微专题：构造函数法解选填压轴题

1、微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，许多方面尤其涉及函数题目,关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中,采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式,并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果,设计解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。 这方面问题。几种导数的常见构造：怎样合理的构造函数 就是问题的关键， 这里我们来一起探讨一下若遇到f x ax2.对于3.对于f'(x)f(x)4.对于f'(x)f(x)或 f '(x)f (x) 0,构造 h(

2、x)f(x)xe5.对于xf' x0,构造xf x6.对于xf' x0,构造14、构造函数法比较大小f (x)的图象关于y轴对称,且当 x (,0), f (x)xf '(x)0成立，0.20.2、a 2 gf(2 ),log3gf (log 3) , c log3 9gf(log3 9),贝Ua,b,c的大小关系是Aa b cB.aC.c b aDb a c【解析】因为函数f(x)关于y轴对称，所以函数yxf (x)为奇函数.因为xf(x)Tf(x)xf '(x),所以当x,0)时，xf (x)' f (x) xf '(x)0,函数yxf(x)

3、单调递减,当 x (0,)时，函数y xf(x)单调递减.因为120.22, 0 1og 31,1og3 9 2,所以0 1og 320.21og39,所以 bC,选 D.变式:已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x0,1.1.2f(2),b2f(2)，c1 ,一ln- f (ln 2),则下列关于a,b,c的大小关系正确的是( 2AaB.a c bC.c b aDb a c例2.已知f (x)为R上的可导函数，且x R,均有f (x) f (x),则有2016 -A. e f ( 2016)f(0), f (2016)20162016e f(0) B. e f( 2

4、016)f(0), f (2016) e2016 f (0)C. e2016 f ( 2016)f(0), f (2016)2016e f(0) D. e2016 f ( 2016)f(0), f (2016) e2016 f (0)【解析】构造函数g(x)f-(xx)，则 g (x) ex xf (x)e (e ) f (x)/ x、2(e )f (x) f(x)xe因为 x R,均有f(x)f (x),并且 ex故函数g(x)f(x)xe在R上单调递减,所以 g( 2016) g(0),g(2016)g(0),即f(然)f(0) f 吃 f(0)20161 (U) ,2016(U),ee也

5、就是 e2016 f ( 2016)f(0) , f(2016)e2016f (0),故选 D.变式：已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且 f (x) f '(x)对于任意x R恒成立，e为自然对数的底数，则(C )A.f(1) e f(0)、f (2016) e2016 f(0)B.f (1) e f(0)、f (2016)e2016 f (0)C.f (1) e f(0)、f (2016) e2016 f (0) D.f (1) e f (0)、f (2016) e2016 f (0) n 1.、例3.在数列an中，(an) n 1,(n N ),则数列an中的最大项为().

6、A. J2B. 3/3C. 5/5D,不存在【解析】由已知a172,a2V3,a34/4V2, a4 旗易得a a2,a2 a3 a4 猜想当n 2时，an是递减数列又由n 1ln(n 1)ann 1 知 ln an -n 1ln x 令f (x),xf (x)1 .-x ln xx1 ln x22xx当 x 3时，ln x 1,则 1 ln x0,即 f (x) 0f(x)在3,内为单调递减函数,n 2时，lnan是递减数列，即 是递减数列an中的最大项为a2 v3故选B.练习1 .已知函数yf (x)对任意的x (,)满足f (x)cos x f (x)sin x 0 ,则(A. f(0)

7、 f B. f(0) 2f( J) C. <2f(7) f(-) D. V2f( -) f( R提示：构造函数g(x) f® ,选D.cosx二、构造函数法解包成立问题例1.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式 xf (x) f(x) 0恒成立，对任意正数 a、b,若a b,则必有()A. af(b) bf (a) B. bf(a) af (b) C. af (a) bf (b) D. bf (b) af (a)【解析】由已知xf (x) f (x) 0，构造函数F(x) xf(x),则F (x) xf (x) f (x) 0,从而F(x)在R上为增函数。a b . F(a

8、) F(b)即 af(a) bf (b),故选 C。例2.已知f(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足xf (x) f(x)w0,对任意正数a、b,若a b,则必有()A . af(b) bf(a) B. bf(a) af(b) C. af(a) bf(b) D. bf(b) af (a) '【解析】F(x) fix), F (x) x (x) 2(x) 0 ,故 F(x) f(x)在(0, +°°)上是减函数， xxx由 a b,有 f f (b),即 af (b) bf (a)。故选 A。 a b变式1.设f (x)、g(x)是R上的可导函数，f &

9、#39;(x)、g'(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足a x b时，有(C )A.f (x)g(b) f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x) f(b)g(b)D.f(x)g(x)f (b)g(a)变式2.设函数f (x), g(x)在a,b上均可导，且f(x) g (x)，则当 a x b 时，有(C )A. f (x) g(x)B. f(x)g(x)C. f(x) g(a) g(x) f (a)D f(x) g(b)g(x)f(b)例3.设函数f (x)在R上的导函数为f (x),且 2f(x)xf (x)x2 ,下面不等式恒成立的是()

10、A. f (x) 0B. f(x)C. f(x)D. f (x) x【解析】由已知，首先令x 0得 f(x) 0,排除B, D.f'(x)g(x) f (x)g'(x) 0,则当令 g(x) x2f(x),则 g(x) x 2 f (x) xf (x),当 x 0时，有 2f (x) xf (x) g(S xg(x)和函数y 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)， xg (x) 0,x所以函数g(x)单调递增，所以当x 0时,g(x) g(0) 0,从而 f(x) 0. 当 x 0时，有 2f (x) xf (x) g(-x) x2 xg (x) 0,所以函数g(x)单调递减

11、，所以当x 0时,g(x) g(0) 0,从而 f(x) 0.综上f (x) 0 .故选A.例4.如果(x，x2 1)(y Jy2 1) 1，那么下面的不等式恒成立的是()A. x y 0 B. x y 0 C. xy 0 D.xy0【解析】构造函数 f(x) lg(x 收 1) (x R),易证f(x)在R上是奇函数且单调递增(xf(x)x21)(y,y21) 1f (y)ig(xx21) + ig(y, y21)=lg(x . x2 1) (yy2 1)=lg1 = 0f(x)f(y)即:f(x) f( y)又f(x)是增函数1练习1.已知x3(logL0.5)x31y)3(log 1 0

12、.5) y,则实数3x,y的关系是(D )A. x y 0B. x yC.x y 0 d. x【解析】构造函数1f(x) x3x(log 3 2) , f(x)是增函数，又f(x) f( y), x y0 ,故选D.练习2.已知函数y f(x)是R上的可导函数，当 x 0时，有F(x)1 .xf(x)一的零点个x数是(B )A.0B.1C. 2D.31【斛析】由F(x) xf (x)得xf (x) x1一,构造函数g(x) xf (x), x则 g (x) f (x) xf (x)，;当 x 0时，有 f (x)上(x) x0,，当x 0时,xf (x)xf(x)即当x 0时，g(x) f(x

13、) xf(x) 0,此时函数g(x)单调递增，此时g(x)g(0) 0,作出函数可知函数g(0) 0，由图象当x 0时，g(x) f(x) xf (x) 0,此时函数g(x)单调递减，此时g(x)三、构造函数法解不等式例1.函数f(x)的定义域为R, f(1)=2,对任意xC R, f (x) 2,则f(x)>2x+ 4的解集为()A. (-1,1) B. (-1, +8)C. ( 8, 1) D. ( 8, +OO )【解析】构造函数 G(x) = f(x)2x 4,所以G(x) f (x) 2,由于对任意xCR, f (x) 2, 所以G(x) f (x) 2>0恒成立，所以

14、G(x) = f(x)-2x-4是R上的增函数，又由于 G(-1) = f(- 1)-2X (-1)-4=0,所以 G(x) = f(x)-2x- 4>0,即f(x)>2x+4的解集为(1, +8),故选B.1 x1变式1.已知函数f (x)(x R)满足f (1) 1 ,且f'(x)-,则f(x)的解集为()2 2 2A. x 1 x 1 B. xx 1 C. xx1 或x【解析】构造新函数F(x) f(x)(-),则F(1) 2 21 一 r -F'(x) f '(x),对任意 x R,有 F'(x) 2x所以F(x) 0的解集为(1,)，即f(

15、x)-2变式2.定义在R上的函数f (x),其导函数f (x)满足1 D. xx 1,11f(1) (-)110， 2 2.1 一 - f '(x) 0,即函数F(x)在R上单调递减， 21 ,的解集为(1,)，选D.2f (x) 1 ,且f 23,则关于x的不等式f x的解集为(,2)变式3.已知函数f(x)为定义在 R上的可导函数，且f(x)f '(x)对于任意x R恒成立，且 f(1)与< 1的解集为(,1) e变式4.函数f(x)的定义域是R, f (0)2 ,对任意x R, f (x)集为(A )A. xx 0 B. xx 0 C. xx -1 或x 1 D.f

16、 (x) 1 ,则不等式 ex f (x) exxx1或 0 x 11的解例2设f (x)是定义在R上的奇函数，且f (2)0 时，有xf(x)2 f(x)x0恒成立，则不等式2x f(x) 0的解集是xf (x) f (x)f (x)解：因为当x>0时，有 一y 0恒成立，即'< 0恒成立, xx所以工在(0,)内单调递减.x因为f(2) 0,所以在(0, 2)内恒有f (x) 0 ;在(2,)内恒有 f (x) 0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以在(，2)内恒有f (x) 0 ；在(2,0)内恒有 f(x) 0.又不等式x2f(x) 0的解集，即不等式f(x)

17、 0的解集.所以答案为(，2)U (0, 2).变式1.已知定义在(,0)上的可导函数，其导函数为f (x),且有2f(x)xf (x) x2,则不等式(x 2014)2f(x2014) 4f( 2) 0的解集为(A(, 2012)B.(2012,0) C. (2016)D.(2016,0)变式2.函数f(x)的定义域为R, f( 2) 2016,对任意R,都有f(x)2x成立，则不等式_2f (x) x2 2012的解集为(C )A. ( 2,2)B. ( 2,)C. (, 2) D.变式3.设yf(x)是定义在R上的函数，其导函数为(x),若f(x)(x)1, f(0)2017，则不等式f

18、(x)ex 2016ex的解集为(D )A. (2016,)B. (,0)(2016,) C.(,0)(0,D.(0,变式4.函数f(x)是定义在R上的偶函数，f( 2) 0,且x 0时,f(x)xf(x)0,则不等式xf (x)0的解集是2,02,)(提示：构造的g(x) xf(x)为奇函数,f (0)0)例 4设 f(x)、g(x)是 R上的可导函数，f '(x)g(x) f (x)g'(x) 0, g(3) 0 ,则不等式f(x)g(x)解集为(3,)变式1.设f(x)、g(x)分别是定义在 R上的奇函数、偶函数，当 x 0时，f'(x)g(x)f (x)g

19、9;(x)g( 3) 0,则不等式 f(x)g(x) 0 的解集为 _(, 3) (0,3)变式2.已知R上的函数f(x)、g(x)满足上区 ax g(x)，且 f '(x)g(x) f (x)g'(x)，若用g(1)f( 1)g( 1) .(0.1)于x的不等式log a x 1的解集为一 2变式3.设奇函数f (x)定义在(，0)(0,)上,其导函数为f (x),且f0,时,f x sinx f x cosx 0,则关于x的不等式fx 2 f sinx的解集为_( 6一,0)6f (x)(提小：构造的 g(x)工为偶函数)sin x四、构造函数法求值1例1.设f (x)是R

20、上的可导函数，且f'(x) f(x), f(0) 1, f(2) 二.则f(1)的值为 e提示：由f'(x)f(x)得 f'(x) f(x) 0,所以 exf'(x) exf(x) 0,即exf(x)'0,设函数 F(x) exf(x),则此时有 1 F(2)F(0) 1,1故 F(x) exf (x) 1, f (1) e变式.已知f (x)的导函数为f '(x),当x0时,2f (x)xf'(x),且 f(1) 1,若存在 x R,使 f (x) x2 ,则x的值为 1(提示：构造g(x)f (x) V例2.已知定义在R上的函数f(x

21、)、g(x)满足1 ax,且f'(x)g(x) f(x)g'(x), g(x)f f( 1)5 ,若有穷数列f(n) (n N*)的前n项和等于31,则n等于 5g(1) g( 1)2g(n)32f (x),f (x)g( x) f(x)g (x) c解：f '(x)g(x) f (x)g'(x),， ” ' Q ' 0,g(x)g (x)f (x) 一即函数ax单调递减，.0vav 1,又g(x)f(1) f( 1)g(1) g( 1)rr 15. 一 1.即a 1.解得a 或a=2a22(舍去).3 (»即血(与,g(x) 2 g(

22、n) 2.11数列( -)n是首项为 现 一，公比221 n1 n Sn 1 (1)n ,由 Sn1 (1)n221,q 一的等比数歹U,231,解得n=5。32变式1.已知f(x), g(x)都是定义在R上的函数,g(x) 。, f (x) g(x) f(x)g (x),且 f (x) axg(x)变式2 .已知f (x)、f(1)g(1) f( 1)g( 1)(a 0,且a 1)。f1) 上()勺，若数列 上® 的前n项和大于62,则n的最小值为(A ) g(1) g( 1)2g(n)A 8 B 7 C 6 D 5g(x)都是定义在 R 上的函数，f '(x)g(x) f(x)g'(x) 0, f(x)g(x) ax ,5.在区间3,0上随机取一个数 x, f(x)g(x)的值介于4到8之间的概率是(2B.解：由题意，f'(x)g(x) f(x)g'(x) 0 , . f (x)g(x) ,<0,函数f (x)g(x)在R上是减函数,f (x)g(x) ax，.二