对数函数习题与答案

1、习题课对数函数及其性质的应用一、A组1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,且a>0,a1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1解析:由题意可知y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.答案:D2.已知a=2-13,b=log213,c=log1213,则()A.a>b>cB.a>c>b

2、C.c>b>aD.c>a>b解析:0<a=2-13<20=1,b=log213<log21=0,c=log1213>log1212=1,c>a>b.故选D.答案:D3.函数f(x)=3-log2(3-x)的定义域为()A.(3,5B.-3,5C.-5,3)D.-5,-3解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)0,即log2(3-x)3,0<3-x8,-5x<3.答案:C4.函数f(x)=log12(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+)B.(-,0)C.(2,+)D.(-,-2)解析:令t=x2-4>0,

3、可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),当x(-,-2)时,t随x的增大而减小,y=log12t随t的减小而增大,所以y=log12(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-,-2)上单调递增.故选D.答案:D5.已知y=loga(2-ax)在区间0,1上为减函数,则a的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.2,+)解析:由题设知a>0,则t=2-ax在区间0,1上是减函数.因为y=loga(2-ax)在区间0,1上是减函数,所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin>0.因此a>1,tmin=2-a&

4、gt;0,故1<a<2.答案:B6.导学号29900104已知函数f(x)=log2x,x>0,3x,x0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是. 解析:函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0<a1.答案:(0,17.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间0,+)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)<0的解集是. 解析:由题意可知,f(log4x)<0-12<log4x<12log44-12<log4x<log441212<x

5、<2.答案:x12<x<28.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a1),g(x)=loga(4-2x).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,则x+1>0,4-2x>0,解得-1<x<2.故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即loga(x+1)>loga(4-2x).当a&g

6、t;1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1,由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).9.导学号29900105若-3log12x-12,求f(x)=log2x2·log2x4的最值.解:f(x)=log2x2·log2x4=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+

7、2.令log2x=t,-3log12x-12,-3-log2x-12,12log2x3.t12,3.f(x)=g(t)=t2-3t+2=t-322-14.当t=32时,g(t)取最小值-14;此时,log2x=32,x=22;当t=3时,g(t)取最大值2,此时,log2x=3,x=8.综上,当x=22时,f(x)取最小值-14;当x=8时,f(x)取最大值2.二、B组1.(2016·江西南昌二中高一期中)函数y=x·ln |x|的大致图象是()解析:函数f(x)=x·ln |x|的定义域(-,0)(0,+)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln |-x

8、|=-x·ln |x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0<x<1时,f(x)<0,排除选项A,C.故选D.答案:D2.(2016·河南许昌四校高一联考)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间2,+)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.a4B.a2C.-4<a4D.-2a4解析:函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间2,+)上是增函数,y=x2-ax+3a在2,+)上大于零且单调递增,故有a22,4-2a+3a>0,解得-4<a4,故选C.答案:C3.已知函数f(x)在区间0,+)上是增函数,g(

9、x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),则x的取值范围是()A.110,10B.(0,10)C.(10,+)D.110,10(10,+)解析:因为g(lg x)>g(1),所以f(|lg x|)<f(1).又f(x)在区间0,+)上单调递增,所以0|lg x|<1,解得110<x<10.答案:A4.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为. 解析:b=log23.2log24=12log23.2=log23.2,c=log23.6log24=12log23.6=log23.6,又函数y=lo

10、g2x在区间(0,+)上是增函数,3.6>3.6>3.2,log23.6>log23.6>log23.2,a>c>b.答案:a>c>b5.已知函数y=logax,当x>2时恒有|y|1,则a的取值范围是. 解析:当a>1时,y=logax在区间(2,+)上是增函数,由loga21,得1<a2;当0<a<1时,y=logax在区间(2,+)上是减函数,且loga2-1,得12a<1.故a的取值范围是12,1(1,2.答案:12,1(1,26.导学号29900106若函数f(x)=logax(a>0

11、,且a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍,则a的值为. 解析:当0<a<1时,f(x)在区间(0,+)上是减函数,f(x)在区间a,2a上的最小值为loga(2a),最大值为logaa,logaa=3loga(2a),loga(2a)=13,即a13=2a,a=8a3,a2=18,a=24.当a>1时,f(x)在区间(0,+)上是增函数,f(x)在区间a,2a上的最小值为logaa,最大值为loga(2a),loga(2a)=3logaa,loga(2a)=3,即a3=2a,a2=2,a=2.故a的值为24或2.答案:24或27.已知函数f(x)=lg(3x

12、-3).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无实数解,求实数t的取值范围.解:(1)由3x-3>0,得x>1,所以f(x)的定义域为(1,+).因为(3x-3)(0,+),所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg3x-33x+3=lg1-63x+3的定义域为(1,+),且h(x)在区间(1,+)上是增函数,所以函数h(x)的值域为(-,0).若不等式h(x)>t无实数解,则t的取值范围为t0.8.导学号29900107已知函数f(x-1)=lgx2-x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)lg(3x+1).解:(1)令t=x-1,则x=t+1.由题意知x2-x>0,即0<x<2,则-1<t<1.所以f(t)=lgt+12-(t+1)=lgt+11-t.故f(x)=lgx+11-x(-1<x<1).(