理和单调有界准则，证明的方法非常简练，值得借鉴，对两个重要极限的认识不能仅仅停留在它们的结果上。第六讲 函数的连续性教学目的和要求：深刻理解函数连续性的概念，熟悉间断点的分类、连续函数的运算及性质。知识点：函数连续的定义，间断点的定义及分类，连续函数的运算及闭区间上连续函数的性质。重点：函数连续的概念，间断点及其分类。难点：间断点及其分类。教学方式：多媒体、讲授。教学思路：结合极限的定义，深刻、透彻地讲解函数连续的定义，利用分段函数解释函数的间断点及其分类，通过函数的图形直观地解释连续函数的性质。 一、连续函数的概念 定义1 设有函数

30、，若 则称函数f在x0处连续。 用语言表达：，使得当时，恒有 则称函数f在x0处连续。 注意：在此定义中要求函数f在x0处有定义，与极限定义不同。该函数在x0的某邻域内有定义，当自变量从x0变到x时，对应的函数值从f(x0)变到f(x)，称为自变量的增量，为函数的增量。 定义1 设函数，若 则称函数在处连续。 此定义表明当自变量在某点的增量充分接近于零，对应的函数的增量可以任意接近于零，则函数就在该点连续。 类似于左极限、右极限，还可以定义函数在x0处的左连续、右连续，若 则称f在x0处左连续（右连续），不难证明：函数f在x0处连续f在x0处既左连续又右连续。若f在开区间（a,b）内每一点连续

31、，则称它在开区间（a,b）内连续；若f在（a,b）内连续，并且在左端点右连续，在右端点左连续，则称它在闭区间a,b上连续，半开半闭区间上的连续性可类似定义，若f在定义区间I上连续，则称它是该区间上的连续函数。 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 如：。例1 证明在内连续。 证明：任取，由和差化积公式 所以，对于任给，取，当时于是。即在x0处连续，由x0的任意性可知是上的连续函数。类似地，可以证明也是上的连续函数。 例2 证明在上连续。 证明：先证； 对于，为使，只要，取，则当时，就有 即。 再证； 由于等价于，所以 故 类似可证明 ，因 因此是上的连续函数。 例3 证明 在处连续。 证明

32、：因，。所以 ，故在处连续。二、函数的间断点及其分类由定义、函数f在x0处连续当且仅当满足下列三个条件：1）在处有定义。2）存在，即与存在且相等。3）如果其中有一个条件不满足，即f有下列三种情形之一：1）在x0处无定义。2）虽在x0处有定义，但不存在。3）虽在x0处有定义，且存在，但，则在处不连续。使函数不连续的点x0称为的间断点。函数的间断点分为两类：一类是左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点，其余的称为第二类间断点。例4 设，问是否是间断点？第几类？解：显然在处没有定义，是间断点，而 是第一类间断点。 补充定义：，则函数在处就连续了。例5 设 问是否为间断点？第几类？ 解：因， 而

33、是第一类间断点。补充定义：，则函数在处就连续了。以上两例中的间断点称为可去间断点，其特点是：函数在该点处的左、右极限存在且相等，但函数在该点无定义或者虽有定义但极限值与该点的函数值不相等。重新定义函数在该点的值，可以使之成为连续点。 例6 设 问是否为间断点，第几类？ 解：因， 左、右极限存在，但不相等，所以是第一类间断点。 左、右极限存在但不相等的间断点称为跳跃间断点。 可去间断点和跳跃间断点都是第一类间断点。 例7 ，问是否为间断点，第几类？ 解：因在处无定义，且，所以是第二类间断点，也称无穷间断点。 例8 ，在处没有定义，且不存在，且当时，函数值在-1与1之间变动无限多次。称此类间断点为

34、振荡间断点（图见教材P43）。无穷间断点与振荡间断点属于第二类间断点。 三、连续函数的运算及初等函数的连续性 由连续的定义及极限的运算法则可得连续函数的下列性质： 定理1 设函数在处连续，则：1）2） 3）（）都在处连续。 定理2 设是由与复合而成的函数，若在处连续，在对应的处连续，则也在处连续。 证明：因为，令，即 所以： 说明复合函数在处连续。 此定理表明： 也就是说，在求连续函数的极限时，极限符号与函数符号可以交换次序。 定理3 设是单调增加（或单调减少）的连续函数，则其反函数在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。 由在上的连续性，可知在其定义域内连续。 由于在上单调增加且连续，则

35、在-1，1上也是单调增加且连续，反三角函数在它们的定义域内都是连续的。由于在内是单调连续的，则在内单调且连续。幂函数可以看成是连续函数与的复合函数，所以它在上连续。 综上所述得：基本初等函数在其定义域内都连续。由初等函数的定义及基本初等函数的连续性，可得： 定理4 所有初等函数在其定义区间内都是连续的，定义区间是包含在定义域内的区间。如：定义域是离散的点集不是区间，那么是不能谈连续的。初等函数的连续性提供了求极限的一种方法。例9 求 解：原式= 例10 求 解：原式= 例11 求 解：令，则，时，于是原式=。四、闭区间上连续函数的性质 定理5 设f在a,b上连续，则f在a,b上有界。 定义2

36、对于在区间I上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有 则称是函数在区间I上的最大值（最小值）。 定理6 （最大值和最小值定理）在闭区间a,b上连续的函数一定能取得它的最大值和最小值，即至少存在两点，使得 图：见教材P45图2-8 注意：此定理中，函数f的定义域必须是闭区间，并且是连续的，否则结论不一定成立。举例说明之。 定理7（零点定理） 设函数f在a,b上连续，若，则至少存在一点，使。 几何意义：如果闭区间上的连续曲线弧段的两个端点位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧与x轴至少有一个交点。图：见教材P46图2-10。 定理8（介值定理） 设f在a,b上连续，则对于与之间的任意数，至少存在一点，使

37、得。 证明：设，则在a,b上连续，且，。 由零点定理，至少存在一点，使，即。 几何意义：闭区间上的连续曲线弧与水平直线至少相交于一点。图：见教材P46图2-11。推论：设f在a,b上连续，则f能取得介于它的最大值M与最小值m之间的任一值。例12 证明方程在区间（0，1）内至少有一根。证明：设，显然在0，1上连续。又，由零点定理，至少有一点，使即：此等式说明在（0，1）上至少有一个根。例13 设在a,b上连续，且，证明在（a,b）内至少有一点，使。证明：令则在a,b上连续且，由介值定理，至少有一点，使，即。小结：函数的连续性描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小

38、变动的情况，其图形是一条连续不间断的曲线。连续函数的性质可在其图形上得到直观的表现。第七讲 无穷小与无穷大、无穷小的比较教学目的和要求：深刻理解无穷小、无穷大的概念以及它们之间的关系，熟练运用无穷小的运算性质。熟悉无穷小的比较。知识点：无穷小、无穷大的定义，无穷小的运算，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较。重点：无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较。难点：等价无穷小的利用教学方式：多媒体、讲授。教学思路：通过具体的实例理解无穷小、无穷大的概念，无穷小与无穷大是函数在变化过程两种比较特别的变化趋势，要加强对“趋势”二字的解释。教学过程： 一、无穷小与无穷大 定义1（无穷小） 当时

39、，以零为极限的函数称为当时的无穷小量，简称无穷小。 注意：无穷小是一个变量，是在某个变化过程中绝对值越来越小的一个变量，不能把绝对值很小的常数当作无穷小，常数中只有零是无穷小。 如：当时，等都是无穷小量；当时，等都是无穷小量，可结合函数的图形加以讲解。无穷小与函数极限的关系： 定理1 的充分必要条件是，其中是当时的无穷小。证明：必要性： 设，则令，则是当时的无穷小，并且 充分性：设，是当时的无穷小。则 。 此定理对于时的情形同样成立。 由极限的运算法则，可得到无穷小的运算性质。定理2 对于自变量相同变化趋势下的无穷小，有如下性质：1）有限个无穷小的和是无穷小。2）有限个无穷小的乘积是无穷小。

40、定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 证明：设函数在的某一去心邻域内有界，即，使当时，恒有，又设是当时的无穷小，从而， 即 由于，所以 即是当时的无穷小。 类似证明，若是当时的无穷小，在时有界，则是当时的无穷小。 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小。 例1 求。 解：当时，是无穷小，为有界函数，故是无穷小。 于是 。 例2 求 解：因，是当时的无穷小，而，由定理3可知 注意：此例与第一个重要极限的区别。 例3 求 解：原式= 因，从而 原式=0。定义2（无穷大）设f：是一函数，若 则称函数是当时的无穷大量，简称无穷大。若（或），则称为当时的正无穷大（负无穷大），类似还可以定义当时的无穷大及正

41、（负）无穷大。注意：无穷大量是变量，是在某个变化过程中绝对值越来越大的变量。绝对值很大的数不是无穷大，两个无穷大的代数和不一定是无穷大，如：当时，无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大，如当时，等。在几何上，若，则称直线是曲线的铅直渐近线；若，则称直线是曲线的水平渐近线。无穷小与无穷大之间的关系：定理4 若是无穷小，且，则是无穷大；若是无穷大，则是无穷小。例4 求解：当时，而。例5 求解：当时，于是，原式=。定理5 1）有限个无穷大量的乘积是无穷大，2）无穷大与有界量之和是无穷大。二、无穷小的比较两个无穷小的商的极限会有不同的结果，例如，当时，都是无穷小。但不存在，不同的结果，反映了不同的无穷

42、小趋近于零的速度各不相同。定义3 设是在同一自变量的变化过程中的无穷小，而也是在这个变化过程中的极限，且。1）若，则称是的高阶无穷小，或是的低阶无穷小，用小o记作。2）若，C是一个非零常数，则称与是同阶无穷小，记作，特别地，C=1时，称与是等价无穷小。记作。3）若，C是一个非零常数，k>0，则称是关于的k阶无穷小。例6 当时，比较下列无穷小的阶。1） 2）3） 4）解：2）由于所以，当时，与是等价无穷小，即类似可得（1）、（3）、（4）：当时，。例7 设，求A，使当时，与是等价无穷小。解：因 而 ，所以取，当时，故当时，例8 证明当时，证明：令，则，当时，于是 当时，例9 证明当时，证明

43、：因为 当时，定理6 与是等价无穷小的充分必要条件是：因此 。证明：必要性： 设则因此 即：充分性： 设 则因此 定理7 设，且存在，则 也存在，且=。证明 = =··=此定理称为等价无穷小的替换定理。例10 求 解：因为当时，所以 例11 求解：因为当时，故 原式=例12 求 解：因为当 时，故 原式=注意：等价替换只能对分子分母中的无穷小因子进行，而 小结：无穷小，无穷大都是变量，是自变量的某个变化过程中，函数值的两种变化趋势，对他们的认识一定要有动态的眼光。第八讲 习题课教学目的与要求：加强对本部分内容全局性的认识，加深对基本概念的认识和理解，进一步熟练极限的运算，间

44、断点的判别。知识点：函数，极限，连续重点：极限，连续难点：极限的运算教学方式：多媒体，讲授，课堂练习教学思路：用框图对本部分内容作一概述，使学生对内容的条理更加明确，列举一些综合性较强的例题，加强极限的运算，间断点的判别，以及对函数连续性的认识。教学过程：一、知识网络图二、举例例1 设， 1）求 及其定义域；2）可以复合成形如的函数吗？解：1）因的定义域是（），值域是（），而的定义域是（），的值域在的定义域内，故有意义，因而即 。从上式看出的定义域是（）。2）由于的值域是，的定义域是，它们无公共部分，不能复合成形如的函数。例2 试证函数没有周期。证明：反证法 设的周期为T，由 有即 。取 ，得

45、 ，从而 矛盾。例3 设 且 求 。解：由已知，有， 即例4 ：判定函数 的奇偶性。解：，是偶函数。例5 求。解：原式=。例6 求。解： 因为 。故 原式=。例7 设 试证：存在，并求此极限值。解：由已知 且 即 设 则 所以 是单调增加的，又从而有上界，根据单调有界准则，存在。令，则有 即 解得：，而 ，。思考题：设 ，且，证明存在，并求此极限。提示：用归纳法证明单调减少，且有下界。例8： 求解：原式=，例9 求 例10 求解：原式=当 时，原式= 。当时，原式= 不存在。例11 求 例12 求 例13 求解：当 时，所以。思考题：求 。例14 解：当时，原式=。例15. 讨论函数的连续性，

46、并判断间断点的类型。解：显然的间断点为（）及，在（，）内其余的点都连续。而当时，当时，故 ，是第一类（可去）间断点。当（）时，故 是第二类（无穷）间断点。例16讨论函数的连续性。解：当时， 是的第二类（无穷）间断点。当时， 是的第一类（跳跃）间断点。于是在（，0） （0，1） （1，）上是连续的。例17讨论函数的连续性，并判断间断点的类型。解，若， 当时， 当时，当时， ，0是的第一类间断点，其中是可去间断点，是跳跃间断点。在（，-1），（-1，0），（0，1），（1，）上连续。思考题：求的间断点，并指出类型。提示：，。小结：函数是研究变量间的关系，而极限是讨论变量的变化趋势，连续是讨论变量的

47、变化状态，对这些概念的认识一定要用动态的方法，要有大局观。第三章 导数与微分第一讲 导数的概念教学目的与要求：1、掌握导数的定义，导数的极限表示的各种形式，导数的几何意义、物理意义。2、知道可导与连续间的关系。3、熟记8个简单初等函数的求导公式，并会应用。知识点：导数的定义，导数的物理、几何意义，导数与连续的关系，8个初等函数的求导公式。重点：导数的定义，及它的几种极限表示式难点：分段函数的可导问题教学方式：讲授为主教学思路：从引例出发引出导数概念，明确指出导数的几种极限形式，左、右导数的表示式，以加深对导数的概念的理解。例题以加深导数定义的题目为主，求导例题等为辅，导数应用题为辅。教学过程：

48、一、导数的定义引例1：直线运动的速度一汽车一天行车8小时，走了240公里，平均每小时走30公里，但这仅是平均速度，8小时期间，有时速度超过30公里，但有时会小于30公里。我们现在关心瞬时速度。设物体作变速直线运动，已知位移随时间变化规律为S=S（t），当时间从t0t0+t，物体在t时间内所经过的距离为：但这段时间里平均速度为：但当t很小时，t0时刻的瞬时速度应有：且t越小近似程度越好，于是规定引例2： 平面曲线的切线的斜率设C是一条连续的平面曲线y=f(x)（如图）如何定义曲线在M(x0,y0)处的切线，其斜率为多少？设想在曲线C上任取一点N(x0+x，f(x0+x)作割线MN，当x0时，点N沿曲线C趋向M，割线MN在转动，绕点是M点，它的根限位置在MT，定义MT为曲线C在点M处的切线，因此当x0割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率k，因此以上两个引例显然属于两个不同的领域，一个是物理问题，一个是数学问题，但解决问题的数学型式却一样，都是用函数的改变量除以自变量的改变量在自变量的改变量趋于零过程中的极限值来表示，抽象成数学概念。定义1：设函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义，在邻域内自变量x0有增量x，相应地函数有增量y=f(x0+x)-f(x0)，若 （1）存在，则称函数f(x)在x0 可导，并称此极限为f(x)在x0处的导数，