2414圆周角__(用)

1、 圆的认识圆的认识 复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？顶点顶点在在圆心圆心的角叫的角叫。考考你：你能仿照圆心角的定义，考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象给下图中象ACB ACB 这样的角下个定义吗？这样的角下个定义吗？顶点顶点在在圆上圆上，并且，并且两边两边都和都和圆圆相交相交的角叫做的角叫做 特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ 圆外角圆外角圆内角圆内角探究活动探究活动 : 1、分

2、别量一量图中、分别量一量图中弧弧AB所对的两个圆周角的所对的两个圆周角的度数比较一下度数比较一下. 再变动点再变动点C在圆周上的位置，看在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化看圆周角的度数有没有变化. 你发你发现其中有现其中有什么规律什么规律吗？吗？ 图 23.1.10 2、分别量出图、分别量出图 中中弧弧AB所对的圆周所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么发现什么？结论结论 (1)同弧所对的圆周角都相等同弧所对的圆周角都相等, (2)同弧所对的圆周角是圆心角的一半同弧所对的圆周角是圆心角的一半如图如图AB所对的圆周角有所对的圆周角有所对的圆心角有所

3、对的圆心角有_ADB,ACB, AOB 图 23.1.11 为了验证这个为了验证这个 发现发现 ， 可将圆对折，使折痕经过圆心可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况这时可能出现三种情况:（1） 折痕是圆周角的一条边，折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部折痕在圆周角的内部,（3） 折痕在圆周角的外部。折痕在圆周角的外部。 证明你的猜想证明你的猜想:（1）圆心在）圆心在BAC的一边上的一边上. AOBC由于由于OA=OC因此因此C=BAC而而BOC=BAC+C所以所以BAC= BOC12OABC（2）圆心在）圆心在BAC的内部的内部.D作直径作

4、直径AD.由于由于BAD= BOD12DAC= DOC，12所以所以BAD+DAC= （BOD+DOC）12即即BAC= BOC12OABC（3）圆心在）圆心在BAC的外部的外部.D作直径作直径AD.由于由于DAB= DOB12DAC= DOC，12所以所以DAC-DAB= （DOC-DOB）12即即BAC= BOC12结论结论1： 在在同圆或等圆同圆或等圆中中 , ,同弧或等弧同弧或等弧 所对的所对的圆周角相等圆周角相等， 都等于该弧或等都等于该弧或等弧所对的弧所对的 圆心角圆心角的的一半一半； 相等的圆周角相等的圆周角所对的所对的弧弧也也相等相等。 图 23.1.10 ACB= ； ADB

5、= ； = . 如图：则有如图：则有AOB21AOB21ACBADB在同圆或等圆中，如果两个圆在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？等吗？为什么？在同圆或等圆中，相等的圆周角所对在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等的弧相等如图如图23.1.9， 图 23.1.9 线段线段AB是是 O的直径，的直径， 点点C是是 O上任意一点（除点上任意一点（除点A、B），）， 那么，那么，ACB就是直径就是直径AB所对的圆周角所对的圆周角. 想想看，想想看，ACB会是怎么样的角？会是怎么样的角？ 图 23.1.9 我们可以看到，我们可以看到， OAOB

6、OC， 所以所以AOC、BOC都是等腰三角形，都是等腰三角形， 因而因而OACOCA， OBCOCB.又又 OACOBCACB180，所以所以 ACBOCAOCB218090. 如图：如图： 半圆或直径所对的圆周角都相等，半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于都等于90（直角）。（直角）。反过来也是成立的，即反过来也是成立的，即90的圆周角所对的弦是圆的直径。的圆周角所对的弦是圆的直径。结论结论2: 图 23.1.9 归纳：归纳：在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个两个圆心角圆心角, ,两个圆周角两个圆周角两条弧两条弧, , 两条弦两条弦, , 两条弦心距两条弦心距中中, ,有一有一组

7、量相等组量相等, ,那么它们所对应的其余那么它们所对应的其余各组量都分别相等各组量都分别相等. .归纳：归纳：圆内接多边形圆内接多边形:所有顶点都在同一所有顶点都在同一圆上的多边形。圆上的多边形。 结论结论3:圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补OBCDA圆内接四边形的对角有何数量关系？圆内接四边形的对角有何数量关系？例例1 如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB平分平分线交线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长四边形的长四边形 ACBD的面积的面积.86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22A

8、DBDAB解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，.ACDBCD OABCDAD=BD.AD=BD.例题讲解例题讲解:练一练1、如图，在、如图，在 O中，中，ABC=50，则则AOC等于（等于（ ）A、50； B、80；C、90； D、100ACBOD2、如图，、如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、B重合，则重合，则BPC等于（等于（ ）A、30； B、60；C、90； D、45CABPB 3 3如图，点如图，点A A、B B、C C、D D在同一个圆上，四边形在同一个圆上，

9、四边形ABCDABCD的对角线把的对角线把4 4个内角分成个内角分成8 8个角，这些角中哪些是相个角，这些角中哪些是相等的角？等的角？ABDC123456781 = 45 = 82 = 73 = 6利用利用同弧所对的圆周角的相等同弧所对的圆周角的相等练习练习 (1)(1)一个概念一个概念（圆周角）（圆周角） 内容小结：内容小结：(2)一个定理一个定理： 等于该等于该 弧所对的圆心角的一半；弧所对的圆心角的一半；(3)二个推论二个推论：同圆或等圆中同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等相等的圆周角所对弧相等. 半圆或直径所对的圆周角是直角；半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径

10、。的圆周角所对的弦是直径。 同圆或等圆中同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的，同弧或等弧所对的 圆周角相等圆周角相等 1. 1. 如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆心，为圆心，C C、D D 为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则，则 CAD=_CAD=_；25253、右图是一个圆形的零件，你能、右图是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法有什么简捷的办法？2、在圆中，一条弧所对的圆心角和、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（圆周角分别为（2x100）和和（5x30），），求这条弧所对

11、的求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数圆心角和圆周角的度数.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下种方法？与同学交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB 圆的认识圆的认识复习旧知复习旧知4.圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补 例题讲解例题讲解: 例例 1: 如图，如图，P是是 圆上的一点圆上的一点APC=CPB=60。求证：。求证：ABC是等边三角形。是等边三角形。APBCO证明：证明：ABC和和APC 都是都是 所对的圆周角。所对的圆周角。 ACABC=APC=60(同弧所对

12、的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）同理，同理，BAC和和CPB都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角，BC BAC=CPB=60。ABC等边三角形。等边三角形。已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,以以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于于D,交交AC于于E,求证：求证：BD=DE证明：证明：连结连结AD.AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上，在圆上，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分顶角平分顶角BAC，即，即BAD=CAD， BD= DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。等）。ABCDE 如图，在如图，在O中，中，AB为直

13、径，为直径，CB = CF, 弦弦CGAB，交，交AB于于D，交，交BF于于E 求证：求证：BE=EC求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO= AB,12以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB=90.已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，12且且CO= AB ABC

14、 为直角三角形为直角三角形.1 1：已知：已知OO中弦中弦ABAB等等于半径，于半径，求弦求弦ABAB所对的圆心角和圆周角的度数。所对的圆心角和圆周角的度数。 OAB圆心角为圆心角为60度度圆周角为圆周角为 30 度度或或 150 度。度。练练 习习2:如图如图 AB是是 O的直径的直径, C ,D是圆上的两点是圆上的两点,若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD40 4.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_。OABCBAO.70 x 3.求圆中角求圆中角X的度数。的度数。AO.X120 5、 如图，在直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为圆心，为圆心，C、D为

15、半圆上的两点，为半圆上的两点，CAD=260，则，则COD=_35120130526.AB6.AB、ACAC为为OO的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ，求求BOCBOC的度数。的度数。7 7、如图，在如图，在OO中，中，BC=2DEBC=2DE， BOC=84BOC=84，求求 A A的度数。的度数。BOC =140BOC =140 A=21A=21 MNOBAC8如图，已知如图，已知OA、OB是是 O的半径，点的半径，点C为为AB的的中点，中点，M、N分别为分别为OA、OB的中点，求证：的中点，求证：MC=NCOBCAE9如图，如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，弦的半径，弦BEOA