近十份大学微积分下期末试题汇总含答案

1、浙江大学2007-2008学年春季学期微积分n»课程期末考试试卷、填空题(每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)1 .点M (1,-1,2)到平面x 2y2z10的距离d =.r rr r rr2 .已知 a2, b3, a b 3,贝(Jab.3 .设 f(u,v)可微，z f (xy, yx),则 dz=.4 .设f(x)在0 ,1上连续，且f(x) > 0 , a与b为常数.D x,y 0 x 1,0 y 1 ,则 af(x) bf(y)d =. d f(x) f(y)2xs1 x21/x x2 ( C ) dx f (x, y)dy( D ) dx f (x, y

2、)dy 0000 2x5 .设f(x,y)为连续函数，交换二次积分次序°dx° f (x, y)dy _二、选择题(每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内)6 .直线1i：人口二我与直线l2: x y 6的夹角为1212y z 3(A )- .(B).(C)I7 .设f(x,y)为连续函数，极坐标系中的二次积分2 d f (r cos ,r sin )rdr可以写成直角坐标中的二次积分为 001 Jy y211 y2(A)0dy 0 f (x, y)dx ( B 0dy 0 f (x, y)dxx, 0 x8 .

3、设f(x)2 S(x)为f(x)的以2为周期的余弦级数，则S( 3)122 2x,- x 12(A) - .( B)1 .(C)3.( D)-.2244xy.(x, v) (0.0).9 .设 f (x, y)辰y4则 f(x,y)在点 O(0,0)处0,(x,V) (0,0),(A)偏导数存在，函数不连续(B)偏导数不存在，函数连续(C)偏导数存在，函数连续(D)偏导数不存在，函数不连续三、解答题C 2 c 22 c10 .(本题满分10分)求曲线L:2x 3y Z9在其上点M (1，1, 2)z 3x y处的切线方程与法平面方程.11 .(本题满分10分)设F可微，z是由F( x y, y

4、 z,z x) 0确定的可微函数，并设F2F3，求-z .x y12 .(本题满分10分)设D是由曲线y x3与直线y x围成的两块有界 闭区域的并集，求ex2 sin(x y)d .D 22213 .(本题满分10分)求空间曲线L： x 9y 2z 0上的点到xOy平面的距 x 3y 3z 5离最大值与最小值14 .(本题满分10分)设平面区域D= (x,y) 0 x 1,0 y 1，计算二重积分x2 y2 1 d .15 .（本题满分5分）设当y>0时u（x,y）可微，且已知du(x,y) ( 2 y 2 xy2)dx (2 x 2 x2 y 2y)dy . 求 u(x, y).x

5、yx y浙江大学2007 2008学年春季学期微积分II »课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分，共25分）1. d 12412.3cvv rv-v_vv- V2V2 vv, L2. abJ(a b) (a b)|a| b2abv496 V19.3. dzf1 yxy 2I a b dD2x2 2x01 1 y0dx 0 f x，y dy 1dy 1 =f x，ydx011 y111 y1dy 1 1 y f x，y dx0 dy 1 1 y f二、选择题（每小题5分，共20分）l 1的方向向量1，2,1 , l 2的方向向量 1，1,2 ,f2 yx lnydxf1 xy i

6、n xf2xyx 1 dy4. Iaf x bf y , dd f x f yaf y bf x , dd f yf x5.x, y dx.cos1，2,11，1,23 1.6.6627 .选(D).积分区域D x，y x2y2 x，y 0 ,化成直角坐标后故知选(D).8 .选(C).S( 2s( 2) s(1)t(fg0)吗 0)为1).9 .选(A).fx 0,0 lim00 0，fy 0,00,偏导数存在.x 0 x取 y kx , lim f x，kxx 0lxm0随k而异，所以不连续.三、解答题（1014每题10分，15题5分，共55分）10 .由L,视x为自变量，有以x,y,z

7、1, 1,2代入并解出dy,生，得dxdxdy 5 dzdx 4, dx所以切线方程为z 2 T8法平面方程为0,即 8x 10y7z1212.zFxxFzF1F3FyF1F2F3F2F2F3,F2F3F2D在第一象限中的一块记为D, D在第三象限中的一块记为2x2sin x yd e dDiD2X2e d sin x yd sin xDiD2所以,原式 e 2.13.用拉格朗日乘数法，设Fx, y,z,222 o 2z x 9y 2zx 3y 3z 5 ,L上的点到平面xoy的距离为|z,它的最大值点，最小值点与 z2的一致,求偏导数，并令其为零有:F x F z2z 4x 3y解之得两组解

8、0,0,3z 5x,y,z 118 y0,9y2 2z 0 ,1(1,-,1)；3x,y,z 2 (5, 5,5).所以当3x 1, y ,时，z 13题序一二三四五六七总分得分评卷人考生姓名:学号:专业:填空题（每小题5分，满分30分）最小；当x 5, y 5时,z 5最大.14.将分成如图的两块,1d1x2Di1的圆记为42y d +D215.由dux, y(_22x yxy2)dx从而知x,y,x arctan 一y12 2x2y22D,另一块记为D又由y 2y)dy ,有-u x2xy ，推知xy1 (-)2y2y，所以，u x, y,xarctan 一 yC.注：若用凑的办法亦可:所

9、以，u x, y,x arctan y12 2 x y2y2浙江大学20062007学年春季学期微积分口 »课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间:年 月日所需时间：120分钟1.直线x y z3在平面2x y 2z 5 0上的投影直线方程为 2362.数量场 g (x, y, z)yex z2在P(1, J3, 0)点的梯度为U函数 f(x, y,z) ln(xJy2 z2）在P点沿U的方向导数为3.f (x, u), u（3x, x 2y）, f,具有二阶连续偏导数，则4.5.6.( x, y) | 1 x 1, x3y已知曲面xyz21与椭球面x2-y-3

10、,公共切平面方程为设函数f （x）x,1an 2 0 f (x)cosnx dx,（满分10分）求直线2z2x y z1（满分10分）计算 dx0221,贝U (x xy ex y )dxdyD21在第一卦限内相切，则切点坐标为 9S(x)0,1,2,1222y2o e dy.a0an cosn x2 n 1绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程四、（满分15分）已知z z（x, y）由方程yz3 xez 10确定，试求2z2x五、2 x（满分15分）设平面 ：x y 1, d （x, y, z）为曲线x2 z T01-上的点（x, y, z）到平面 的距离，求d （x, y, z）的最大，最小值.

11、六、（满分15分）如图是一块密度为（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R的半圆直一个矩形，矩形的另一边为 h）,已知平面图形的形心位于原点2.薄板绕x轴旋转的转动惯量.(0, 0). 试求：1.径上拼上长度h;（满分5分）求证：当t 1, s 0时，成立不等式 ts tint t es.参考解答:3x2x4y zy 2z2. , 3e, e, 0,3.2 f12(312( 2)2)2f2(31222)；4.2-;35.-i", 1, v'3 , V3x ,33 0;6.二.直线:t, yt, z四.五.曲面上点P(x, y,z)则旋转曲面方程:1dx0z(Ql)直线上点(x

12、0, y0, z0), y01x0,Zo1x02(1x)2-2y2e dy1, y102 dy14y22y2dx12e02y2(14y2)dy3z2 xzxe0,13e一 、1 d(x, y, z) 2 |x y1|最小距离:d(J3，W，-23)d(_L 2)3 , 3)”J63六.形心:0, xxdxdyDxdxdy0dx hRRxdyRrcosr dr七.设F(t,s)t In t tests,F(1, 0) 0且对固定的t 1,lnt, Fs(t,s)0,当s lnt, Fs(t,s) 0,所以,s ln t取得最小值且为0,则 F(t,s) 0,即f (x1、已知y、22y,-) x

13、 yx,则 f (x, y)2、已知，则01x 2e xdxe(1 p)xdx0(A) p 1(B) p4x 2_22， xf (x,y)xy7 数0, x是因为该函数(b(A)在原点无定义(B)无定义(D)在原点二重极限/c ).在原点有二重极限，但2 23、函数Mx，£ xxy y y e dx与1 xlnp 1x均收敛，则常数p的取值范围是( (C)1 p 2(D) py2 0y2 0在原点间断，).在原点二重极限不存在(C)E，但不等于函数值在点取得极值.4、已知 f (x，y) x (x arctan y)arctan y ，则 fx(1,0) 3x5、以y (C1 C2x

14、)e (C1，C2为任意常数)为通解的微分方程是11小x2 y2 dxdy 128、若x2 y2 1,31 x2 y2dxdy222 x2 y2 4则下列关系式成立的是(a).(A) I1 I2 I3 (B) I2 I1 I3 (C)I 1 I 2 I3(D)3x9、方程y 6y 9y 5(x 1)e具有特解(d ).(A) y ax b (B)y (ax b)e3x(C)/23xy (ax bx)e(D)32、_ 3xy (ax bx )e_ 2n _an( 1) an10、设n1 收敛，则n 1( d ).(A)绝对收敛(B)条件收敛(C) 发散 (D) 不定一、填空题(每小题3分，共15

15、分)x2(1 y)_1 21、1 y . 2、1 3、( 3,3). 4、1. 5、y" 6y' y 0.3 3211、求由y x , x 4, y 0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.解：y x的函数为4y3dy80)0(3分)(422y")2dy16 (82y3,y 。且x 4时，y8。于是（6分）12、2lim 2xx 02求二重极限y °，x2_yy2 1 1解:limx 0原式 y 0(x2y2)( x2 y2 1 1)13、1285127(3lim( . x2x 0y 0y2 11)(6z z(x,y)由 zxy确定，求解：设 F（x，y，z）

16、y,FzFyFzy1 ezFyFzx r-ezy1ez(1 ez)211ez(1ze xyez)214、用拉格朗日乘数法求1在条件x解：z(1x)2 12x22x4xx0,得11dy15、计算2xeydx3 7 7y分）(3(61下的极值.12为极小值点.(3128分）分）（一,1）一1x下的极小值点为2 2，极小值为2 （6分）7面0)I解：ydy y2exy.3ydx -e8(66、计算二重积分(x2D2、y ）dxdy，其中d是由y轴及圆周x2y1所围成的在第一象限内的区域.解:22(x y )dxdyD1 3r dr0(6分）17、解微分方程y解：令p y,yp，方程化为x,于是ex

17、(xx1)eCi(x 1)Gex(3y pdx(x1) Gexdx2(x1)2Ciex C2(6分)（n318、判别级数n 1.n3 1）的敛散性.n3 1,n3 1解：,n3(3分）因为19、解:20、limn一 n、nlim n.n3 1,n3 1将函数3 x展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间.由于1那么3 x13n3 ,已知1 nQn 1 xn 0 3(3分)3x3(6某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告分.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用x1（万元）的及报纸广告费用为（万元）之间的关系有如下的 经验公式：22R 15 14x1 32x2 8x1x2 2x

18、1 10x2求最优广告策略解：公司利润为X2 15 13xi2231x2 8x1x2 2x1 10x2Lxi令Lx213318x2 4x18x1 20x20,Q即4x1 8x28x1 20x213,31,得驻点3 5(x1,x2)(4,4)(0.75,1.25),而(3ALx1x14 0 B Lg 8 CLx2x220D AC B2 80 64 0 ,所以最优广告策略为：四、电台广告费用0.75（万元），报纸广告费用证明题（每小题5分，共10分）1.25(万元).(621、设z1ln(x31y3z x- ），证明：x证:22、证:1、2、3、4、1 x3 xx31 , y33yx31y32Un

19、由于0 (Un并由题设知(Un从而n 1f(x设已（2）2Vn1都收敛，则n(Un1Vn)2收敛.2Vn)2Un n 1Vn2unVn2(u2 v2)(32Vn1都收敛，则n 1_222(Un Vn)收敛,Vn）2收敛。(6y,y) x、 C 2设函数f(x,y) 2x，则 f （ x，y）5(-)2 =2 cax xy 2 y 在点(1,1）取得极值，则常数已知 f(x, y) x y(x 4 arctan y),则 fx(1,0)x3x5、以yC1eC2e （C1，C2为任意常数）为通解的微分方程是e dX e pxdx. -p6、已知0 与1 xln x均收敛,则常数p的取值范围是（）.

20、(A) p 0(B) p 0(C) p 1(D)0 p 1227、对于函数 f（x，y） x y ,点（0，0）（）.（A）不是驻点（B）是驻点而非极值点2Il (x y) d8、已知 d().(A) I1 I2(B)（C）是极大值点 （D）是极小值I2 (x y)3d22d，其中 d 为(x 2) (y 1)1,则11 I 2(C)11 I 2(D)11 I 22x .一9、方程y 5y 6y xe具有特解（）.(A) y ax b (B)y (ax b)e2x(C) y(ax2 bx)e2x(D)/ 3(ax,2 2xbx )e（1）n2n%an10、级数n 1收敛，则级数n 1（）.（A

21、）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散 （D）敛散性不定311、求y x,y 0, x 2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积12、求二重极限网(xsin y 0 y1 y sin-) xz arctan士13、设1 xy,求 x14、用拉格朗日乘数法求f（x,y） xy在满足条件x y 1下的极值.15、计算1dx010 xexydy16、计算二重积分： x2 y2dxdy22，其中D是由y轴及圆周x （y 1）1所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程xy18、n!判别级数n1的敛散性.19、f（x） 将函数x展开成（x 3）的幕级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60

22、元，若生产x单位甲22、产品，生产y单位乙产品的总费用为20x 30y 0.1（2x2xy 3y）100,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润21、设 u ln . x22z，证明22uu22xy2 u2z22、a2b2若n 1 与n 1都收敛，则n 1anbn收敛.（可能会有错误大家一定要自己核对） 一、填空题（每小题3分，共15分）1、设 z x y f(x y)，且当 y 0时，z x2,则 z 022(x 2xy 2y y)dx12、计算广义积分1 /=o (2)3、设 z exy,则 d'。o (e(dx dy)2 x22x4、微分方程y 5y 6y xe具有

23、形式的特解.(ax bx)e),11、run4Un 1。（1）5、设 n 1 ，则 n 1 22 二、选择题（每小题3分，共15分）1、-223sin(x y ) lim x 0x2y2y 0的值为D.不存在2、fx（x。，y。）和fy（x0，y。）存在是函数f（x，y）在点（沏，y。）可微的（aA.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件;C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面z22寸4 x y和z220及柱面x y1所围的体积是(D2dA. 02or .4 r dr0 ；B.4 02 d.4 r2dr0 ；2dC、0.4 r2 dr0 ；D.4 2d04、设二阶常系数非

24、齐次线性方程pyqyf（x）有三个特解yixy2e ，y32x e，则其通解为（C）。A.xC1 e2xC?eB.C1xC2exC3e2x ；C.Ci(e2xX、e ) C2(x e )；D.Ci(e2xe )2 x 、C2 (ex)5、无穷级数(D)A、收敛 B、绝对收敛 C 、发散、无法判断三、计算题（每小题6分，共60分）xylim0 -1、求下列极限：；0 Jxy n 1p1 n （p为任意实数） 1。1M一limxy(-xy 1 1)（3分）解：y °° xy 1 1 x 0 (xy D 1lim( . xy 1 1) 1 1y 0分）2、求由解：Vxy队与直线x

25、 1、x ：（、,x）2dx4、y 0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。(4分）7.5(6分)3、求由ez xyz所确定的隐函数zz z(x,yq偏导数x解：方程两边对x求导得:z zzz yze yz xy x ' x,有 x exyzx(z 1)（3分）方程两边对y求导得:z xz xy z xzy,有yxyzy(z 1)（6分）一 、324、求函数 f(x,y) x 4x2xy2y的极值。3, 2-解：f (x, y) x 4x 2xyfx(x, y) 3x28x2y,fy(x, y) 2x 2yfxx(x,y) 6x8,fxy(x, y) 2fyy(x, y) 2,求驻点，解方

26、程组3x22x8x 2y 0,2y 0，得(0,0)和(2,2).（2分）对(0,0)有 fxx(0,0)8 0fxy(0,0)2 fyy(0,0)（4分）于是B2 AC 12 0,所以（0，0）是函数的极大值点，且f（0，0）)对(2,2)有 fxx(2,2)4, fxy(2,2) 2, fyy(2,2)2 于是B2 AC 12 0, （2,2）不是函数的极值点。-d6、计算积分d x ，其中D是由直线y x,y 2x及x 1,x 2所围成的闭区域;4解：d x2dxi2x-dy x(4分）29xdx 一14(6分)7、已知连续函数xf(x)满足 0 f dt 2xf(x) x,且 fd)

27、0,求 f(x)0解：关系式两端关于x求导得: /、1-、f(x) 2f(x) 2xf (x) 1 即 X 元(X12x（2分）这是关于f （x）的一阶线性微分方程，其通解为:1 c(x c) 1 二 x' x（5分）又 f（1） 0,即 cf(x)1 0,故c 1,所以（6分）y8、求解微分方程2 y21 y =0 o解：令yp,则dpp ；一、八，dy ,于是原方程可化为:dpp - dy（3分）dp 即dy,其通解为p Ge.Ady1y G(y 1)2（5分）dy G(y i)2 dx-dy2 c1dx 即(y 1)故原方程通解为:分）1 L.Gx c2(x 2)n9、求级数n

28、1赤的收敛区间。解：令tx 2,募级数变形为tnn 1 3 nRtlim nanan 1（3分）分）st那么（1）1时，级数为n 01断收敛;11时，级数为口1沛发散.tn13 n的收敛区间是It 1,1）(x 2)nn 1标的收敛区间为Ix 1,3）10、判定级数n 1sin（2n x）n!是否收敛，如果是收敛级数,件收敛。解：因为分）（6分）指出其是绝对收敛还是条sin(2n x)n!工n!(2lim n由比值判别法知n1n!收敛（Q1(n 1)!1n!),(4分）从而由比较判别法知n1分）sin(2n!四、证明题（每小题5分，共10分）x)收敛,所以级数sin(2n x)1 n! 绝对收

29、敛.(61、设正项级数n1un unun 1收敛，证明级数n 1也收敛。、十unun 1证：1, 2(unun 1 )分）而由已知1 2(unun 1） 一收敛，故由比较原则,Junun1也收敛。分）z2、设y f(x2证明：因为 x(2分)分）2、y），其中f（u）为可导函数，证明2xyfff 2y2ff21 z 2yf f 2y2fyf21yfz2 y(4（5分）、填空题（每小题3分，共15分）1、设 z x y f (yx），且当x0时,22x 2xy 2x y2、计算广义积分dx2 x。（1）3、设z 1n(1x2y2),则 dz(1,2)1 一 dx(32一 dy 33x4、微分方程

30、y 6y 9y 5（x 1）e具有形式的特解.（ax3,2 3xbx )e )3n 15、级数n 1 9 n的和为5(8)A、0 B 、3 C 、2 D、不存在二、选择题（每小题3分，共15分）-223sin(x y )lim 1、的值为x 0x2p _、. 5、无穷级数n1 n （ P为任意实数）y2y 02、fx（x, 6和fy（x,y）在（x0,y"存在且连续是函数f（x, y）在点（x0,y"可微的A.必要非充分的条件;B.充分非必要的条件;C.充分且必要的条件;D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面z4 x2 y2和z220及柱面x y4所围的体积是2A. 0r

31、.4 r2dr0B.02dr，4 r2dr0 ；2C、002.4 r2drD.02do'4 r2dr4、设二阶常系数非齐次微分方程pyqyf（x）有三个特解y1X2y2ex2xy3e,则其通解为（D）C1(ex e2x)C2 (e2xx2)；C1x2C2exC3e2x ；2x2xxCeC?e .CKexe2x) C2(x2xe )(A)A、无法判断 B 、绝对收敛C收敛D 、发散三、计算题（每小题6分，共60分）.2 ,xy 4 lim1、求下列极限：；0 xy（3分）lim2 xy 4解0 xy黑0x5 (xyxy*)（6分）iilim xy 02 xy 42 22、求由在区间0,-

32、 t. 一 I x2上，曲线y s1nx与直线0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。解：Vx3访2xdx（4分）分）3、求由zexyz xy所确定的隐函数zz（x, y）的偏导数解：（一）令 F（x,y,z）ze xyz xyyzxz xF ez xy利用公式,yzze xyyz yz e xy（3分）xz xz e xyxz xz e xy（6分）（二）在方程两边同时对 x求导，得解出（4分）z yz y同理解出Vxz xz e xy（6分）4、求函数f（x，y）33x 12xy 8y的极值。33解：f(x,y) x 1(2x y)d解：D 21191(2y1和d5xy 8y ,则fx(x,

33、y) 3x2212yfy(x, y) 24y 12xfxx(x,y) 6xfxy(x,y)12fyy(x, y) 48y,求驻点，解方程组23x2 12y 0,一 .224y12x 0,得(0,0)和(2,1).（2分）对(0,0)有 fxx(0,0)0fxy(0,0)12 fyy(0,0)0（4分）对(2,1)有 fxx(2,1)12fxy(2,1)12fyy(2,1) 482于是B AC1441212所以函数在MG点取得极小值，f(2,1) 23128 138（6分）于是B2 AC 144 0 ,所以（0,0）点不是函数的极值点.（5分）(2xy)d6、计算二重积分，其中D是由1x, yx

34、及y 2所围成的闭区域;（4分）ydy ”2x y)dxy（6分）7、已知连续函数xf(x)满足 0f(t)dt 2f(x)x °,求 f(x)0解：关系式两端关于x求导得:（2分）f (x) 1f (x)1f(x) 2f (x) i 0即() 2 ( )2这是关于f （x）的一阶线性微分方程，其通解为:x xx（5分）e 2 (e2 c) i ce 2x（6分）又 f（°）。，即 01 c,故c 1 ,所以 f（x） 12、8、求微分方程（i x）y 2xy 0的通解。解 这是一个不明显含有未知函数 y的方程作变换令dy pdx,2.d y dp2,则dx dx ,于是原

35、方程降阶为-2、dp(1 x )2 px 0dx（3分）dp分离变量p-2x2 dx1 x ,积分得ln p ln(1 x2)In Ci_2p Ci(1 x )dy2dx Ci(1 x)（5分）再积分一次得原方程的通解（6分）3 x Ci(x ) C 3n（x 3）9、求级数n 1 7n的收敛区间。解：令ttnx 3,募级数变形为n i Vnlimn（3分）i时，级数为no（i）n2n收敛;i1时，级数为niU：发散.tniJn的收敛区间是It i,i）,分）(x 3)n那么n 1 忑 的收敛区间为 卜2,4）（6分）10、判定级数n 1cos（n x）n!是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝

36、对收敛还是条件收敛:解：因为cos(n x)n!(2分）limn由比值判别法知n i n!收敛（Q1(n 1)!1n!),(4分）从而由比较判别法知n1cos(n x)n!收敛,所以级数cos(n x)i n!绝对收敛.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）2an1、设级数n 1 收敛，证明n*n 0)也收敛。证:由于I an I 12二1 2(an分）2an1n2都收敛,122 (an为收敛，由比较原则知ann收敛.o（5分）z2、设2cos2(x -)2 ,证明:2z-0x t 0证明：因为2 2cos(x ；)sin(xt 12) ( 2) sin(2x t)（2分）cos(2xt)

37、22zz2cos(2x t)2 t xt（4分）(5分)中南民族大学06、07微积分（下）试卷及06年砥评 分阅卷 人2y,则 f(x，y)y2f (x y,2) x1、已知x2、已知，则1x 2e xdx03、函数 f(x，y) x2 xy2y y 1在点取得极值.4、已知 f（x，y）、选择题（每小题3分，共15分）评 分阅卷 人(1 p)xde dx7知0 e x与1 x1npi均收敛,则常数p的取值范围是（).(A) p 1(B)p 1(C)1 p 2(D) p 2f (x, y)8数4x22x y0,2 x2 x2 y2 y00在原点间断,是因为该函数().(A)在原点无定义(B)在

38、原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限，但无定义(D)在原点二重极限存在，但不等于函数值I18、若3 1 x2 y2dxdy 1213 1 x2 y2dxdy1 x2 y2 2).(A) y ax b (B)3xy (ax b)e23x(C) y (ax bx)e (D)/ 3(ax,2 3xbx )e1331 x2 y2dxdy).2 x2 y2 4，则下列关系式成立的是(A) I1 I2 I3(B)(C) I1 I2 I3(D)3x9、方程y 6y 9y 5(x 1)e具有特解(_ 2n _an( 1) an10、设n 1 收敛，则n 1().(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (

39、D)不定三、计算题(每小题6分，共60分)x 4,y 0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积评阅人lim22x y22-y 1 1zi dy22z x yy2eydxxy确定，求1在条件x y 1下的极值.y2)dxdy22,其中D是由y轴及圆周x y1所围成的在第一象16、计算二重积分x.n3 1)(x2D18、判别级数n 1的敛散性.19、将函数3 x展开成x的幕级数,并求展开式成立的区间20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x1（万元）的及报纸广告费用 经验公式：x2（万元）之间的关系有如下的求最优广告策略.R 15 14x13

40、2x28x1x22x1210x2四、证明题（每小题5分，共10分）评 分1y3)2Vn22、若n 1 与n 1者瞰敛，则n 1(Unvn)2收敛.答案一、填空题（每小题3分，共15分）x2（1 y）1、1y. 2、1 3、(1 2)3,3). 4、1.y" 6y' y 0二、选择题（每小题3分，共15分）6、（C ）. 7、（B）. 8、（A ） . 9、（D）. 10 、（D）.三、计算题（每小题6分，共60分）11、32求由y x , x0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.解:3yx2的反函数为2y3，y 0。且x4时，y8。于是12、lim x 0求二重极限y 0 2

41、x-2 x2_yy2 1 1解:limx 0原式 y 0(x2y2)( x2 y21 1)1(313、网(x2y oy2 11)(6分）z z(x,y)由 zxy确定，求解：设 F（x，y，z）Fxy,FyFzFxFzy1 ezFyFz_x_1 ezxze (3 分)y1 ez(1 ez)211 ezze xy(1z、2 e )(6分)14、用拉格朗日乘数法求1在条件x1下的极值.解：z(1x)2 12x22x4x0,得12为极小值点.(3 分)（,）x下的极小值点为2 2，极小值为2 （6分）11dy15、计算2xeydxI 解：1dy2y2eydx-e22(6分）,22、，（x y ）dxdy2216、计算二重积分d，其中d是由y轴及圆周x y 1所围成的在第一象限内的区域.22.(6分)解：d(X y)dXdy=：d Yd” 17、解微分方程y y x.解：令p y,y p，方程化为p p x,于是xx _ xe (x 1)eCi(x 1) Ge(3分)v1