一、n维向量的概念二、n维向量的表示方法三、向量组的线

1、n一、一、n维向量的概念维向量的概念n二、二、 n维向量的表示方法维向量的表示方法n三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合第一节第一节 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义1 1 . , 21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个分分量量，个个数数称称为为该该向向量量的的维维向向量量，这这组组称称为为所所组组成成的的数数个个有有次次序序的的数数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、n维向量的概念例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量

2、维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21nTaaaa naaaa21 二、n维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,ban注意注意.行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的向量两个不同的向量； .行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行进行运算；运算； .当

3、没有明确说明是行向量还是列向量时，都当当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作作列向量列向量. 1212, ,( , ,)nnnTxRx xxRx xx 221211( , , ,)nnnTxbx a xa xx xxa 叫做叫做 维向量空间维向量空间n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rnn1 n 当当 n 3 时时, n 维向量维向量可以把有向线段作为几何线段作为几何形象形象,但当但当 n 3 时时, n 维向量就不再有这种几何形维向量就不再有这种几何形象象. 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所

4、组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组Aa1a2an三、向量组的线性组合a2ajana1a2ajan维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反

5、之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩矩阵阵构构成成一一个个组组维维列列向向量量所所组组成成的的向向量量个个nmnmm , 21 矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA 结论：含有限个向量的有序向量组可以与矩结论：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应阵一一对应. .，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义2 2., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2

6、211mmkkk 线性组合线性组合mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 2121. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩阵阵，条条件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量组组向向量量bBAAbmm 定理定理1 1定义定义3 3 . .,:,: 2121这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组与

7、向与向若向量组若向量组称称线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA使使在数在数存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （(). m sijKk矩矩阵阵称称为

8、为这这一一线线性性表表示示的的系系数数矩矩阵阵矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若BACBACnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （ TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：为为这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行向向量量组组能能由由同同时时，ABC,. . 的的行行向向量量组组等等价价的的行行向向量量组组与与于于是是的的行行向向量量组组线线性性表表示示

9、，的的行行向向量量组组能能由由可可知知，由由初初等等变变换换可可逆逆性性的的行行向向量量组组线线性性表表示示组组能能由由的的行行向向量量，即即的的行行向向量量组组的的线线性性组组合合向向量量都都是是的的每每个个行行，则则经经初初等等行行变变换换变变成成设设矩矩阵阵BABAABABBA.的的列列向向量量组组等等价价列列向向量量组组与与的的，则则经经初初等等列列变变换换变变成成类类似似，若若矩矩阵阵BABA . 价价的的方方程程组组一一定定同同解解这这两两个个方方程程组组等等价价，等等能能相相互互线线性性表表示示，就就称称与与方方程程组组的的解解；若若方方程程组组的的解解一一定定是是方方程程组组线

10、线性性表表示示，这这时时方方程程组组能能由由方方程程组组称称方方程程组组的的线线性性组组合合，就就的的每每个个方方程程都都是是方方程程组组程程组组的的一一个个线线性性组组合合；若若方方一一个个方方程程就就称称为为方方程程组组所所得得到到的的的的各各个个方方程程做做线线性性运运算算对对方方程程组组BABAABABAA定理定理2 2向量组向量组B：b1,b2,bl能由向量组能由向量组A：a1, a2, ,am线性表示的充分必要条件是矩阵线性表示的充分必要条件是矩阵A= (a1,a2, ,am)的秩等于矩阵的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2, ,am, b1,b2,bl)的秩，即的秩，即R(A)=

11、R(A,B).推论推论向量组向量组A：a1, a2, ,am与向量组与向量组B：b1,b2,bl等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B),其中其中A和和B是向量组是向量组A和和B所构成的矩阵所构成的矩阵.例例1 设设 12311111210 ,21432301aaab 1ba aa23证明向量 能由,线性表示，并求出表示式.证明：按定理证明：按定理1，证矩阵，证矩阵A=(a1,a2,a3)与与B=(A,b)的的秩相等秩相等.1111121021432301B21314122rrrrrr1111012101210121r10320121,( )( )000000

12、00R AR B可见1a aax b23 由上述行最简形，可得方程（ , ） =的通解为3232212110cxccc 11(21)ba aaxacaca2323从而得表达式=（ , ） =(-3c+2)1111 :)()lmmB b bbAaaaR b bbR aaa222s2向量组, , 能由向量组, ,线性表示,则 （, , ,定理定理3 311 :,lmB b bbA a aaKB = AKAXB22向量组, , 能由向量组,线性表示有矩阵 ，使 方程有解 向量组及其线性表示向量组及其线性表示四、小结作业：作业：nP1091；2n一、线性相关性的概念一、线性相关性的概念n二、线性相关性

13、的判定二、线性相关性的判定第二节第二节 向量组的向量组的0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组定义定义4 4则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A00 2. ,.向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量时时 若若则则说说线线性性相相关关 若若则则说说线线性性无无关关3.包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量组组是是线线性性相相关关的的4 .,.对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向量量组组 它它线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是两两向向量量的的分分量量对对应应成

14、成比比例例，几几何何意意义义是是两两向向量量共共线线；三三个个向向量量相相关关的的几几何何意意义义是是三三向向量量共共面面注意注意 1. 1. 对于任一向量组，不是线性无关就是线性对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关相关. . 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 故故 0111

15、2211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设不妨设 则有则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕. 性独立）性独立）线线个方程）线性无关（或个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各程，就称该方程组（各方方；当方程组中没有多余；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的个方程）是

16、线性相关的各各余的，这时称方程组（余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多合时，这个方程就是多是其余方程的线性组是其余方程的线性组若方程组中有某个方程若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程组方程组线性相关就是齐次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要

17、要向向量量组组 定理定理4 4下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.维维向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶单位矩阵阶单位矩阵是是的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成neeeEnn .)(01 nERE ，知，知由由.2)(向向量量组组是是线线性性无无关关的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量组组中中向向量量个个数数即即ER例例， 742520111321 .21321的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论

18、向量组试讨论向量组 解解.2, 21321321即可得出结论即可得出结论）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（），可同时看出矩阵（可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变），施行初等行变换变，对矩阵（对矩阵（ 已知已知例例分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线性无关线性无关向量组向量组线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201. , , 321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已

19、已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx . ,. ,: , (1) 1121也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组若向若向反言之反言之也线

20、性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若ABBAmmm 定理定理5 5 2 mnnm.（ ） 个个 维维向向量量组组成成的的向向量量组组，当当维维数数小小于于向向量量个个数数 时时一一定定线线性性相相关关121 (3) mmA:,B :,b,bA,.设设向向量量组组线线性性无无关关 而而向向量量组组线线性性相相关关 则则向向量量必必能能由由向向量量组组线线性性表表示示 且且表表示示式式是是唯唯一一的的.:1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组

21、必特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向一个向量组若有线性一个向量组若有线性）可推广为）可推广为结论（结论（说明说明1212122 mn mmmmn,A,R An.nm,R Am,m,.（ ） 个个 维维向向量量构构成成矩矩阵阵（），有有（ ）若若则则（ ）故故 个个向向量量线线性性相相关关121211 3mmA,B,b ,R AR B .AR Am;BR Bm.mR BmR Bm.（ ）记记（）（）有有（ ） （ ） 因因 组组线线性性无无关关，有有（ ）因因 组组线线性性相相关关，有有（ ）所所以以（ ），即即有有（ ）.),( ,)()( 21一

22、一线性表示，且表示式唯线性表示，且表示式唯组组能由向量能由向量有唯一解，即向量有唯一解，即向量知方程组知方程组由由AbbxmBRARm 问题：n已知向量组已知向量组a1,a2,as与与 b1,b2,bt，且，且中每个向量不能由线性表示，中每个向量不能由线性表示， 中每中每个向量也不能由线性表示。个向量也不能由线性表示。 问问a1,a2,as, b1,b2,bt是否线性无关？是否线性无关？1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义

23、，两个定理两个定理（难点难点）四、小结作业：作业：nP1103；4. , )3(0 )2( 0 )1(:两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者者线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是，两两个个向向量量；线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量；线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量试试证证明明 kk 思考题证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性., 0, 0, 即可即可令令则则不妨设不妨设得得使使存在不全为零的数存在不全为零的数线性相关线性相关xykxyxyxyx 必要性必要性., 0)(1, 线性相关线性相关知知由定义由定义则有则有不妨设

24、不妨设 kk思考题解答n一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组n二、最大无关组的等价定义二、最大无关组的等价定义n三、矩阵与向量组秩的关系三、矩阵与向量组秩的关系第三节第三节 向量组的秩向量组的秩，满足，满足个向量个向量中能选出中能选出，如果在，如果在设有向量组设有向量组rrAA , 21定义定义5 5线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210关，关，个向量的话）都线性相个向量的话）都线性相中有中有个向量（如果个向量（如果中任意中任意）向量组）向量组（112 rArA. 的的秩秩称称为为向向量量组组数数最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个r; 0）（简称（简称的一个的一个

25、向量组向量组是是那末称向量组那末称向量组AA最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组0. 它它的的秩秩为为有有最最大大无无关关组组，规规定定只只含含零零向向量量的的向向量量组组没没一、最大线性无关向量组二、最大无关组的等价定义, rrB个个向向量量，则则它它的的秩秩为为含含设设向向量量组组 证证 BABABBA.推推论论设设向向量量组组 是是向向量量组组 的的部部分分组组，若若向向量量组组 线线性性无无关关，且且向向量量组组 能能由由向向量量组组 线线性性表表示示，则则向向量量组组 是是向向量量组组 的的一一个个最最大大无无关关组组5B.所所以以向向量量组组 满满足足定定义义

26、所所规规定定的的最最大大无无关关组组的的条条件件，组组的的秩秩组组线线性性表表示示，故故组组能能由由因因rABA 个个向向量量线线性性相相关关，组组中中任任意意从从而而1 rA. 它的行向量组的秩它的行向量组的秩量组的秩，也等于量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向矩阵的秩等于它的列向证证. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA阶子式阶子式并设并设，设设定理定理6 64 240 r.Dr根根据据定定理理 由由知知所所在在的的 列列线线性性无无关关；.11 个列向量都线性相关个列向量都线性相关中任意中任意阶子式均为零，知阶子式均为零，知中所有中所有又由又由 rArA关组，关组，的列向量的一

27、个最大无的列向量的一个最大无列是列是所在的所在的因此因此ArDr . r等于等于所以列向量组的秩所以列向量组的秩).(ARA的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证三、矩阵与向量组秩的关系的秩也记作的秩也记作向量组向量组maaa,21. 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDADrrr1（）最最大大无无关关组组不不唯唯一一；),(21maaaR结论结论说明说明2.（）向向量量组组与与它它的的最最大大

28、无无关关组组是是等等价价的的21112112144622436979 A设设矩矩阵阵例例1 1 .用用最最大大无无关关组组线线性性表表示示属属最最大大无无关关组组的的列列向向量量无无关关组组，并并把把不不的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大求求矩矩阵阵A行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初等行变换初等行变换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关三列，三列，、元在元在而三个非零行的非零首而三个非零行的非零首421.,421无关组无关组为列向量组的一个最大为列向

29、量组的一个最大故故aaa线性无关线性无关，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ., 42153成行最简形矩阵成行最简形矩阵再变再变线性表示，必须将线性表示，必须将用用要把要把Aaaaaa ),421aaa（事实上事实上 763264111112 000100110111初等行变换初等行变换 00000310003011040101 初等行变换初等行变换A 4215213334,aaaaaaa 即得即得定理定理2 向量组向量组b1,b2,bl能由向量组能由向量组a1, a2, ,am线线性表示的充分必要条件是性表示的充分必要条件是 R(a1, a2, ,am)=R(a1, a2, ,

30、am, b1,b2,bl) 依据向量组的秩的定义及定理依据向量组的秩的定义及定理6可知前面介绍可知前面介绍的定理的定理1、2、3、4中出现的矩阵的秩都可以改为中出现的矩阵的秩都可以改为向量组的秩，例如定理向量组的秩，例如定理2可叙述为可叙述为 这里记号这里记号R(a1, a2, ,am)既可理解为矩阵的秩，既可理解为矩阵的秩，也可以理解成向量组的秩也可以理解成向量组的秩. 的秩的秩的秩不大于向量组的秩不大于向量组量组量组线性表示，则向线性表示，则向能由向量组能由向量组设向量组设向量组ABAB., : ,: 1010sraaAAbbBBsr 要证要证的一个最大无关组为的一个最大无关组为向量组向量

31、组，的一个最大无关组为的一个最大无关组为设向量组设向量组 证证定理定理3. 00组线性表示组线性表示组能由组能由表示，表示，组线性组线性组能由组能由组线性表示，组线性表示，组能由组能由因因AAABBB.00组线性表示组线性表示组能由组能由故故AB由定理由定理3即得即得R(B)R(A)121223540264(,),( ,),11533195a ab b 已知例例2 2.),(),(2121等价等价与与证明向量组证明向量组bbaa.),(),( ,),(),( ,2 21212121YbbaaXaabbYX 使使阶方阵阶方阵要证存在要证存在证明证明.X先求先求 5913351146204532)

32、,(2121bbaa最简形矩阵：最简形矩阵：施行初等行变换变为行施行初等行变换变为行阵阵对增广矩对增广矩的方法的方法类似于线性方程组求解类似于线性方程组求解),(, 2121bbaa 5913453246203511 5913351146204532),(2121bbaa31rr 591345324620351131rr 462010155046203511132rr 143rr )2(2 r 46201015502310351113312rrrr 143rr 462010155046203511 0000000023103511)2(2 r 462010155023103511235rr 2

33、42rr 0000000023103511235rr 242rr .0000000023101201 21rr 11 r X.,., 01 21211等价等价与与此向量组此向量组因因即为所求即为所求取取可逆可逆知知因因bbaaXYXX 0000000023101201),(2121初等行变换初等行变换bbaa 即得即得 2312最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结

34、论：定理定理及及推论推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结作业：作业：nP11113(2)；14(2)；15n一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质n二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法n三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质第四节第四节 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnx

35、axaxaxaxaxaxaxaxa若记若记（1）一、齐次线性方程组解的性质,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程.Ax0 1212111nnx,x,x 若若为方程为方程 的的0 Ax解，则解，则（2） 121111nx 称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .（2 2）若）若 为为 的解，的解， 为

36、实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax如果如果解系解系的基础的基础称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一组组线线性性无无关关是是 Axt .,0)2( 21出出线线性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 221112,tkkk其中其中为任意常数为任意常数.线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法 0000

37、1001,1, 111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入., 100, 010, 001依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .b

38、brn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,定理定理7 7 设设mn矩阵矩阵A的秩的秩R(A)=r，则，则n元齐次元齐次线性方程组线性方程组Ax=0的解集的解集S的秩为的秩为n-r. 当当R(A)=n时，方程组时，方程组(1)只有零解，没有基只有零解，没有基础解系（此时解集础解系（此时解集S只含有一个零向量）只含有一个零向量）. 当当R(A)=rn时，方程组时，方程组(1)的基础解系含有的基础解系含有n-r个向量个向量.例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352,

39、0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对应有对应有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解线性方程组解线性方程组 0765302305532034543

40、21543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通

41、解为.kkkx332211 .k,k,k为为任任意意常常数数其其中中321,xx 1221依次得依次得. 12, 31, 010312 . 100123 例例3 3).()(ARAART 证明证明证证.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即则有则有满足满足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因此因此.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方

42、程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明证明 . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕证毕.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程则则的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程设设bAxxAxxbAxx .11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解

43、非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题bAx ;, 21线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn .,2121的秩相等的秩相等与矩阵与矩阵矩阵矩阵bBAnn 线性方程组线性方程组 有解有解bAx 线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有

44、重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B 2132111311101111B,00000212100211011 并有并有故方程组有解故方程组有解可见可见, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx .123438,23622, 2323, 7543215432543215432