真题微分方程第三章

1、第三节第三节 常系数线性微分方程常系数线性微分方程 组的解法组的解法v一、常系数齐次线性方程组的解法一、常系数齐次线性方程组的解法v二、常系数非齐次线性方程组的解法二、常系数非齐次线性方程组的解法v三、小结、思考题三、小结、思考题 设设(3.8)中系数矩阵中系数矩阵A中的每个元素中的每个元素 ), 1,(njiaij 为为常系数线性微分方程组。常系数线性微分方程组。都是常数，则称都是常数，则称)(tfxAdtxd )23. 3(, 0)()23. 3( tf中中，若若在在则其称为则其称为常系数非齐次线性微分方程组；常系数非齐次线性微分方程组；xAdtxd )24. 3(为为常系数齐次线性微分方

2、程组。常系数齐次线性微分方程组。, 0)( tf若若则称则称一、常系数齐次线性方程组的解法一、常系数齐次线性方程组的解法 其解法其解法类似于解常系数线性微分方程。类似于解常系数线性微分方程。 令令 tevx )25. 3(, xAdtxd )24. 3(对于对于常系数齐次线性微分方程组常系数齐次线性微分方程组 将上式代入将上式代入 (3.25)得得 .ttevAev )26. 3(定义定义 方程方程(3.28)(3.28)称为矩阵称为矩阵A A的的特征方程特征方程，称其，称其根为根为A A的的特征根特征根。称。称(3.28)(3.28)和它的根为常系数齐和它的根为常系数齐次线性方程组次线性方程

3、组(3.24)(3.24)的的特征方程特征方程和和特征根特征根。.ttevAev )26. 3(移项，并约去非零因子移项，并约去非零因子,te 有有. 0)( vEA)27. 3(式式等等于于零零，即即的的系系数数行行列列的的充充要要条条件件是是有有非非零零解解)27. 3()27. 3(v. 0)det( EA)28. 3(）的的（是是属属于于特特征征根根nivii, 1 ,1n 是是(3.24)的通解，的通解， 设矩阵设矩阵A的特征根都是单根，即有的特征根都是单根，即有n个不同的个不同的特征根特征根（一）特征根都是单根（一）特征根都是单根个不同的解：个不同的解：有有则方程组则方程组特征向量

4、特征向量n)24. 3(,.,2121tnttnevevev )30. 3(则则.1tiniiievcx )31. 3(个个任任意意常常数数。是是其其中中nnici), 1( 56611243)(D解方程组解方程组 .566,24332133123211xxxdtdxxxdtdxxxxdtdx例例1 1由特征方程由特征方程解解, 0)1)(1)(2( 原方程的通解是原方程的通解是. 1, 1, 2321 解得特征根解得特征根的特征向量分别是：的特征向量分别是：和和属于属于11, 2321 ,2101 v,0112 v.1013 v.1010112103221321tttecececxxx ti

5、eq iptx)(1)()( qipvqipv 21,.,121 ii 设设A是实矩阵，若特征方程是实矩阵，若特征方程(3.28)有共轭复根有共轭复根有有则方程组则方程组)24. 3(),sincos()sincos(tqtpietqtpett 的的特特征征向向量量。是是分分别别属属于于21, 两个复值解：两个复值解：tieq iptx)(2)()( ),sincos()sincos(tqtpietqtpett 上述解上述解 的实部和虚部的实部和虚部的两个实值解。的两个实值解。分别是方程组分别是方程组)24. 3(),sincos(tqtpet 和和),sincos(tqtpet 例例2 2解

6、方程组解方程组.321131012 zyxzyxdtd解解 321131012)(D由特征方程由特征方程, 0)106)(2(2 原方程的通解是原方程的通解是.3,3, 2321ii 解得特征根解得特征根的特征向量分别是：的特征向量分别是：和和属于属于ii 33, 2321,1011 v,2112 iiv.2113 iiv.cossin2sincossinsincos2sincoscos101333221tttetttttcetttttceczyx （二）特征根有重根（二）特征根有重根个个有有下下述述形形式式的的方方程程组组则则对对应应于于根根k)24. 3(,00 ,)!1(! 2! 1()

7、(0112210tkkevktvtvtvtx 线性无关解：线性无关解：引理引理3.1 设系数矩阵设系数矩阵A的特征方程的特征方程(3.28)有有k重特征重特征)32. 3(是是下下列列常常向向量量：其其中中)1, 1 , 0( kivi, 0)(00 vEAk1)33. 3(,)(100vvEA ,)(210vvEA ,)(120 kkvvEA2)33. 3()34. 3(1)33. 3( k,1s xAdtxd 其重数其重数的系数矩阵的系数矩阵A有不同的的特征根有不同的的特征根存在形如存在形如方程组方程组对应于每个根对应于每个根)24. 3(,)1(i )24. 3(tjiietp )()(

8、则则分分别别为为.,11nnnnnss 定理定理3.7 设方程组设方程组), 2 , 1(inj i)35. 3(是是向向量量函函数数，其其分分量量个个线线性性无无关关解解，其其中中的的)()(tpnjii的的多多项项式式；的的次次数数不不超超过过为为1 int这这n个解是线性无关的，构成一个基本解组。个解是线性无关的，构成一个基本解组。)36. 3(个个解解，的的得得到到由由对对于于nsii)34. 3()35. 3(, 2, 1)2( 的的通通解解为为方方程程组组)24. 3()3(.)(1)(1tsijinjijiietpcx 是是任任意意常常数数。其其中中), 1;, 1(iijnjs

9、ic 401410011)det(EA解方程组解方程组例例3 3由特征方程由特征方程解解, 0)3(2 , xAdtxd ,321 xxxx.401410011 A,1441 v.3),(021（二重根）（二重根）单根单根解得特征根解得特征根 的特征向量是的特征向量是属于属于01 为为它它的的两两个个线线性性无无关关向向量量. 0)3(02 vEA.1441321 xxx对应的对应的原方程的一个解是原方程的一个解是式的方程为式的方程为，相应于，相应于对于二重根对于二重根)34. 3(32 ,101)1(0 v.110)2(0 v从而得从而得,242)3()1(0)1(1 vEAv.121)3(

10、)2(0)2(1 vEAv方程组的通解为：方程组的通解为：.12111024210114433321321ttetcetccxxx ,121)1(0 v.132)2(0 v的另外两个线性无关向量，例如取的另外两个线性无关向量，例如取,000)1(1 v.121)2(1 v注：注：0)3(, 3022 vEA也也可可取取满满足足对对于于二二重重根根从而得到从而得到方程组的通解为：方程组的通解为：.12113212114433321321ttetceccxxx 由于所取的两个基本解组不一样。得到的通解由于所取的两个基本解组不一样。得到的通解的外表形式可能不同，但实质上是一样的。的外表形式可能不同，

11、但实质上是一样的。注：注： 111111111解方程组解方程组例例4 4由特征方程由特征方程解解, 0)2)(1(2 .,zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx,1111 v.2),(121（二重根）（二重根）单根单根解得特征根解得特征根 的特征向量是的特征向量是属于属于01 为为它它的的两两个个线线性性无无关关向向量量. 0)2(02 vEA.1111tezyx 对应的对应的原方程的一个解是原方程的一个解是式的方程为式的方程为，相应于，相应于对于二重根对于二重根)34. 3(22 ,101)1(0 v.110)2(0 v从而得从而得,000)2()1(0)1(1 vEAv.000)2()

12、2(0)2(1 vEAv方程组的通解为：方程组的通解为：.11010111123221tttecececzyx 300241212解方程组解方程组例例5 5特征方程是特征方程是解解, 0)3(3 .3,24,22zdtdzzyxdtdyzyxdtdx.(31三重根）三重根）解得特征根解得特征根 为为它它的的三三个个线线性性无无关关向向量量. 0)3(03 vEA式的方程为式的方程为，相应于，相应于对于三重根对于三重根)34. 3(32 ,001)1(0 v,010)2(0 v.100)3(0 v,011)2(1 v.022)3(1 v,011)1(1 v从而得从而得方程组的通解为：方程组的通解

13、为：.0223123123321tecccccctccczyx ,000)1(2 v.000)3(2 v,000)2(2 v二、常系数非齐次线性方程组的解法二、常系数非齐次线性方程组的解法),(tfxAdtxd )8 . 3(考虑考虑一般非齐次线性微分方程组一般非齐次线性微分方程组 其其初值条件初值条件是是 )5 . 3(,)(00 xtx ),(0bat (3.8)对应的齐次线性方程组是对应的齐次线性方程组是 . xAdtxd )10. 3(利用利用常数变易法常数变易法有如下定理有如下定理)(tX 定理定理3.8 dfXtXctXtxtt)()()()()(01)42. 3( 设设 是是(3

14、.8)所对应的所对应的(3.10)的一个基本解的一个基本解),(0bat )43. 3(矩阵，则矩阵，则,)()()()()(0100 dfXtXxtXtxtt是是(3.8)的通解，的通解，是初值问题是初值问题(3.8),(3.5)的特解。的特解。例例6 6解初值问题解初值问题,2cos00123212001 texdtxdt解解 123212001)(D（1）先求对应的齐次方程组的通解。）先求对应的齐次方程组的通解。, 0)52)(1(2 .100)0( x由特征方程由特征方程得到齐次方程组的一个基本解矩阵：得到齐次方程组的一个基本解矩阵：.21,21, 1321ii 解得特征根解得特征根的

15、特征向量分别是：的特征向量分别是：和和属于属于ii2121, 1321 ,2321 v,102 iv.103 iv.2cos2sin22sin2cos3002)(tetttttX 利用利用常数变易法常数变易法，令，令代入原方程组得代入原方程组得所以所以).()( )(tftctX )40. 3(.2cos2cos2sin0)()()( 21 ttttftXtc)()(tctXx )38. 3(将上式代入将上式代入(3.42)即得通解即得通解故故.4sin812)4cos1(810)()()(01 tttcdfXctct.4sin812)4cos1(8102cos2sin22sin2cos300

16、2)( tttcttttetxt.110)(110)0( ctxx，得得代代入入通通解解再再把把.2sin452cos)21(2sin)21(2cos0)( ttttttetxt于是所给初值问题的解是于是所给初值问题的解是例例7 7* *解微分方程组解微分方程组 )2(.2)1(,23zydxdzzydxdy 由由(2)式得式得)3(21 zdxdzy设法消去未知函数，设法消去未知函数，y解解两边求导得，两边求导得，)4(,2122 dxdzdxzddxdy把把(3), (4)代入代入(1)式并化简式并化简, 得得0222 zdxdzdxzd解之得通解解之得通解)5(,)(21xexCCz )

17、6(.)22(21221xexCCCy 再把再把(5)代入代入(3)式式, 得得原方程组的通解为原方程组的通解为.)()22(2121221 xxexCCzexCCCy用用D表示对自变量表示对自变量x求导的运算求导的运算,dxd)(1)1(1)(xfyayayaynnnn 例如，例如，D用记号用记号可表示为可表示为)()(111xfyaDaDaDnnnn 注意注意: :nnnnaDaDaD 111是是D的多项式的多项式可进行相加和相乘的运算可进行相加和相乘的运算例例8 8* * 解微分方程组解微分方程组 . 02222ydtdxdtydexdtdydtxdt用用记记号号D表表示示dtd, ,则

18、则方方程程组组可可记记作作解解类似解代数方程组消去一个未知数类似解代数方程组消去一个未知数,消去消去x 0)1()1(22yDDxeDyxDt()():)2()1(D ,3teyDx ():)3()2(D .)1(24tDeyDD ()teyDD )1(24()即即非齐常系数线性方程非齐常系数线性方程其特征方程为其特征方程为0124 rr解得特征根为解得特征根为,215,2514,32, 1 irr易求一个特解易求一个特解,tey 于是通解为于是通解为.sincos4321tttetCtCeCeCy ()将将()代入代入()得得.2sincos43332313tttetCtCeCeCx 方程组

19、通解为方程组通解为 ttttttetCtCeCeCyetCtCeCeCxsincos2sincos432143332313注意：注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另在求得一个未知函数的通解以后，再求另一个未知函数的通解时，一般不再积分一个未知函数的通解时，一般不再积分三、小结三、小结求常系数齐次线性方程组的特征向量法。求常系数齐次线性方程组的特征向量法。个个线线性性无无关关解解：方方程程组组有有下下述述形形式式的的则则对对应应于于重重特特征征根根的的是是系系数数矩矩阵阵若若kkA,00 ,)!1(!2!1()(0112210tkkevktvtvtvtx 求常系数非齐次线性方程组的常数变易法。求常系数非齐次线性方程组的常数变易法。 dfXtXctXtxtt)()()()()(01齐通解齐通解非齐特解非齐特解),()(tctXx 令令则则(2) 注意求出其中一个解，再求另一个解时，注意求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法避免处理两次宜用代数法，不要用积分法避免处理两次积分后出现的任意常数间的关系积分后出现的任