总复习习题：第二章函数、导数及其应用课时提升作业十五2112Word版含答案

1、 温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 十五利用导数研究函数的极值、最值(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.当函数y=x·2x取极小值时,x=()A.B.-C.-ln 2D.ln 2【解析】选B.令y=2x+x·2xln2=0,解得x=-.2.(2016·济宁模拟)函数f(x)=x2-lnx的最小值为()A.B.1C.0D.不存在【解析】选A.f(x)=x-=,且x>0,令f(x)>0,得x>1;令f(x)<0,得0<

2、;x<1,所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,且f(1)= -ln1=.3.(2016·潍坊模拟)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在上有最大值3,那么此函数在上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解析】选A.因为f(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大.所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.4.(2015·陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中

3、有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【解题提示】根据选项假设A错误,利用导数推导函数的极值点及极值,与其余的选项相符,假设正确,从而确定答案.【解析】选A.若选项A错误,则选项B,C,D正确.f(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以即解得因为点(2,8)在曲线y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x2-10x+8,因为f(-1)=5×1-1

4、0×(-1)+8=230,所以-1不是f(x)的零点,所以选项A错误,选项B,C,D正确.5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是()【解析】选D.因为=f(x)ex+f(x)(ex)=ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f(-1)=0;选项D中,f(-1)>0,f(-1)>0,不满足f(-1)+f(-1)=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·滨州模拟)若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=.【解析】f(x)=,由题意知

5、f(1)=0,所以=0,解得a=3.经验证,a=3时,f(x)在x=1处取得极值.答案:37.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.【解析】因为f(x)=3x2+6ax+3b,所以所以f(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.答案:48.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是.【解析】若f(x)=3x2-3=0,则x=±1,且x=1为函数的极小值点,x

6、=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6-a2)内,且左端点的函数值不小于f(1),即实数a满足a<1<6-a2且f(a)=a3-3af(1)=-2.解a<1<6-a2,得-<a<1.不等式a3-3af(1)=-2,即a3-3a+20,a3-1-3(a-1)0,(a-1)(a2+a-2)0,即(a-1)2(a+2)0,即a-2,故实数a的取值范围为上的最小值为8,求a的值.【解析】(1)f(x)=(4x2-16x+16),定义域为上单调递增,故f(x)的最小值为f(1)=4+4a+a2=8

7、,解得a=-2±2,均需舍去;当-1且-4,即-10a-8时,f(x)在上单调递减,故f(x)的最小值为f(4)=2(64+16a+a2)=8,解得a=-10或a=-6(舍去);当1<-<4,即-8<a<-2时,f(x)的最小值为f,因为f=0,所以不成立;当1<-<4,即-40<a<-10时f(x)在上单调递增,在上单调递减,f(x)的最小值为f(1)与f(4)中的一个,根据上面的得均不成立.综上所述a=-10.10.(2016·滨州模拟)已知函数f(x)=(x2-2ax+a2)lnx,aR.(1)当a=0时,求函数f(x)

8、的单调区间. (2)当a=-1时,令F(x)=+x-lnx,证明:F(x)-e-2,其中e为自然对数的底数.(3)若函数f(x)不存在极值点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,f(x)=x2lnx(x>0),此时f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1).令f(x)>0,解得所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(2)F(x)=+x-lnx=xlnx+x.由F(x)=2+lnx,得F(x)在(0,e-2)上单调递减,在(e-2,+)上单调递增.所以F(x)F(e-2)=-e-2.(3)f(x)=2(x-a)lnx+=(2xlnx+x-a),令g(x)=2xl

9、nx+x-a,则g(x)=3+2lnx,所以函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以当a0时,因为函数f(x)无极值点,当a>0时, 即函数g(x)在(0,+)上存在零点,记为x0,由函数f(x)无极值点,易知x=a为方程f(x)=0的重根,所以2alna+a-a=0,即2alna=0,a=1.当0<a<1时,x0<1且x0a,函数f(x)的极值点为a和x0;当a>1时,x0>1且x0a,函数f(x)的极值点为a和x0;当a=1时,x0=1,此时函数f(x)无极值.(20分钟40分)1.(5分)已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大

10、值点坐标为(b,c),则ad等于()A.2B.1C.-1D.-2【解析】选A.因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc,又(b,c)为函数y=3x-x3的极大值点,所以c=3b-b3,且0=3-3b2,所以或所以ad=2.2.(5分)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于()A.B.C.D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x(0,2)时,f(x)=-a,令f(x)=0得x=,又a>,所以0<<2.当0<x<时,f(x)>0

11、,f(x)在上单调递增;当x>时,f(x)<0,f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f=ln-a·=-1,解得a=1.3.(5分)(2016·菏泽模拟)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b为实数,且a>1)在区间上的最大值为1,最小值为-1,则a=,b=.【解析】因为f(x)=3x2-3ax=3x(x-a),令f(x)=0,解得:x1=0,x2=a.因为a>1,所以当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f(x)+0-f(x)-1-a+b极大值b1-a+b由题意得b=1.f(-1)=-,f(1)=2

12、-,f(-1)<f(1),所以-=-1,所以a=.答案:14.(12分)(2016·聊城模拟)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程.(2)求f(x)在区间(t>0)上的最小值.【解析】(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.又g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g(1)=4e,所以切线方程为:y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=lnx+1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况

13、如表:xf(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增当t时,在区间上f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tlnt.当0<t<时,在区间上f(x)为减函数,在区间上f(x)为增函数,所以f(x)min=f=-.5.(13分)f(x)=x2-x+a+1+alnx.(1)a=-1时,求f(x)的最小值.(2)f(x)有两个极值点x1,x2且x1<x2.证明:f(x1)-f(x2)<.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=x2-x-lnx,定义域为(0,+),f(x)=2x-1-=,当x(0,1)时,f(x)<0,f(x)为减函数,当x(1,+)时,f(x)&

14、gt;0,f(x)为增函数,当x=1时,f(x)有最小值f(1)=0.(2)方法一:f(x)=,由题意设2x2-x+a=0的两个正根为x1,x2,=1-8a>0且a>0即0<a<,0<x1<<x2<,x1+x2=,x1x2=,f(x1)-f(x2)=-x1+a+1+alnx1-(-x2+a+1+alnx2)=x2-+(x2-2).要证:f(x1)-f(x2)<,只需证:(x2-2)<-x2=,只需证:x2<,只需证:ln<,只需证:ln<()令F(x)=ln(x-1)-x,易证:F (x)<0即ln(x-1)<x,令x=,则有()式成立,证毕.方法二:f(x)=,f(x)有两个极值点x1,x2,2x2-x+a=0有两个正