九年级数学竞赛试题(附答案)VIP

1、九年级数学测验二满分：120分时间：150分钟一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）1.实数x、y满足等式，则的取值范围为 。2.关于x的方程无解，则实数a的可能取值有 。3. 已知的直角边长分别为、，斜边长为，的直角边长分别为、，斜边长为；请以与的直角边长构造出的直角边： ，使得其斜边长为。4.在中，P为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立：当 时，为以BC为底边的等腰三角形；当 时，为以AC为底边的等腰三角形，且P为它外接圆的圆心；当 时，为等边三角形。5.在四边形ABCD中，P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA四边中点，记四边形ABCD的对角线长度之和

2、为，四边形PQRS的对角线长度之和为，令，则k的取值范围为 。6.已知函数与直线只有一个交点，那么这个交点的坐标为 。7.给出三个关于x的方程：，若，且这三个方程有相同的根，则这个根为 ；若，则前两个方程均有实根的概率为 ；若，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有 个不相等的实根。8. 已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边与最长边之比为 。9.如图，给出反比例函数，这里；在x轴正半轴上依次排列2010个点，点的坐标为，；过点作x轴的垂线交反比例函数于点，记的面积为，那么 。 二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）10.若，那么a、b（ ）A.一个为

3、无理数、一个为有理数 B.均为分数 C均为无限不循环小数 D.不是实数11.下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解？（ ）A. B. C. D. 12.如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）个：A.4 B.3 C.2 D.113.将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有n种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（ ）度。A. 或 B. 或 C. 或 D. 或14.如图，一开口向下的抛物线与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点Q（0，-3），其顶点为P，若，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 15.如图，在半径

4、为r的中，有内接矩形ABCD，AB中点E与圆上逆时针排列的三点F、G、H构成边长为a的菱形，若，则DG的长为（ ）A. 或 B. 或C. 或 D. 或16. 如图，在直角坐标系中，直线与y轴、反比例函数和x轴依次交于A、B、C、D四点，若，且，则（ ）A. B. C. D. 17. 如图，在中，作内切圆，记其半径为r；在周围再作三个圆，使得它们既与相切，又与相切，记它们的半径分别为、，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D.无法确定，与的锐角有关18.如图所示环形跑道，大圆半径为55米，小圆半径为50米，A、B、C、D为大圆圆周上的四等分点，小圆上的点、在直线AC上，、在直线BD上；甲、乙

5、两人从A点开始顺时针慢跑，甲一直在大圆上运动，其速度为每秒2.5米；乙作每秒4米的匀速运动，只是先沿着直线段抵达小圆，跑完四分之一个圆周后沿直线段回到大圆上；图中箭头即规定了乙穿梭于大圆和小圆之间时的方向，同时要求他不能连续两次通过某一直线段进入小圆或回到大圆，即乙从B点跑至D点并进入小圆后不能再一次在点回到大圆，而必须经过直线段；此外，乙除了在经过这些直线段时作向南或向东的运动，其他时候都是作顺时针运动。请问：当甲第一次出现在乙之前（即甲在乙前方5米以内）时，乙已通过点（ ）次A.2 B.3 C.4 D.5三、解答题（共七大题，满分66分）19.小明在做数学作业时遇到了困惑，请你帮忙解答：（

6、1）（4分）整数m使得关于x、y的二元一次方程组的解，试求m； 小明先是这么解的：由解得，于是，得到； 后来小明发现了一种更简便的方法，因为他认为带参数解方程显得过于繁琐： 由得知，于是， 解到这儿时他才发现不对劲，因为两个结果差异太大，可他看了半天也检查不出错误，你能找出来告诉他吗？（2）（4分）他在另外一次数学作业中又遇到了不等式问题，已算到这一步： 负数x、y(>x)满足不等式， 他很快对左边的整式作了因式分解：，于是得到； 不过小明是个爱动脑筋的孩子，他又记起了以前学过的换元法： 令，则原不等式可化为：，即，得，但这样得出的结果与前面矛盾，因为y为负数，因此将y乘到不等式右边时，

7、；他大惑不解，不过他实在不知自己哪儿出错了，你能找出来告诉他吗？20.观察以下方法并答题：对于正整数n，求。由， ， ，将以上n个等式加起来，得： ， 。（1）（4分）对于正整数n，请运用以上方法求；（2）（3分）对于正整数n，利用（1）的结果求。21.如图，为等腰三角形ABC的外接圆，在劣弧上找一点D使得，在劣弧上找一点E使得，若，（1）（3分）试判断四边形ABCD的形状；（2）（5分）利用图中边角关系，求。22.某地摊出售A、B、C三种货物，顾客甲买了A货物1件、B货物2件和C货物3件，一共花去26元，顾客乙买了A货物2件、B货物3件和C货物4件，一共花去38元；（1）（2分）求出A、B、

8、C三种货物的单价之和；（2）（3分）若顾客丙买了A货物3件、B货物2件和C货物1件，那么他花了多少钱？（3）（4分）若顾客丁打算用32元购买这三种货物，那么他怎么选购才使得钱恰好够用？23.如图，在边长为a的菱形ABCD中，M为BC边上一点（不与顶点重合），将沿AM折叠，点B刚好落在CD边的N点处；（1）（2分）试求的范围；（2）（5分）若点N恰好为CD中点，试求折痕AM的长；（3）（5分）求证：。24.在关于x的一元二次方程中，a、b、c为的三边长；（1）（3分）若该方程有唯一实根，则必定为锐角，且当时，为等边三角形；（2）（4分）若该方程有唯一实根，且，试证明：；（3）（5分）若该方程有两

9、个整数根，三边也为整数，且，试求出的最小面积。25.给定抛物线与反比例函数，已知它们的图像有不少于两个的交点；（1）（4分）当抛物线与反比例函数只有两个交点时，请画出它们的函数图像，要求在抛物线上标明对称轴以及与x轴的交点坐标；（2）（3分）当抛物线与反比例函数有三个交点P、Q、R（）时，请求出的面积（用a、b表示）；（3）（5分）当线段PR与抛物线的对称轴交于x轴上，且时，请写出抛物线与反比例函数的方程。九年级数学测验二参考答案一、填空题1. ； 2.0，-1； 3. 或； 4. ；或； 5. ； 6.（0，-1）或或； 7.-1；2或3；8.； 9. 。二、选择题10.D 11.C 12.

10、B 13.B 14.A 15.A 16.A 17.C 18.B三、解答题19.思路：（1）题设告诉我们，方程组是关于x、y的二元一次方程组，这时m可被认为是已知的常数；而并不是该二元一次方程组的解，它只是一个可供判断的条件，实际上x可能大于3.1，也可能大于3且小于3.1，于是原方程组不能看成是关于m的不等式组，第一种方法是正确的；我们也可以用不定解的思想来梳理一下思路，比如，我们由知道，但仅仅知道却不能断定，因此在题中，符合条件的m值一定使得最终的解满足条件，但满足条件的某一组实数x、y并不一定使得在它影响下的m值满足其他的解，于是整数m的确定受制于原方程组的解，而不是我们自行选择的某一组满

11、足的实数x、y； （2）第一种做法是错误的，错误原因在于没有先考虑x、y的符号： 对于，有，而题设中点明， 因此由，得到的是或（舍去）。20. 思路：（1）， ， ；（2）由， 可得， 又， 。21.思路：（1）连结BD、CE，设， ， ； 同理， ，得； ， ， 因此，四边形ABCD为等腰梯形； （2）连结BE，即为圆直径，分别与AD、AC交于点P、R，记圆心为O，连结OD交AC于点Q；在中，在中，于是，即，得，。22.思路：（1）设这三种货物的单价分别为x元、y元、z元，依题意得： ， 两式相减，可得； （2）令， 则有，得， 于是，顾客丙一共花去元； （3）令，即， ， 由于m为整数，

12、因此，当时，则，即顾客丁可以用32元购买到A货物5件、B货物2件和C货物1件。 23.思路：（1）设，则， ，得， ； （2）过点N分别作AD、BC的垂线，垂足分别为P、Q， 由N为DC中点易证； 过点A作于点R，易证， ，得； 设，则， ， 即，解得， ； （3）证明：在中，易证，得，即，。24.思路：（1）依题意得：，于是，不妨设，那么，由，得； 若，则有，即， 因此为等边三角形； （2）在中，延长BC至点D，使得，连结AD， 则， ， 由可得，即， 有， ； 由（1）可知此时中有， ，且，整理得； （3）设该方程两根为， 根据韦达定理有， 因为，均为整数，且能被整除， 因此，或者，或者c为中最长边，使得为三个数中最小的整数； 当时，则，即为正三角形，与题设“”矛盾， 于是c为中最长边；记， 则， 解得； ， ， 当时， 当时，当时， 因此，符合题意且面积最小的的三边长为； 过点C作于点H，设， 则，即， 解得，于是， ； 综上所述，当时，关于x的一元二次方程有整数根1，5，满足题意的此时有最小面积。25