电路分析基础

1、2018年10月29日1电容元件与电感元件2 v实际电路不能只用电阻元件和电源元件来构成模型，实际电路不能只用电阻元件和电源元件来构成模型，还包含还包含电容元件电容元件和和电感元件电感元件。v这两种元件的电压、电流关系都涉及对电流、电压这两种元件的电压、电流关系都涉及对电流、电压的微分或积分，称为的微分或积分，称为动态元件动态元件。(1)(1)在电路中常常需要接入电容和电感器件。例如滤波，在电路中常常需要接入电容和电感器件。例如滤波，必须利用动态元件才能实现这一功能。必须利用动态元件才能实现这一功能。(2)(2)当信号变化很快时，一些实际器件已不能再用电阻当信号变化很快时，一些实际器件已不能再

2、用电阻模型来表示，必须考虑到磁场变化及电场变化的现模型来表示，必须考虑到磁场变化及电场变化的现象，在模型中需要增添电感、电容等动态元件。象，在模型中需要增添电感、电容等动态元件。v至少包含一个动态元件的电路称为至少包含一个动态元件的电路称为动态电路动态电路。v基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路的连接方式，与构成电路的元件性质无关。的连接方式，与构成电路的元件性质无关。3电容元件是一种反映电路及其附近存在电场而可以电容元件是一种反映电路及其附近存在电场而可以储存电能的理想电路元件储存电能的理想电路元件 。 电容效应是广泛存在的，任何两块金属导

3、体，中间电容效应是广泛存在的，任何两块金属导体，中间用绝缘材料隔开，就形成一个电容器。工程实际中用绝缘材料隔开，就形成一个电容器。工程实际中使用的电容器虽然种类繁多、外形各不相同，但它使用的电容器虽然种类繁多、外形各不相同，但它们的基本结构是一致的，都是用具有一定间隙、中们的基本结构是一致的，都是用具有一定间隙、中间充满介质（如云母、涤纶薄膜、陶瓷等）的金属间充满介质（如云母、涤纶薄膜、陶瓷等）的金属极板（或箔、膜）、再从极板上引出电极构成。这极板（或箔、膜）、再从极板上引出电极构成。这样设计、制造出来的电容器，体积小、电容效应大，样设计、制造出来的电容器，体积小、电容效应大，因为电场局限在两

4、个极板之间，不宜受其它因素影因为电场局限在两个极板之间，不宜受其它因素影响，因此具有固定的量值。如果忽略这些器件的介响，因此具有固定的量值。如果忽略这些器件的介质损耗和漏电流，电容器可以用电容元件作为它们质损耗和漏电流，电容器可以用电容元件作为它们的电路模型。的电路模型。4电容器在电路中的使用量仅次于电阻器电容器在电路中的使用量仅次于电阻器，但是电容，但是电容在电路中的损坏几率比电阻大。当电容器在电路运在电路中的损坏几率比电阻大。当电容器在电路运行过程中出现被击穿或开路故障时，同样会使有关行过程中出现被击穿或开路故障时，同样会使有关电路失去原来的正常工作状态，甚至会造成整个电电路失去原来的正常

5、工作状态，甚至会造成整个电路瘫痪。然而电容与电阻稍有不同的是常出现一种路瘫痪。然而电容与电阻稍有不同的是常出现一种漏电软故障。当电容开始产生轻度漏电现象时，该漏电软故障。当电容开始产生轻度漏电现象时，该电容在电路中的作用并不会有明显的改变。随着运电容在电路中的作用并不会有明显的改变。随着运行时间的增长，漏电日益加重，最终电容完全丧失行时间的增长，漏电日益加重，最终电容完全丧失其作用而导致电路故障。对电路中的这种软故障，其作用而导致电路故障。对电路中的这种软故障，维修难度较大。维修难度较大。56实际电脑上的电容每个电容器产品，除了标明型号、电容外，还标有电容器的耐压，电解电容器必须标出其正、负极

6、性。使用电容器时，两极板上所加的电压不能超过耐压，否则电容中的场强太大，极板间的电介质有被击穿的危险，即电介质失去绝缘性能而变为导体，电容器损坏。对电解电容器，两极板上所加的电压极性必须正确。v把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电容器。容器。v理想介质是不导电的，在外电源作用下，两块极板理想介质是不导电的，在外电源作用下，两块极板上能分别存储等量的异性电荷。上能分别存储等量的异性电荷。v外电源撤走后，电荷依靠电场力的作用互相吸引，外电源撤走后，电荷依靠电场力的作用互相吸引，由于介质绝缘不能中和，极板上的电荷能长久地存由于介质绝缘不能中和，极板

7、上的电荷能长久地存储下去。因此，电容器是一种能存储电荷的器件。储下去。因此，电容器是一种能存储电荷的器件。v电容元件定义如下：电容元件定义如下：一个二端元件，如果在任一时一个二端元件，如果在任一时刻刻t t，它的电荷，它的电荷q q( (t t) )同它的端电压同它的端电压u u( (t t) )之间的关系可之间的关系可以用以用u-qu-q平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。为电容元件。7v在某一时刻在某一时刻t t，q q( (t t) )和和u u( (t t) )所取所取的值分别称为电荷和电压在该的值分别称为电荷和电压在该时刻的瞬时值。

8、时刻的瞬时值。v电容元件的电荷瞬时值和电压电容元件的电荷瞬时值和电压瞬时值之间存在着一种代数关瞬时值之间存在着一种代数关系。系。v如果如果u-qu-q平面上的特性曲线是一平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电容元件称之为间而变，则此电容元件称之为线性时不变电容元件线性时不变电容元件。v在国际单位制中，在国际单位制中，C C的单位为法的单位为法拉。拉。8式中式中C为正值常数，为正值常数，用来度量特性曲线用来度量特性曲线斜率。斜率。q(t)与与u(t)为关联参为关联参考方向。考方向。 tCutq v设电流设电流i i( (t t) )的参考方向箭头指

9、的参考方向箭头指向标注向标注q q( (t t) )的极板，这就意味的极板，这就意味着当着当i i( (t t) )为正值时，正电荷向为正值时，正电荷向这一极板聚集，因而电荷这一极板聚集，因而电荷q q( (t t) )的变化率为正。于是，有的变化率为正。于是，有9如如u和和i的参考方向的参考方向不一致，则不一致，则 dtduCdtdCutitCutqdtdqti dtduCtiv把电容的电压把电容的电压u u表示为电流表示为电流i i的函数，则的函数，则v如果只需了解在某一初始时刻如果只需了解在某一初始时刻t t0 0以后电容电压的情况，以后电容电压的情况，则则10 diCtut 1 000

10、00111ttdiCtudiCdiCtuttttt 电容与电压源相接电容与电压源相接(a)(a)，电压，电压源电压随时间按三角波方式源电压随时间按三角波方式变化如图变化如图(b)(b)，求电容电流。，求电容电流。11解解 从从0.25ms到到0.75ms期间，期间，电压电压u由由+100V线性下降到线性下降到 -100V，其变化率为，其变化率为AdtduCidtdu4 . 010410104105 . 02005653 从从0.750.75msms到到1.251.25msms期间期间12AdtduCidtdu4 . 0104101045 . 0200565 设电容与一电流源相接，电流设电容与一

11、电流源相接，电流波形如图波形如图(b)(b)中所示，试求电中所示，试求电容电压。设容电压。设u u(0)=0(0)=0。13解解 先写出先写出i(t)的函数式，对的函数式，对三角波可分段写为：三角波可分段写为： ststtiststtisttti333333331025. 11075. 0440001040001075. 01025. 024000105 . 040001025. 0040001025. 01 在在 期间期间 14当当t=0.25ms时，时，u=125V。此为一开口向下的抛物线，顶点在此为一开口向下的抛物线，顶点在t=0.5ms、u250V处。处。当当t0.75ms时，电压下降

12、到时，电压下降到125V。st31025. 00 2906010240001010tddiCututt st331075. 01025. 0 在在 期间期间 2961025.061025.03102102250240001012511025.033ttddiCututt 15此为一开口向上的抛物线方程，此为一开口向上的抛物线方程，其顶点在其顶点在t=l ms，u=0处。处。st331025. 11075. 0 在在 期间期间 2961075. 061075. 031021042000440001012511075. 033ttddiCututt 电容电压的电容电压的连续性质连续性质可陈述如下：

13、可陈述如下：v若电容电流若电容电流i i( (t t) )在闭区间在闭区间 t ta a,t,tb b 内为有界的，则电内为有界的，则电容电压容电压u uC C( (t t) )在开区间在开区间( (t ta a,t,tb b) )内为连续的。特别是，内为连续的。特别是，对任何时刻对任何时刻t t，且，且t ta a t t t tb b 即即“电容电压不能跃变电容电压不能跃变”，在动态电路分析问题，在动态电路分析问题中常常用到这一结论。中常常用到这一结论。16 tutuCC 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间的在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间的连续函数。任取一点连续函数。任取一

14、点t t，以，以t t和和t+dtt+dt分别作为积分的上、分别作为积分的上、下限，且下限，且t ta a t t t tb b和和t ta a t+dt t+dt t tb b，则则 由于由于i i( (t t) )在在 t ta a,t,tb b 内为有界的，对所有在内为有界的，对所有在 t ta a,t,tb b 内的内的t t，必存在一个有限常数，必存在一个有限常数M M，使，使| |i i( (t t)|)|M M。在曲线。在曲线i i( (t t) )下由下由t t轴和上、下限所界定的图形的面积最大为轴和上、下限所界定的图形的面积最大为M Mdtdt，当当dtdt0 0时，该面积也

15、将趋于零，根据上式，这就意味时，该面积也将趋于零，根据上式，这就意味着当着当dtdt0 0时，时，u uc c( (t+dtt+dt) )u uc c( (t t) )，亦即在，亦即在t t处，处，u uC C是连续是连续的。的。17 dtiCtudttudtiCtudttudtttCCdtttCC 11v上式为电容电压记忆性质的关系式。利用初始电上式为电容电压记忆性质的关系式。利用初始电压压u uC C( (t t0 0) )对对t tt t0 0时电流的记忆作用，在不需考虑时电流的记忆作用，在不需考虑t tt t0 0时电流的具体情况下，即能解决时电流的具体情况下，即能解决t t t t0

16、 0时的电时的电容电压容电压u uC C( (t t) )的问题。的问题。v在含电容的动态电路分析问题中，这是一个十分在含电容的动态电路分析问题中，这是一个十分重要的概念，因而电容的初始电压是一个必须具重要的概念，因而电容的初始电压是一个必须具备的条件。备的条件。18 00011ttdiCtudiCtuttCtC 设电容的初始电压设电容的初始电压19即：对已被充电的电容，若即：对已被充电的电容，若已知，已知， ，则在，则在tt0时，可等效为时，可等效为一个未充电的一个未充电的电容与电压源相串联电容与电压源相串联的电路，的电路，电压源的电压值即为电压源的电压值即为t0时电容时电容两端的电压两端的

17、电压U0。电压。电压U0称为称为电容电压电容电压uC的的初始状态初始状态。 00UtuC 01000001tttuUdiCtutuUtuttCCC已知已知C C=4=4F F，i i( (t t) )波形如图所示。波形如图所示。(1)(1)试求电容电压试求电容电压u uC C( (t t) )、t t 0 0；(2)(2)求求u uC C(0)(0)、u uC C(1)(1)、u uC C(-0.5)(-0.5)；(3)(3)试作出试作出t t0 0时该电容的等效电路时该电容的等效电路。20解解: (1) : (1) 求电容电压求电容电压u uC C( (t t) )、t t 0 0；21 t

18、dddididididCtutttC75. 05 . 0320414111001100122(3)作出作出t0时该电容的等效电路时该电容的等效电路 VdidCuVduVuCCC25. 023115 . 025. 1435 . 015 . 005 . 015 . 0110 (2)求求uC(0)、uC(1)、uC(-0.5) ttututdtutAtitiCt75. 05 . 05 . 075. 0341031011 23电容电容C C在某一时刻在某一时刻t t的储能只与该时刻的储能只与该时刻t t的电压有关，即的电压有关，即24 12222212121,|2121212121tutuCCuduu

19、CddduCudiudpttwtututututtttttC tCuwC221 在在t1到到t2期间所供给的能量可表为期间所供给的能量可表为v电感元件的定义：一个二端电感元件的定义：一个二端元件，在任一时刻元件，在任一时刻t t，它的电，它的电流流i i( (t t) )同它的磁链同它的磁链 ( (t t) )之间之间的关系可以用的关系可以用i-i- ( (t t) )平面上平面上的一条曲线来确定，则此二的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件。端元件称为电感元件。v电感元件的电流瞬时值与磁电感元件的电流瞬时值与磁链瞬时值之间存在一种代数链瞬时值之间存在一种代数关系。关系。25 tLit 2

20、6 应用：应用：电感线圈的精度范围为 。通常用于谐振回路的电感线圈精度比较高，其允许偏差为 ;用于耦合、滤波的电感线圈的精度比较低，其允许偏差为 ；高、低频阻流圈、镇流器线圈、换能线圈等的允许偏差为 。带骨架的空芯电感，比如实验室用的线圈、收音机中的振荡线圈等；无骨架的空芯电感，比如电视机高频头中的选频线圈、调频收音机中的调谐线圈等。%20%2 . 0%5 . 0%2 . 0%15%10%20%10v根据电磁感应定律、感应电压等于磁链的变化率。当根据电磁感应定律、感应电压等于磁链的变化率。当电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，可得时，

21、可得27dtdiLdtdLidtdu 000000011111ttduLtidutLduLduLLtduLtitttttttt v在电磁学中，感应电动势与磁链的关系表为：在电磁学中，感应电动势与磁链的关系表为： 因此，因此，u u和感应电动试和感应电动试e e差一个负号。差一个负号。v电磁学中，电磁学中，e e参考方向的规定与参考方向的规定与u u相反，那就是相反，那就是e e与与i i的参考方向应一致，不这样规定，便不能反映楞次的参考方向应一致，不这样规定，便不能反映楞次定律。由于定律。由于e e是指电压升，它的参考方向是指由是指电压升，它的参考方向是指由“-”-”到到“+”+”的方向，故的

22、方向，故e e与与i i参考方向一致时，其参考极参考方向一致时，其参考极性如右上图所示。性如右上图所示。28dtdiLdtde v电感电流的连续性质可陈述如下：电感电流的连续性质可陈述如下：v若电感电压若电感电压u u( (t t) )在闭区间在闭区间 t ta a，t tb b 内为有界的，则电内为有界的，则电感电流感电流i iL L( (t t) )在区间在区间( (t ta a，t tb b) )内为连续的。即，对任内为连续的。即，对任何时间何时间t t，且，且t ta a t t t tb bv即：即：电感电流不能跃变电感电流不能跃变，在动态电路的分析问题时，在动态电路的分析问题时常常

23、用到这个结论。常常用到这个结论。29 titiLLv设电感的初始电流为设电感的初始电流为i i( (t t0 0) )=I=I0 0，则，则v在在t tt t0 0时可等效为时可等效为一个初始电流为零的电感与电流源一个初始电流为零的电感与电流源的并联电路，电流源的电流值即为的并联电路，电流源的电流值即为t t0 0时电感的电流时电感的电流I I0 0。30 011000 ttiIudLtitittLLv电感的功率为：电感的功率为：v在在t t1 1到到t t2 2期间所供给的能量可表为期间所供给的能量可表为31此即为在此即为在t1至至t2期间电感贮能的改变量。由此可知，期间电感贮能的改变量。由

24、此可知，电感的贮能公式应为电感的贮能公式应为 titutp 12222121,2121titiLdiddiLdiuttwttttL tLitwL221 v在动态电路的各个电压、电流变量中，在动态电路的各个电压、电流变量中，电容电压电容电压u uC C( (t t) )和和电感电流电感电流i iL L( (t t) )占有特殊重要的地位，它们称为电占有特殊重要的地位，它们称为电路的路的状态变量状态变量。v在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量，在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在若已知它们在t t0 0时的数值和所有在时的数值和所有在t t t t0 0时的输入，

25、时的输入，就能确定在就能确定在t t t t0 0时电路中的任何电路变量。时电路中的任何电路变量。vu uC C( (t t0 0) )和和i iL L( (t t0 0) )称为电容电压和电感电流的称为电容电压和电感电流的初始状态初始状态。32已知已知t t 0 0时电感电压时电感电压u u为为e e-t-tV V，且知在某一时刻，且知在某一时刻t t1 1，电压电压u u为为0.40.4V V。试问在这一时刻：。试问在这一时刻：(1)(1)电流电流i iL L的变化率是多少的变化率是多少? ?(2)(2)电感的磁链是多少电感的磁链是多少? ?(3)(3)电感的贮能是多少电感的贮能是多少?

26、?(4)(4)从电感的磁场放出能量的速率是多少从电感的磁场放出能量的速率是多少? ?(5)(5)在电阻中消耗能量的速率是多少在电阻中消耗能量的速率是多少? ?33v必须注意本题电感电压与电感电流的参考方向不一致，必须注意本题电感电压与电感电流的参考方向不一致，为方便、令为方便、令 u=-uu=-u，u=-eu=-e-t-tV V。34iL(0) 0，表示处始时刻电感有贮能，这一贮能使电路，表示处始时刻电感有贮能，这一贮能使电路在没有电源的情况下仍有电流、电压。在没有电源的情况下仍有电流、电压。 tttttLLtRLeeededuLitiAReRuii1111101000|0000(1)(1)电

27、流变化率电流变化率：35在在t=t1时时 ，即，即 ，故得此时电流变，故得此时电流变化率为化率为(2)磁链：磁链： WbeLetLitttL4 . 0 ttedtdedttdi L4 . 01 tesAdtditL/4 . 0|1 Vu4 . 0 (3)(3)贮能：贮能：36(4)磁场能量的变化率，即功率为磁场能量的变化率，即功率为 此时功率为负值，说明电感放出能量、这个能量为此时功率为负值，说明电感放出能量、这个能量为电阻所消耗。电阻所消耗。 JeLtLiwtLL08. 04 . 0212121222 WedtdwedtdeedttditiLdttLiddtdwttLtttLLLL16. 0

28、4 . 022121222211| (5)(5)电阻消耗能量的速率，即电阻消耗的功率为电阻消耗能量的速率，即电阻消耗的功率为37 WeRtipttLR16.04.0222|1 v如果将电容与电感的如果将电容与电感的VARVAR加以比较，就会发现，把电加以比较，就会发现，把电容容VARVAR中的中的i i换换u u，u u换以换以i i，C C换以换以L L就可得到电感的就可得到电感的VARVAR；反之，通过类似的变换，也可由后者得到前者。反之，通过类似的变换，也可由后者得到前者。v因此，电容与电感是一对对偶量。因此，电容与电感是一对对偶量。38v非线性电容不能用单一的电容值来表征，而应该用非线

29、性电容不能用单一的电容值来表征，而应该用u-u-q q平面上的一条曲线来表征平面上的一条曲线来表征39称为该电容元件的称为该电容元件的增量电容增量电容。 dudfuCdtduuCdtdududfdtdqtiufq若非线性电容的若非线性电容的u-qu-q关系为关系为施于电容两端的电压为施于电容两端的电压为求流过电容的电流，设求流过电容的电流，设u u、i i参考方向一致。参考方向一致。40解解 由于由于 AttdtduudtduuCtiuduudfuCuuufq6262626310cossin11011011031 tuuuqsin103163v非线性电感不能用单一的电感值来表征，而应该用非线性

30、电感不能用单一的电感值来表征，而应该用i-i- 平面上的一条曲线来表征。平面上的一条曲线来表征。41称为该电感元件的称为该电感元件的增量电感增量电感。 didfdidiLdtdiiLdtdididdtduif 非线性电感非线性电感i-i- 关系为关系为若流过电感的电流为若流过电感的电流为求电感电压。求电感电压。42解解电感电压为电感电压为 ttiiisinsin ttdtdiiLutididiLiiifcossincos1sincos1cos1sinv把一个电感线圈看成是一个电感元件，用把一个电感线圈看成是一个电感元件，用(a)(a)所示的所示的模型来表示，一般来说，准确性是比较差的。模型来表

31、示，一般来说，准确性是比较差的。v电感线圈不仅存贮能量也消耗能量。消耗的能量是由电感线圈不仅存贮能量也消耗能量。消耗的能量是由绕制线圈所用导线的电阻引起的。常用一个与电感绕制线圈所用导线的电阻引起的。常用一个与电感L L串联的电阻串联的电阻R R来表示，如图来表示，如图(b)(b)所示。所示。v线圈的匝与匝之间还有电容存在，当施加于线圈的电线圈的匝与匝之间还有电容存在，当施加于线圈的电压变化率很高时，电容的作用就不能忽略。在模型中压变化率很高时，电容的作用就不能忽略。在模型中用一个跨接干线圈两端的电容来近似地表明这个情况，用一个跨接干线圈两端的电容来近似地表明这个情况，如图如图(c)(c)所示

32、。所示。43v电容器可以用电容元件作为模型，图电容器可以用电容元件作为模型，图(a)(a)是电容器模是电容器模型。型。v电容器消耗的能量不容忽略，这些能量损失并不全是电容器消耗的能量不容忽略，这些能量损失并不全是因漏电流造成的，还包括介质处于反复极化时所消耗因漏电流造成的，还包括介质处于反复极化时所消耗的能量。在模型中增添一个并联电导的能量。在模型中增添一个并联电导G G来计及这部分来计及这部分能量损失，如图能量损失，如图(b)(b)。v当电容器两端电压的变化率很高时，电流产生的磁场当电容器两端电压的变化率很高时，电流产生的磁场不容忽视，在模型中增添电感元件不容忽视，在模型中增添电感元件L L

33、，如图，如图(c)(c)。44v设设n n个电容元件串联，如图个电容元件串联，如图(a)(a)，各电容的初始电压为，各电容的初始电压为u u1 1(0)(0)、u u2 2(0)(0)、u un n(0)(0)，设流过各电容的电流为，设流过各电容的电流为i i，各电容电压为各电容电压为u u1 1，u u2 2、u un n与电流为关联参考方向，与电流为关联参考方向，两端电压为两端电压为u u，则则45nuuuu.21 tnntnnnttidCCCuuuuidCuuidCuuidCuu021210022201111.110.0010.1010v等效电路电容等效电路电容C Cs s的倒的倒数为各串联电容倒数数为各串联