第10章含有耦合电感的电路

1、2022-3-71/57第第10章章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路l 主要内容主要内容 1. 互感和互感电压互感和互感电压 2. 具有互感的电路分析与计算具有互感的电路分析与计算 3. 变压器原理和理想变压器变压器原理和理想变压器2022-3-72/5710.1 10.1 互感互感1. 1. 互感互感+u11+u21 11 21N1N2i1 iL11111 11 、 21 ：自感磁通和互感磁通：自感磁通和互感磁通11 、 21 ：自感磁通链和互感磁通链，且：自感磁通链和互感磁通链，且11=N111 21=N2 21 111 iMiL2121121 1212221222 iMiL 211

2、2MM 、: 互感系数互感系数,单位单位:HL1: 自感系数自感系数注注M12=M212022-3-73/572. 2. 耦合系数耦合系数 (coupling coefficient)用耦合系数用耦合系数k 表示两个线圈磁表示两个线圈磁耦合的紧密程度。耦合的紧密程度。121def LLMk当当 k=1 称全耦合称全耦合: 漏磁漏磁 F s1 =Fs2=0即即 11= 21 ， 22 = 121)(2211211222112121221 iLiLMiMiLLMLLMk一般有：一般有：k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关互感现象互感现象利用利用变压

3、器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。2022-3-74/57当当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。两端产生感应电压。 dddd111111tiLtu 当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：应定律和楞次定律： 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：均包含自感电

4、压和互感电压：tiMtudd dd 12121 自感电压自感电压互感电压互感电压3. 3. 耦合电感上的电压、电流关系耦合电感上的电压、电流关系2022-3-75/57在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为22122111 jjjj ILIMUIMILU 两线圈的自感磁链和互感磁链相助，互感电压取正，两线圈的自感磁链和互感磁链相助，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：否则取负。表明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关。）与电流的参考方向有关。（2）与线圈的相对位置和绕向有关。）与线圈的相对位置和绕向有关。注注tiLtiMuuutiMtiLuu

5、udd dd dd dd2212221221112111 2022-3-76/574.4.互感线圈的同名端互感线圈的同名端对自感电压，当对自感电压，当u, i 取关联参考方向，取关联参考方向，u、i与与 符合符合右螺旋定则，有右螺旋定则，有 dddd dd 111111111tiLtNtu i1u11对互感电压，产生该电压的电流在另一线圈上，要确对互感电压，产生该电压的电流在另一线圈上，要确定其符号，必须知道两个线圈的绕向。定其符号，必须知道两个线圈的绕向。同名端同名端2022-3-77/57tiMutiMudd dd1313112121 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流当两个电流分别

6、从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 * 同名端同名端i1+u11+u21 11 0N1N2+u31N3 si2i3注意：线圈的同名端必须两两确定。注意：线圈的同名端必须两两确定。2022-3-78/57确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入( (或流出或流出) )时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。 i1122*112233* 例例1(2) (2)

7、 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。2022-3-79/57 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi当闭合开关当闭合开关S时，时，i 增加，增加，2022-3-710/57由同名端及由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程。参考方向确定互感线圈的特性方程。tiMudd121 tiMudd121 i1*u21+Mi1*u21+M2022-3-711/57tiMtiLudddd211

8、1 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M例例2写写出出图图示示电电路路电电压、压、电电流流关关系系式式2022-3-712/57例例3i1*L1L2+_u2MR1R2+_u21010i1/At/s)()(H,1,H2,H5,10 2211tutuMLLR和和求求已知已知 tstVstVtiMtu2 021 1010 10dd)(12解解 tstVtstVttiLiRtu2 021 150 10

9、010 50 100dd)(1112022-3-713/5710.2 10.2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算1. 1. 耦合电感的串联耦合电感的串联（1 1） 顺接串联顺接串联tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudd dd)2()( dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 iRLu+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+去耦等效电路去耦等效电路2022-3-714/57（2 2） 反接串联反接串联MLLLRRR2 2121 tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()( dddddddd2121221

10、1 )(2121LLM 互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。02 21 MLLLiM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+2022-3-715/57在正弦激励下：在正弦激励下：*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I )2(j)(2121IMLLIRRU+ I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量图：相量图：(a) (a) 顺接顺接(b) (b) 反接反接2022-3-716/57（1） 同侧并联同侧并联2. 2. 耦合电感的并联耦合电感的

11、并联*Mi2i1L1L2ui+j (L1M) I1 I2 Ij Mj (L2M)211 IMjILjU122 IMjILjU IMjIMLj IIMjILjU11111)()(IMjIMLj IIMjILjU 22222)()(2022-3-717/57（2） 异侧并联异侧并联*Mi2i1L1L2ui+j (L1+M) I1 I2 I-j Mj (L2+M)211 IMjILjU122 IMjILjU IMjIMLj IIMjILjU11111)()(IMjIMLj IIMjILjU 22222)()(2022-3-718/573.3.耦合电感的耦合电感的T T型等效型等效（1） 同名端为共端

12、的同名端为共端的T型去耦等效型去耦等效*j L1 I1 I2 I123j L2j M21113 jj IMILU12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML j (L1-M) I1 I2 I123j Mj (L2-M)2022-3-719/57（2） 异名端为共端的异名端为共端的T型去耦等效型去耦等效*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1M) I1 I2 I123j Mj (L2M)21113 jj IMILU 12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML 2022-3-720/57*

13、Mi2i1L1L2u+u+j (L1M)1 I2 Ij Mj (L2M)2022-3-721/574. 受控源等效电路受控源等效电路2111 IMjILjU 1222 IMjILjU *Mi2i1L1L2u+u+j L11 I2 Ij L2+2 IMj 1 IMj +2 U+1 U2022-3-722/57例例4abL 求等效电感求等效电感M=4H6H2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3HLab=6H解解2022-3-723/575. 5. 有互感的电路的一般分析方法有互感的电路的一般分析方法 (1) (1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的有互感的电路的计算仍属正弦稳

14、态分析，前面介绍的 相量分析的方法均适用。相量分析的方法均适用。 (2) (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感 电压。电压。 (3) (3) 一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。列写下图电路的回路电流方程。列写下图电路的回路电流方程。例例5MuS+CL1L2R1R2*+ki1i12022-3-724/57SUIIMjILjILjR )()(3231111 213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i113132222)()(IkIIMjILjILjR 0)()()1(23132211321 IIMjIIMjIL

15、jILjICjLjLj 解解2022-3-725/57例例6 6求图示电路的开路电压。求图示电路的开路电压。1I)2(313111 MLLjRUIS M12+_+_SUocU* M23M31L1L2L3R1)2()( 313113123123131311231120MLLjRUMMMLjILjIMjIMjIMjUSc 解解1 12022-3-726/57作出去耦等效电路，作出去耦等效电路，( (一对一对消一对一对消):):M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 解解2

16、L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23 M132022-3-727/57L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 R1 + +_SUocU1I)2(313111 MLLjRUIS )2()(3131131231230MLLjRUMMMLjUSc 2022-3-728/57例例7 7要使要使i=0，问电源的角频率为多少？问电源的角频率为多少？ZRCL1L2MiuS+L1 L2C R + SUIMZ*L1M L2MC R + SUIZM解解CM 1 当当MC1 0 I2022-3-729/576 6 耦合电感的功率耦合电感的功率 当耦

17、合电感中的施感电流变化时，将出现变化当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。从耦合电感一边传输到另一边。 分析电路的复功率。分析电路的复功率。 * *jL11 I2 IjL2j M+s UR1R22022-3-730/57s2111 j)j(UIMILR0)j(j2221ILRIM*221 22220j(j)SMI IRL I * *jL11 I2 IjL2j M+s UR1R2*2*1S 1

18、1112 1(j)jSU IRL IMI I *1s1IUS2022-3-731/57* 12jM I I线圈线圈1中中互感电压耦合的复功率互感电压耦合的复功率*12jIIM线圈线圈2中中互感电压耦合的复功率互感电压耦合的复功率注意 两个互感电压耦合的复功率为虚部同号、实部两个互感电压耦合的复功率为虚部同号、实部异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性所异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的决定的。耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是互感互感M非耗能特性的体现。非耗

19、能特性的体现。2022-3-732/57耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响的性质是相同的，即，当响的性质是相同的，即，当M起同向耦合作用起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当中的磁能增加；当M起反向耦合作用时，它的起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。少。注意 2022-3-733/5710.3 变压器原理变压器原理*j L11

20、I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。1. 1. 变压器电路变压器电路原边回路原边回路副边回路副边回路2022-3-734/572. 2. 分析方法分析方法（1 1） 方程法分析方程法分析*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXS2111 j-) j( UIMILR 0)j(j2221 IZL

21、RIM令令 Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)回路方程：回路方程：S2111 j- UIMIZ 0j2221 IZIM 2022-3-735/57 )(22211S1 ZMZUI 222111Sin)( ZMZIUZ 1122211S2222211S2)(1j)(j ZMZZUMZZMZUMI 1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路原边等效电路2 I+oc UZ22112)(ZM副边等效电路副边等效电路（2 2） 等效电路法分析等效电路法分析2022-3-736/57lllXRXRXMXRRMXRMZMZjj j)(22222222222222222222

22、222222222 Zl= Rl+j Xl2222222222XRRMRl 2222222222XRXMXl 11in2 , , 0ZZI 即副边开路即副边开路当当1 I+S UZ11222)(ZM副边对原边的引入阻抗。副边对原边的引入阻抗。引入电阻。引入电阻。恒为正恒为正 , 表示副边回路表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。吸收的功率是靠原边供给的。引入电抗。引入电抗。负号反映了引入电负号反映了引入电抗与副边电抗的性质相反。抗与副边电抗的性质相反。原边等效电路原边等效电路2022-3-737/57引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理

23、意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。从能量角度来说从能量角度来说 : :电源发出有功电源发出有功 P= I12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边；消耗在原边；I12Rl 消耗在副边，由互感传输。消耗在副边，由互感传输。2022-3-738/5711Soc jZUMU 112)(ZM原边对副边的引入阻抗。原边对副边的引入阻抗。利用戴维宁定理可以求得利用戴维宁定理可以求得变压器副边的等效电路变压器副边的等效电路 。 副边开路时，副边

24、开路时， 原边电流在副边产原边电流在副边产 生的互感电压。生的互感电压。2 I+oc UZ22112)(ZM副边等效电路副边等效电路（3 3） 去耦等效法分析去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。路，再进行分析。2022-3-739/57已知已知 US=20 V , 原边引入阻抗原边引入阻抗 Zl=10j10 .求求: ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率.101010j42222jZZMZXl 8 . 9 j2 . 010200)1010(41010104 jjjjZX此时负载获得的功率：此时负载获得

25、的功率： W101010202 lRRPP）（引引 W104 , *2S11 RUPZZl实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：解：解：* *j10 2 Ij10 j2+S U10 ZX+S U10+j10 Zl=10j10 例例8解解2022-3-740/57L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 , 314 314rad/s,V 0115o sU. , :21II求求应用原边等效电路应用原边等效电路4 .1130j20j1111 LRZ 85.18+08.42=j+=2222jLRRZL 8188422)1 .24(3 .4

26、621 .2411.46146o2222.-jZXZMl1 I+S UZ11222)(ZM 例例9*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2RL解解12022-3-741/57A)9 .64(111. 08 .1884224 .1130200115o11S1 jjZZUIl应用副边等效电路应用副边等效电路VjjLjRUMjIMjUSOC085.144 .1130200115146 111 85.18906 .1130213164 .113020146)(2112jjZMAjjZIMjI1351. 01 .2411.461 .252 .1685.1808.429 .64111. 014

27、62212 解解22 I+oc UZ22112)(ZMAjjUIOC0353. 008.42085.1485.1808.425 .182 2022-3-742/57例例10电路如图，求电路初级端电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。间的等效阻抗。* *L1aM+S UbL2解解1111 jLZ 222 jLZ 22222)(LMjZMZl )1()1( 21212122111kLjLLMLjLMjLjZZZlab 解解2画出去耦等效电路画出去耦等效电路L1M L2M+ SUMab)1( )1( )( )/()(212121222122121kLLLMLLMLLLMLMMLMLMMLLab 2

28、022-3-743/57例例11L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01 F , 问问：R2=？能吸收最大功能吸收最大功率率, 求最大功率。求最大功率。V 010o sU解解1 10)1 j(11111CLRZ 222222)1 j(RCLRZ 2222400)(RZMZl 10 106 6rad/s,* *j L1j L2j M+S UR1C2R2C1应用原边等效电路应用原边等效电路+S U10 2400R当当21140010RZZl R2=40 时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)104(102max 2022-3-744/57解解2应

29、用副边等效电路应用副边等效电路4010400)(112 ZMZl +oc UR240)(112 ZM VjjZUMjUSOC2010102011 当当 402RZl时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)404(202max 例例12图示互感电路已处于稳态，图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开，时开关打开，求求t 0+时开路电压时开路电压u2(t)。* *0.2H0.4HM=0.1H+10 40Vu2+10 5 10 2022-3-745/57解解* *0.2H0.4HM=0.1H+10 40Vu2+10 5 10 副边开路，对原边回路无影响，开路电压副边开路，对原边回路无影响，开路电

30、压u2(t)中只有中只有互感电压。先应用三要素法求电流互感电压。先应用三要素法求电流i(t).iAii1211510/1040)0()0( 10 0 ts01. 0202 . 0 t0)( iAeeiiititt100)()0()()( VeedtddtdiMtutt100100210)(1 . 0)( 2022-3-746/5710.410.4 理想变压器理想变压器 121LLMk 1.1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。感元件的理想科学抽象

31、，是极限情况下的耦合电感。（2）全耦合）全耦合（1）无损耗）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。磁导率无限大。（3）参数无限大）参数无限大nLLMLL 2121, 2, 1NN ,但但 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。想变压器对待，可使计算过程简化。2022-3-747/57 i1122N1N2 2211212.2.理想变压器的主要性能理想变压器的主要性

32、能（1）变压关系）变压关系1 kdtdNdtdu 111 dtdNdtdu 222 nNNuu 2121*n:1+_u1+_u2*n:1+_u1+_u2理想变压器模型理想变压器模型若若nNNuu 21212022-3-748/57（2）变流关系）变流关系i1*L1L2+_u1+_u2i2MdtdiMdtdiLu2111 )()(1)(210111tiLMduLtit 考虑到理想化条件：考虑到理想化条件： 121LLMk nLLL 21211NN ,0nLLLM1121 )(1)(21tinti 若若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：)

33、(1)(21tinti n:1理想变压器模型理想变压器模型2022-3-749/57（3）变阻抗关系）变阻抗关系ZnIUnInUnIU22222211)( /1 *1 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z 理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。大小，不改变阻抗的性质。注注2022-3-750/57（b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。它是无记忆的多端元件。 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i2+u20)(111112211 niuniuiuiup（a a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。中只起传递信号和能量的作用。（4）功率性质）功率性质表明：表明：2022-3-751/57例例13已知电源内阻已知电源内阻RS=1k ，负载电阻负载电阻RL=10 。为使为