一、直线与平面的位置关系

1、12一、直线与平面的位置关系一、直线与平面的位置关系3456直线与平面平行的证明直线与平面平行的证明789直线与平面平行的性质应用直线与平面平行的性质应用 1011证明两个平面平行证明两个平面平行 12131415一一.空间图形的垂直关系空间图形的垂直关系：直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直。二二.直线与直线垂直直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为90o，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直。三直线与平面垂直三直线与平面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直, 那么称这条直线和这个平面垂直。这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面。1617四四.

2、二面角二面角: 定义定义:从一条直线从一条直线AB出发的两个半平面出发的两个半平面( 和和 )所组成的图所组成的图形叫做二面角形叫做二面角.记作二面角记作二面角 -AB- ,AB叫做二面角的棱叫做二面角的棱,两个半两个半平面平面( 和和 )叫做二面角的面叫做二面角的面.二面角的平面角二面角的平面角:在二面角的棱在二面角的棱AB上任取一点上任取一点O,过过O分别在分别在二面角的两个面二面角的两个面 , 内作与棱垂直的射线内作与棱垂直的射线OM,ON,我们把我们把MON叫做二面角叫做二面角 -AB- 的平面角的平面角,用它来度量二面角的大小用它来度量二面角的大小.平面角是直角的二面角叫做直二面角平

3、面角是直角的二面角叫做直二面角.五五. 两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质1定义定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直1819 证明直线与直线垂直证明直线与直线垂直 20直线与平面垂直的证明直线与平面垂直的证明 212223平面与平面垂直的证明平面与平面垂直的证明 2425262728, a b/ , /aa bbab与a b与1.定义；已知两条异面直线,经过空间任一点O，作直线把所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（或夹角）。一一.异面直线所成的角异面直线所成的角 292.异面直线所成的角的范围是：(0,2 二二.异面直线的距离的定义异面直线的

4、距离的定义：和两条异面直线都垂直相交都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。两垂足间的距离称为异面直线的距离。异面直线的距离。30异面直线所成的角和距离异面直线所成的角和距离 313233二直线和平面所成角二直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。（2）直线和平面所成角范围：）直线和平面所成角范围： 0 90范围： ，34例例1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD

5、所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0o35例例1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB90o36例例1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与

6、面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB45o37例例1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCBE30o38求线面角、二面角的的大小求线面角、二面角的的大小 3940414243 从一条

7、直线出发的两个半平面所组成从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。的图形叫做二面角。二面角二面角 二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量；（1）定义法：）定义法： 根据定义作出二面角的平面角根据定义作出二面角的平面角；AB求二面角常用方法有：求二面角常用方法有：（2） 用三垂线定理或其逆定理用三垂线定理或其逆定理；APBa（3）垂面法）垂面法： 作二面角棱的垂面，则垂面作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角即是该二和二面角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角。面角的平面角。PABO44二面角求法二面角求法例例1 在正方体在正方体AC1中，

8、中，E为为BC中点，（中点，（1）求面）求面B1BCC1与面与面AB1C所成的二面角的正弦值；（所成的二面角的正弦值；（2）求二面角求二面角EB1D1C1的正切值。的正切值。AB1C1DA1BCD1FAB1C1DA1BCD1EGH（1）（2）632245CP例例2、如图，、如图，ABC在平面在平面上的射影为正上的射影为正AB1 C1，若若BB1= ，CC1=AB1=1，求面求面ABC与面与面AB1C1所成所成锐二面角的大小。锐二面角的大小。21B1AC1B 112146距距离离到到棱棱的的长长求求且且为为垂垂足足已已知知内内有有一一点点二二面面角角在在例例aP)2(AB)1(,5PB,3PA,

9、B,A,PB,PA,Pa6030 EPABa6003547例例4 已知已知RtABC顶点顶点A不在不在内，斜边内，斜边BC在在内，内，AB、AC分别与平面分别与平面成成300、450角，求角，求ABC所在所在平面与平面与所成所成角。角。EA1BCA引申：若引申：若ABC为为一般一般，设面，设面ABC与底面与底面所成所成角为角为，则，则COS =原形射影SS30045048练习：练习： 如图，如图，G、E、F分别是正方体分别是正方体AC1中中CD、BC、CC1中点，求二面角中点，求二面角FGEC的余弦值。的余弦值。A1BCDAB1C1D1FEGGECABCDGEF 上的射影为上的射影为在平面在平

10、面设棱长为设棱长为2a3349例例 5 如图如图，已知已知A、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的两点上的两点，线段线段AC，BD分别分别在面在面， 内内，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段求线段CD的长。的长。ADBClO19OAC 120 AO=BD=1, AC=27120cos2222 ACAOAOACCO四边形四边形ABDO为矩形为矩形, DO=AB=350例例 5 如图如图，已知已知A、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的两点上的两点，线段线段AC，BD分别分别在面在面， 内内，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段求线

11、段CD的长。的长。ADBCl BDl AOBD，四边形四边形ABDO为矩形为矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面平面CAO AOl CODO O437222 DOCOCD在在Rt COD中，中，DO=AB=319E解：在平面解：在平面 内，过内，过A作作AOl ，使使AO=BD, 连结连结CO、DO, 则则OAC就是就是二面角二面角 l 的平面角，即的平面角，即 OAC 120 ，71202222 COSACAOAOACCO BD=1 AO=1，在在OAC中，中，AC=2，51小结二面角的平面角的求法：小结二面角的平面角的求法：（1）定义法）定义法（2）三垂线定理

12、法）三垂线定理法（3）射影法）射影法（4）垂面法）垂面法原形射影SSCOS=52已知直二面角已知直二面角 l ，A,B线线段段AB=2a，AB与与 成成45的角，与的角，与 成成30角，过角，过A、B两点分别作棱两点分别作棱l的垂线的垂线AC、BD，求面求面ABD与面与面ABC所成角的大小。所成角的大小。ACBDHF解法一：解法一：如图如图,由已知可得平面由已知可得平面ABC 平面平面 ,作作DH BC于于H，则，则DH 平面平面ABC，作，作DF AB于于F，连，连HF，则据三垂线定理的逆定理则据三垂线定理的逆定理知知 DFH为所求二面角的平面角。为所求二面角的平面角。例例5 5：,36,3

13、3,aDHaHFaDF于是在于是在 DFH中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得33cosDFH所以所以33arccosDFH即面即面ABD与面与面ABC所成的二面角为所成的二面角为33arccos又知又知 BAD=45, ABC=30 ，可解得可解得53用这个关系式求可锐二面角的平面角用这个关系式求可锐二面角的平面角。（4）射影法）射影法：如图所示，如图所示， AD 平面平面M，设设 AHD= 是二面角是二面角A-BC-D的平面角，由的平面角，由 cos =AD/AH可得，可得， ABC与它在过其底边与它在过其底边BC的平面的平面M上的射影上的射影 DBC以及两者所成以及两者所成的二的二面角面角 之间的关系：之间的关系：ABCDBCSSc