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文档简介

1、湖州师院第二届高等数学竞赛试卷(专业组)竞赛时间：2004年11月7日8:00-11:00下属学院-专业-班级-学号-成绩-一二三四五六一、 计算题1、求的值。（选自广东省大学生高等数学竞赛试题）解：=令 则原式2、计算积分（选自98年高数二硕士研究生入学试题）解： 原式（均为收敛的广义积分，奇点） =3、 函数在上可导， 且满足等式，求导数（选自98年高数二硕士研究生入学试题）解： 由题设知方程两边对求导数，得到 令则有 又有及将代入原方程得到 因此 4、 求积分值（选自高等数学双博士课堂）解： 因为 故不是瑕点。但此反常积分还是可以这样处理：而 故 二、 设有曲线，过原点作其切线，求由此曲

2、线，切线，轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。（98年高数二硕士研究生入学试题）解： 设切点为则过原点的切线方程为，再以点代入，解锝，则上述切线方程为由曲线段绕轴旋转一周，所得到的旋转面的面积 由直线段绕轴旋转一周所得到的旋转面的面积 因此，所求旋转体的表面积为 三、计算曲面积分，其中为抛物面位于内的部分的上侧。（选自高等数学双博士课堂）解： 不是封闭曲面，作辅助面，取下侧，则构成一封闭曲面，由高斯公式 为所围成的区域）又 所以 四、设是区间内单调减少且非负的连续函数，（）。证明数列的极限存在。（1999年全国硕士研究生入学试题，1983年清华大学硕士研究生入学试题）证： 由题设可得，故 ，即数列有下界。 又 故数列单调下降。由单调有界数列必有极限的准则知数列的极限存在。五、求半径为的圆的内接三角形中面积最大者。（选自第一届北京市大学生（非理科）数学竞赛试题）解： 设圆心到此内接三角形三个顶点所构成的圆心角分别为，则设所对应的三个三角形的面积分别为 圆内接三角形面积 令得 或当此时圆内接三角形缩为此三角形边界上的一段直线段，所以当 此时为最大。即圆的内接三角形中面积最大者是内接正三

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