分数、百分数应用题初步.doc

1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了!学而思讲义编写组学习了今天的知识,你就可以在课后解第十一讲分数、百分数应用题初步教学说明：在课本上此章节应为小学六年级上半学期内容，也是整个小学的重难点，但各各学校的进度 不一，有部分学校已经讲解过，在我们奥数的学习进度中也必须提前有所了解，所以教师在讲解时侧重于 基础知识的理解应用提高，同时兼顾本班孩子的进度，进行适当补充，为我们以后的工程问题、经济浓度 等问题打好基础！我们将“列方程解应用题”放在此讲之前，意在让学生多一种解决分数、百分数应用题 的方法，增加他们的信心，但主体仍以算术方法为主，碰到个别例题教师可讲述方

2、程思 路.古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年.再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一.再过了五年，他幸福地得到了一个儿子.可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半.儿 子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”.你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？怎么样？你能根据大数学家丢番图的叙述找到答案么？呵呵! 决这个“数学趣题” 了！好了，让我们开始今天的学习吧！学而思教育07年春季班讲义五年级竞赛班第H一讲教师版 Page 15 of 10在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题:（1）如何求一

3、个数的几分之几（或百分之几）？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到.例如：5的24%是多少？ 解答：5X 24%=1.2 .（2）如何求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到.例如：2是3的几分之几？ 解答：2 3 2 4 8 .3 43 4 3 3 9（3）已知一个数的几分之几（或百分之几），如何求这个数？已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几.223例如： 一个数的2等于18,那么这个数等于多少？解答：18工18 - 27 .332分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我

4、们往往把其中的一个量看作是标准量.也称为：单位“1”，例如a是b的几分之几，就把数 b看作单位“1”.在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要,否则容易出错误.而百分数应用题中所涉及的百分数，只是分母是100的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系类型I :单位“1”不变【例1】（1）（首师附入学测试题）（难度系数：）小强看一本书，每天看 15页，4天后加快进度，2又看了全书的 一，还剩下30页，这本故事书有多少页？5（2）（数学趣题）（难度系数：）古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年.再活十二

5、分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一.再过 了五年，他幸福地得到了一个儿子.可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半.儿子死后，老人在悲痛 中活了四年，也结束了尘世的生涯”.你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？分析：在讲解此题之前可先给学生巩固一下概念，可参看附加1. （1）教师可先讲解下题：小强看一本故11事书，每天看20页，5天后还剩下全书的 g没看，这本故事书有多少页？分析：（20 5） （1 -） 125（页）.回到原题：4天看了 15X4=60（页），而60+30=90页占全书的：1-2=9，这本故事书有：90+V=150（页）.5 551

6、11111（2）活的岁数：（5 4） （1 一 一一 一） 84（岁），结婚年龄：84 （一 一） 21 （岁）.6 12 7 26 12【例2】（奥数网习题库）（难度系数：）好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的 20%,1第二天卖出了剩下的 1,第二天比第一天多卖出 40个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？21.分析：好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作1 , 40 - （1 20%） 20%200 （个）【例3】（奥数网习题库）（难度系数：）奥数网 派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数1学邀请赛”，其中女选手占1.正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为

7、参赛选手总42数白.正式参赛的女选手有 多少名？11分析：抓住男选手人数不变求解.把总人数视为“ 1”，男选手人数是 60X（1-3）=45（人），男选手人数4占正式参赛选手总数的1-,正式参赛选手总数是45+（1- ）=55（人），正式参赛的女选手人数是101111人.【例4】（小数报数学竞赛初赛）（难度系数：）甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的3 ,乙买一件衬衫花去了人民币 16元.这9样两人身上所剩的钱正好一样多.问甲、乙两人原先各带了多少钱？4 5分析：把甲所带的钱视为单位1 ,那么甲原来带了 （86 16） （ 2）

8、 45 （元），乙原来带了 419 9元.【例5】（北大附中入学测试题）（难度系数：）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子.第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的-,把这三堆5棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几？分析：不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，（即将第一堆黑子与第二堆白子互换），第二堆黑子是全部棋子的1 ,同时，又是黑子的1- 2 .所以黑子占全部 棋子的1 +（1-）=-,白子占全部棋子的353591-5=4.9 9【例6】（奥数网习题库）（难度系数：）六年级上学年男、女生共有300人，这一学年男生，1增加4%,女生增加一，共

9、增加了 13人。这一学年六年级男、女生各有多少人？20分析：此题中由于男、女生增加的分率不同，所以我们用假设法来解答。假设这一学年六年级男、女生人数都增加4%,那么增加的人数应为300X4%=12（人），这与实际增加的13人相差13-12=1（人）。相差1 1一，、一 1人的原因是把女生增加 的一看成4%计算了，即少算了原女生人数的 4%=1%,也就是说这1人正20201好相当于上学年女生人数的1%,可求出上学年女生的人数：（13-300 M%）十4%）=100（人），男生人201数：200人，这学年女生的人数：100X（1 +，）=105（人），这学年男生的人数：200X（1+4% ）=20

10、8（人）.20【例7】（奥数网习题库）（难度系数：）如图（1）,线段MN各长方形纸分成面积相等的两部 分。沿MN各这张长方形纸又折后得到图2,将图2沿对称轴对折，得到图 3,已知图3所覆盖的面积占长3 方形纸面积的 一，阴影部分面积为 6平方厘米.长方形的面积是多少？10（1）分析：如图3所示，阴影部分是 2层，空白部分是4层，如果将阴影部分缩小一半，即变为 3平方厘米，那么阴影部分也变成 4层，此时覆盖座面的面积占长方形纸片面积的1 ,即缩小的3平方厘米相当于长方4形纸片面积的（ -1）,所以长方形纸片面积为 60平方厘米.10 4【例8】（迎春杯决赛）（难度系数：）海淀图书城内九章数学书店

11、对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价 90%收款.某学校到书店购买甲、乙两种书.其中乙种书的册数是甲种3书册数的3,只有甲种书得到了 90%的优惠，这时，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付总钱数的25倍.已知乙种书每本定价是1. 5元，那么优惠前甲种书每本原价是多少元？分析：设甲种书每本原价 x元，购买甲种书a本.依题意得：aX90% =2 ° a 1.5 ,即9aX=18a,故x=2.5【例9】（小学数学奥林匹克初赛）（难度系数：）把100个人分成四队，一队人数是二队人数的l 1倍，一队人数是三队人数的11倍，那么四队有多少个人 ？34分析：设一队的人数是“ 1”

12、.那么二队人数是：1+11=3,三队的人数是：1 + 11=4 , 1+旦+4=立！，3 44 54 5 20一.51因此，一、二、三队之和是：一队人数X，因为人数是整数，一队人数一定是20的整数倍，而三个队20的人数之和是51X（某一整数），因为这是100以内的数，这个整数只能是 1 .所以三个队共有 51人，其 中一、二、三队各有 20, 15, 16人.而四队有：100 51=49（人）.类型R：单位“1”变化, , 2 一 ， 4 .【例10】（数学奥林匹克决赛）（难度系数：）某校有学生465人，其中女生的 士比男生的 上少3520人，那么男生比女生少 多少人？分析：在讲解词部分之前教

13、师可先讲解下例，让学生体会变化的单位“1”：（迎春杯决赛）（难度系数： 1、* 一，）一路铁水凝成铁块，其体积缩小了 ,那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了34133几分之几？分析：设铁水的体积为1,则铁块为1-2=；3 .现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1,33 34341则铁水的体积就为l +3=三，故体积增加了：（34 1）1 ，.34 333333回到原题：女生的2比男生的4少20人；-=- , 20+2=30,所以女生比男生的 9少30人.男生3535 635人数是（465+30） +（1+ 6）=225（人）.女生人数是 465 225=240（人）.男生比女

14、生少 240225=15（人）.5【例11（奥数网习题库）（难度系数：）王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，1 1王先生的年龄是另外三人年龄和的1,李先生的年龄是另外三人年龄和的1,赵先生的年龄是其他三人年2 31龄和的1,杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗 ？4分析：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少。而题目中出现了三个 另外三人”所包含的对象并不同，即三个单位1”是不同的，这就是我们所说的单位”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位1”。题中四个人的年龄总和是不变的，如果我们以四个人的年龄总和为单位1”,11则单位1”就统一了。那么王先生的年龄就是四人

15、年龄和的 ,李先生的年龄就是四人年龄和的1 2 311 ，11 , 1,赵先生的年龄就是四人年龄和的。（这些过程就是所谓的转化单位1”。）则杨先生的1 3 41 4 511113_111年龄就是四人年龄和的1 。由此便可求出四人的年龄和：261 3 4 5601 21 3 1 41 = 120 （岁），王先生的年龄为：120X-=40（岁）.在解答分数、百分数应用题时，经常会出现单位1”不统3一的情况，这时，就要采取转化的方法，先统一单位1”，而且要保证量率大小不变，再按照量率对应关系来解答.【例12（奥数网习题库）（难度系数：） A有若干本书，B借走一半加一本，剩下的书， C借走一半加两本，

16、再剩下的书，D借走一半加3本，最后A还有2本书，问A原有多少本书.1-分析：教师克先讲解下题：（华杯赛口试）（难度系数：） 一根木杆，第一次截去了全长的一，第二2 1一 1 1次截去所剩木杆的-,第三次截去所剩木杆的-,第四次截去所剩木杆的-,这时量得所剩木杆长为6345厘米.问：木杆原来的长是多少厘米？分析：法1：设木杆原长为1,第一次截后所剩为原长的-;第二次截后所剩为 1x（1 一）=）；第三次2233截后所剩为1 x （1 1）= 1 ；第四次截后所剩为 1x（1 - -）=1,即原长的1等于6厘米，由部分求整 34445551体得：木杆原长 =6 + _ =6 X 5=30（厘米）.

17、5法2:倒推法！注意单位“ 1”的不断变化.此法方便学生解答出类似例14的题目.回到原题：用倒推法解.1 1C借走后还剩下（2 3） 10 （本），B借走后剩下（10 2） 24 （本）， 22，1A原有书为(24 1)- 50.2附加题目【附1】（奥数网习题库）（难度系数：）六年级男生有 的几分之几？ （ 2）男生人数比女生人数多百分之几？（ 比男生少的人数是全班人数的百分之几？50人，女生有40人，（1）女生人数是男生人数3）女生人数比男生人数少百分之几？ （4）女生分析：此题四个问题都是求一个数是另一个数的百分之几，解答的关键是找准单位“1”，要注意帮助学生找一些典型字眼如：“的”、“占

18、”、“是”、“比一”等.（1） 男生人数为单位“ 1 ”，40+ 50=4/5 ;（2） 女生人数为单位“ 1”，（50-40） + 40=25%;（3） 男生人数为单位“ 1”，（50-40 ） + 50=20%;（4） 全班人数为单位 “ 1”，（50-40） + （ 50+40）11.1% .【巩固】一个机关精简机构后有工作人员120人，比原来工作人员少 40人，精简了百分之几？分析：“精简了百分之几” 是在说“现在比原来少的人数是原来工作人员的百分之几”单位“1”就是“原来工作人数”，40+ （ 120+40） =25%.【附2】（迎春杯刊赛）（难度系数：）村里种了新瓜，男女老少品尝它

19、.小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜.男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？分析：把各组人数都视为“1”，那么有：50+（1+1+1+1）=24 （人）2 3 4【附3】（小学数学奥林匹克初赛）（难度系数：）足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门票降价多少元？1114.分析：设原来收入是1.现在收入是1 + -,那么原收入有：（1 ） （1 一）一，因此每张门票降价：552515X（1- 4）=3（元）. 5【附4】（迎春杯刊赛）（难度系数：）小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃

20、球比小刚少 -;如果小刚给小莉 24个，则小刚的玻璃球比小莉少-.小莉和小刚原来共有78玻璃球多少个？分析：小莉给小刚24个时，小莉是小刚的 ,（=1 -3）,即两人球数和的 3；小刚给小莉24个时，小7711莉是两人球数和的 （=一8一），因此24+24是两人球数和的 =A.118 8 51111 11从而，和是（24+24） +汽=132（个）.11 3【附5】（奥数网习题库）（难度系数：）菜园里西红柿获得丰收，收下全部的2时，装满3筐8还多24千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？一， ,35 一 533、，一333分析：法1： 1-3 = 5是6筐，所以总筐数就是

21、：6 5 93 （筐），收下全部的3就是9： 3 33 （筐），33筐比3筐多3筐，每筐是：24+ 3=40 （千克），共收西红柿40X 9-=384 （千克）.5555、一 33法 2： 24- (1 -) (6 3)384 (千克)881, *【附6】（祖冲之杯数学邀请赛）（难度系数：）某班了次集会，请假人数是出席人数的-,中途9 3又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么，这个班共有多少人？22, 1分析：因为总人数未变，以总人数作为“ 1” .原来请假人数占总人数的,现在请假人数占总人数的1 933六金，这个班共有：l + （白1.)=50(人).1 93 , ,一【附7

22、】（迎春杯决赛）（难度系数：）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的-,第二次运了850块，这时已运来的恰好是没运来的5 .问还有多少块蜂窝煤没有运来？7分析：运完第一次后，还剩下 5没运，再运来50块后，已远来的恰好是没运来的 -,也就是说没运来的87占全部的2_,所以，第二次运来的50块占全部的：5 工，全部蜂窝煤有：50 1200 （块），128 122424没运来的有：1200 700 （块）.121 . （1）甲、乙、丙三人共储蓄 387元，甲比乙多存13元，丙是乙的75%甲、乙、丙三人各存了多少元?（2）甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱

23、，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：甲应收回多少钱？（以角为单位）分析：（1）注意找关键字眼，确定单位“1”，把乙当作单位“ 1”，则（387-13） + （ 1 + 1+75% ） =136元,甲存了 149元，丙存了 102元.（2）每人应付8个面包的钱，丙拿出的40角就是8个面包的钱，所以一个面包的价格应为：40 - 15333（角），甲多付的钱为：（5 8） 15 35 （角），所以甲应收回35角.32 .小强看一本故事书，第一天看了全书的1还多21页，第二天看了8.，、一 1 , 全书的一少6页，还剩172页，这本故事书一共有多少页？611 一分析：如右图，（172 6

24、21） （1 - -） 264（页）.8 6，一 一，13 .六年级选出男生的 彳和12名女生参加数学竞赛.剩下的男生人数是女生的2倍.已知六年级共有学生156人，其中男生有多少人 ？15分析：把男生视为单位1 ,未参加比赛的女生是：（1 ） 2 , 156-12=144 （人）是男生和剩下11115的女生，所以男生有144 （1 ） 99 （人）.11 ，一 44 .学校阅览室里有 36名学生在看书，其中女生占4,后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看99书人数的.9.问后来又有几名女生来看书 ？194分析：把总人数视为“ 1”，紧抓住男生人数不变进行解答.男生人数是36 (1 4) 20,后来阅览室的总99 .人数是20 (1 ) 38 ,后来有38-36=2名女生进来.19、一 .-3. 一 ,.一5 . (1)某校男生比女生多 3,女生比男生少几分之几？7(2)某工厂二月份比元月份增产 10%,三月份比二月份减产 10% .问三月份比元月份增产了还是减产了?分析：(1)男生比女生多 W,则男生有1+3 = 1°