高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

1、精选优质文档-倾情为你奉上高考理科数学：平面向量题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的线性运算例1：记maxx，yx,xyy,x<y,minx，yy,xyx,x<y设a,b为平面向量，则()Amina+b,|ab|mina,|b| Bmina+b,|ab|mina,|b|Cmaxa+b2,ab2a2+b2 Dmaxa+b2,ab2a2+b2 【答案】：D【解析】方法一：对于平面向量a,b,|a+b|与|ab|表示以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又a

2、+b,|ab|中的较大者与a,|b|一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有maxa+b2,ab2a2+b2 ,故选项D正确，选项C错误方法二：若a,b同向，令a2,|b|3，这时|a+b|5，|ab|1，min|a+b|，|ab|1，min|a|，|b|2；若令|a|2，|b|6，这时a+b8,ab4,mina+b,|ab|4，而mina,|b|2，显然对任意a,b，min|a+b|，|ab|与mina,|b|的大小关系不确定，即选项A、B均错同理，若a,b同向，取|a|1,|b|2，则a+b3,|ab|1，这时maxa+b2,ab2=9，而a2+b25，不可能有maxa+b2,ab

3、2a2+b2，故选C项错【易错点】平面向量加减法线性运算性质。【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对a,b特殊化，从而得到a+b,|ab|的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用例1.ABC中,AB边的高为CD,若CBa,CAb,a·b0,a1,b2,则AD()A.13a13bB.23a23b C.35a35b D.45a45b【答案】 D【解析】方法一：a·b0,ACB90°,AB5,CD255. BD55,AD455,ADBD

4、41. AD45AB45(CB-CA)45a45b.方法二：如图,以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系由已知得A2,0,B0，1.又因为CDAB，所以可求得D(25,45),于是AD(-85,45),而a0,1,b(2,0),若设ADxa+yb，则有2y=-85x=45即x=45y=-45,故AD45a45b.【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；【思维点拨】根据题设条件确定出A、B、D三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决.例2. 若点M是ABC所在平面内一点,且满足: 设AM34AB+14AC.（1）求ABM与ABC的面积之比.（2）若N为A

5、B中点,AM与CN交于点O,设BD=xBM+yBN,求x,y的值.【答案】 见解析；【解析】（1）由AM34AB+14AC可知M、B、C三点共线如图令BM=BCAM=AB+BM=AB+BC=AB+AC-AB=1-AB+AC； =14;SABMSABC=14.即面积之比为1：4（2）由BO=xBM+yBNBO=xBM+y2BA=BO=x4BM+yBN;由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线x+y2=1x4+y=1x=47y=67.【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；【思维点拨】.利用共线性质得出AB与AC的线段长度之比，即可得到面积之比；第二问中利用O、M、A三点共线及O、N、

6、C三点共线性质进行解决即可；例3.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A.B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若OP=mOA+nOB(m,nR),且mn=29,则该双曲线的渐近线为（ ）Ay=±34x By=±24x Cy=±12x Dy=±13x【答案】B【解析】由题意可知A(c,bca),B(c,-bca),代入OP=mOA+nOB，得P(m+n)c,(m-n)bca),代入双曲线方程中,整理的4e2mn=1；又因为mn=29,可得e=324,ba=e2-1=24,

7、所以该双曲线的渐近线为y=±24x，故B为正确答案.【易错点】A、B、P三点坐标的确定，离心率的概念。【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.题型三 平面向量数量积的概念与计算例1.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则ADDB（ ）A.3 B.-3 C.3 D.-3【答案】 D【解析】根据正六边形性质,有ADB30°,于是向量AD与DB所成角为150°且AD=2,|DB|=3,所以ADDB=|AD|DBcos150°2×3×-32=-3,选D【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用；【

8、思维点拨】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其起点是否共点例2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC2=63,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则CPCB+CPCA=( )A.0 B.6 C.9 D.12【答案】 B【解析】过点C作COAB,垂足为O如图所示, C0,3.,sinC2=63,cosC2=1-sin2C2=33,CO=3.AO=OB=33-32=6.取点P靠近点B的三等分点则P63,0.CPCB+CPCA=CP2CO=263,-30,-3=6同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6CPCB+CPCA=6

9、【易错点】坐标系的建立，点坐标的确定；【思维点拨】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键例3.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径, BF=2FO,则FDFE的值是（ ）A-34 B-89 C-14 D-49【答案】 B【解析】BF=2FO,r=1,FO=13,FDFE=FO+ODFO+OE=FO2+FOOE+OD+ODOE=132+0-1=-89.故选B.【易错点】平面向量线性运算性质的应用，共线性质的应用；【思维点拨】利用线性运算将待求量转化到利用B.O.C,D.O.E共线的向量表示,利用同向或是反向解决问题；题型四 平面向

10、量的夹角与模的计算例1.若非零向量a,b满足|a|223|b|,且(ab)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.4B. 2C. 34D【答案】 A【解析】设bx,a,b，则a223x,ab=223x2cos. (ab)(3a2b)，(ab)·(3a2b)0，3a2+2a·b3a·b2b20,即3×89x2223x2cos2x20, 223cos=23,cos=22，0,=4.故选A.【易错点】垂直关系的转化，比例关系的应用，夹角的范围；【思维点拨】利用垂直得出a,b的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决;题型五 平面向量中的范围、最值问

11、题例1.在边长为2的等边三角形ABC中,D是AB的中点,E为线段AC上一动点,则EBED的取值范围为 【答案】见解析；【解析】由题意可得，AE与AB的夹角是60°，D是AB的中点，设AE=x,EBED=AB-AEAD-AE=ABAD-AB+ADAE+|AE|2 =2|AD|2-3ADAE+AE2=2-32x+x2;由于E为线段AC上的一动点，故0x2，令f(x)= 2-32x+x2=x-342+2316;当x=34时，f(x)min=2316；当x=2时, f(x)max=3，EBED的取值范围为2316,3)【易错点】线性转化，函数关系的构造，取值范围的确定；【思维点拨】将EBED

12、用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性.例2.已知向量a,b,c满足: a=4,b=22, a与b的夹角为4, c-ac-b=-1,则|c-a|的最大值为（ ）A.2+12 B. 2+22 C. 2+12 D. 2+1【答案】 D【解析】设OA=a,OB=b,OC=c;以OA所在直线为x,O为坐标原点建立空间直角坐标系,a=4,b=22,a与b的夹角为4,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y),c-ac-b=-1,x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆,|c-a|表示点AC的距离，即圆上的点与点A(4

13、,0)的距离；圆心到B的距离为：(4-3)2+(0-1)2=2, |c-a|的最大值为2+1，故选:D【易错点】题干条件的转化，几何意义的应用；【思维点拨】夹角已知向量模已知的情况下，即可将线性运算转化为坐标运算，将问题具体化.例3. 已知向量OA与OB的夹角为,OA=2,OB=1,OP=tOA,OG=1-tOB,|PQ|在t0时取得最小值,当0<t0<15时,夹角的取值范围为（ ）A.(0,3) B. (3,2) C. (2,23) D. (0,23)【答案】 D【解析】由题意知, OAOB=2×1×cos=2cos,PQ=OQ-OP=1-tOB-tOA;PQ

14、2=1-t2OB2+t2OA2-2t1-tOAOB=1-t2+4t2-4t(1-t)cos; 5+4cost2+-2-4cost+1;由二次函数图像及其性质知,当上式取得最小值时, t0=1+2cos5+4cos.由题意可得,0<1+2cos5+4cos<15，求得-12<cos<0,所以2<cos<23，故应选C.【易错点】转化方向的确定，函数关系的建立；【思维点拨】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.例4.已知a=,2,b=(-3,5),且a与b的夹角为锐角,则的取值范围是

15、【答案】 <103且-65【解析】由于a与b的夹角为锐角,ab>0,且a与b不共线同向,由ab>0-3+10>0,解得<103,当向量a与b共线时,得5=-6,得=-65,因此的取值范围是<103且-65【易错点】忽略夹角为锐角的条件及其需要满足的条件；【思维点拨】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是0,而三角形内角范围是(0,),向量夹角是锐角,则cos>0且cos1,而三角形内角为锐角,则cos>0题型六 平面向量在三角函数中的应用例1.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=(22,-22),nsinx,cos x;x0,2.若m

16、n，求tanx的值；若m与n的夹角为3,求x的值.【答案】 见解析；【解析】m=(22,-22)，nsinx,cos x，mn.m·n=22sinx-22cos x=0，即sinxcosx，tanx=sinxcosx=1.由题意知，m222+-222=1，nsinx2+cosx21，m·n=22sinx-22cos x=sin(x-4).而m·n|m|·|n|·cosm，ncos312.sin(x-4)12，又x0,2，x-4-4,4，x-4=6，x=512.【易错点】运算出错，角度范围不明确；【思维点拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立

17、等式即可得出结果。【巩固训练】题型一 平面向量的线性运算1.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1AB+2AC(1,2为实数)，则1+2的值为_【答案】：12【解析】：DEDB+BE=12AB+23BC=12AB+23AC-AB=23AC-16AB；又DE1AB+2AC,1=-16,2=23,1+2=12.2.已知A,B,C为圆O上的三点，若AO=12AB+AC，则AB与AC的夹角为_【答案】：90°【解析】：由AO=12AB+AC可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以BAC=90°，所以AB与AC

18、的夹角为90°.3.在ABC中,点M,N满足AM=2MC，BN=NC,若MN=xAB+yAC，则x_；y_.【答案】：12 -16【解析】：如图，在ABC中，MN=MA+AB+BN=-23AC+AB+12BC=-23AC+AB+12AC-AB =12AB-16AC； x=12;y=-16题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用1. 如图,在平行四边形ABCD中, ABa,ADb,AN3NC,则BN（ ）(用a,b表示) A.14a-34b B. 34a-14b C.14b-34a D.34b-14a【答案】D【解析】BN=BA+AN=BA+34AC=BA+34AB+AD=-14A

19、B+34AD=-14a+34b2. 已知OA,OB是两个单位向量,且OAOB=0.若点C在AOB内,且AOC=30°,则OC=mOA+nOB(m,nR)，则nm（）A. 13 B.3 C. 33 D. 3【答案】C【解析】以O原点,向量OA,OB所在直线为轴,建立平面直角坐标系,因为AOC=30°,设点C的坐标为(x, 33x),由OC=mOA+nOB,得m=x, n=33x, nm=333.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知AF=4,CB=3BF,则p（ ）A.2 B. 43 C. 83 D.4【答案】C【解析】

20、过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.因为AF=4,CB=3BF，所以AE=4,|CB|=3|BF|,且|BF|=|BD|,设BF=BD=a,则|CB|=3a,根据三角形的相似性可得: |BD|AE|=|CB|AC|,即 a4=3a3a+a+4,解得a=2,所以|GF|AE|=|CF|AC|,即p4=3a+a3a+a+4=4a4a+4,所以p=4aa+1=83,选C.4在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点, AN=AB+AC,则+的值为()A. 12 B. 13 C. 14 D.1【答案】A【解析】M为边BC上任意一点,可设AM=xAB+yAC;(x+y=1)N为AMAM中点,AN

21、=12AM=12xAB+12yAC=AB+AC;.+=12x+y=12. 题型三 平面向量数量积的概念与计算1.若等腰ABC底边BC上的中线长为1,底角B60°,则BAAC的取值范围是_【答案】-1,-23【解析】因为等腰ABC底边BC上的中线长为1,底角B60°,所以BAC<60°,所以 cosBAC12,1,AB+AC2=1,AB+AC2=4, AB2+AC2+2ABAC=4,又AB=AC，2AB2+2ABAC=4AB2+ABAC=2AB2+AB2cosBAC=2,又cosBAC12,1, AB21,43, AB2cosBAC=2-AB223,1,BAA

22、C=-AB2cosBAC-1,-23；故答案为：-1,-232.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域x+y2x1y2上的一个动点,则OAOM的取值范围是（ ）A.-1,0 B. 0,1 C. 0,2 D. -1,2 【答案】C【解析】OAOM=-x+y,作出不等式组x+y2x1y2表示的平面区域，如图ABC内部(含边界),作直线l:-x+y=0,平移直线l,直线过A(-1,1)时, -x+y=0,过C(0,2)时，-x+y=2，所以-x+y的取值范围是0,2，故选C。3.在边长为1的正ABC中, BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0且x+y=1,则C

23、DBE的最大值为 （ ） A.-58 B-34 C-32 D-38【答案】D【解析】由题意：ABAC=ABACcos3=12; CD=CB+BD=AB-AC+xBA=1-xAB-AC; BE=BC+CE=AC-AB+yCA=1-yAC-AB=xAC-AB;CDBE=1-xAB-ACxAC-AB =x1-xABAC+ABAC-1-xAB2-x|AC|; =-12x2+12x-12=-12x-122-38,(x(0,1);当x=12时, CDBE取得最大值-38。题型四 平面向量的夹角与模的计算1.已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,AC=2.若AP=AB+AC,且APB

24、C，则实数的值为_【答案】712【解析】APBC,APBC=0, AB+ACBC=0,即 AB+ACAC-AB= ABAC- AB2+AC2-ABAC=0;向量AB与AC的夹角为120°, |AB|=3,AC=2，-1ABACcos120°-9+4=0; =712.2.平面向量a1,2,b4,2,cma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2 B1 C1 D2【答案】D【解析】:cma+bm+4，2m+2，a·c5m+8,b·c=8m+20.由两向量的夹角相等可得：ac|a|=bc|b|,即为5m+85=8m+2020，解得m2.3.)

25、在平行四边形ABCD中,AD1,BAD60°，E为CD的中点若ACBE1，则AB的长为_【答案】12【解析】方法一：由题意可知，AC=AB+AD，BE=-12AB+AD.因为ACBE1，所以(AB+AD)(-12AB+AD)1，则|AD|2+12ABAD-12AB2=1, 因为AD=1,BAD60°,所以ABAD=12AB;因此式可化为1+14AB12AB2=1.解得AB=0(舍去)或12，所以AB的长为12.方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD=1,BAD60°，可知AM=12,DM=32 .设|AB|m(m0)，则B

26、(m,0)Cm+12,32,D(12,32).因为E是CD的中点，所以Em2+12,32.所以BE=12-m2,32,AC=m+12,32.由ACBE=1，可得m+1212-m2+34=1,即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或12. 故AB的长为12.题型五 平面向量中的范围、最值问题1.已知ABAC,AB=1t,AC=t,若点P是ABC所在平面内一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PBPC的最大值等于（ ）.A13 B15 C19 D21【答案】A【解析】以点A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则B1t,0,C(0,t),AP=1,0+40,1=(1,4),即P(1,4)

27、,所以PB=1t-1,-4, PC=(-1,t-4),因此PBPC=1-1t-4t+16=17-(1t+4t).由题可得t>0,所以1t+4t21t4t=4,所以PBPC的最大值等于13,当1t=4t,即t=12时,等号成立故选A2.已知a,b是平面内互不相等的两个非零向量,且a=1,a-b与b的夹角为150°,则|b|的取值范围是（ ） A.(0,3 B.1,3 C.(0,2 D.3,2 【答案】C【解析】如下图所示,AB=a,AD=b,则AC=DB=a-b,a-b与b的夹角150°，即DAB=150°；ADB=30°，设DBA=，则0°

28、;<<150°,在ABD中,由正弦定理得|a|sin30°=|b|sin,b=|a|sin30°×sin=2sin; 0<b2,故选C。3. 非零向量a,b满足2ab=a2b2, a+b=2,则a与b的夹角的最小值是 【答案】【解析】由题意得ab=12a2b2,( a+b)2=4 ,整理得a2+b2=4-2ab2ab,即ab1 cos<a,b>=ab|a|b|=12ab12;3<a,b>夹角的最小值为3.4.设向量e1,e2满足：|e1|=2,|e2|=1, e1,e2的夹角是60°,若2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,则t的范围是（ ）A(-7,-12) B.-7,-142(-142,-12) C. -7,-142)(-142,-12 D. (-,-7)(-12,+) 【答案】B【解析