绝对值与相反数(提高)知识讲解

1、绝对值与相反数(提高)责编：杜少波 【学习目标】1 .借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2 .知道间 的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3 .会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4 .通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用. 【要点梳理】要点一、相反数1 .定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数.特别地，0的相反数是0.要点诠释：(1) “只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.(2) “0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.(3)相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.(4)求一个数的

2、相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2 .性质：(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).(2)互为相反数的两数和为 0. 要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正， 如-(-4)=4;若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4.要点诠释：(1)在一个数的前面添上一个“ + ”，仍然与原数相同，如+5=5, + ( 5) = 5.(2)在一个数的前面添上一个“”，就成为原数的相反数.如(3)就是3的相反数，因此，一(-3) =3. 要点三、绝对值 1.定义：在数轴上，一个数所对应

3、的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如 +2的绝对 值等于2,记作|+2|=2 ; -3的绝对值等于3,记作|-3|=3 . 要点诠释：(1)绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即对于任何有理数 a都有：a(a 0)|a | =0(a = 0)a (a<0)(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距 离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.(3) 一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2.性质：(1) 0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数.(2)互为相反数的两个数(

4、0除外)的绝对值相等.(3)绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点四、有理数的大小比较1 .数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如:上的位置如图所示，则 avb.i_2 .法则比较法：口两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0:正数大于0负数与0:负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值；(2的大小：(3)判定两数的大小.3 . 作差法：设a、b为任意数，若 a-b >0,则a>b;若a-b = 0,则

5、a=b; vb;反之成立.a ,a4 .求商法：设a、b为任思正数，右 一a1,则ab；右一=1,则a = b； bba cb；反之也成立.若 a、b为任意负数，则与上述结论相反.5 .倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、相反数的概念1,若m与n互为相反数，则|m+n - 2|=.【答案】2【解析】 根据互为相反数的两个数的性质，可知m + n=0,代入上式可得： 2|=2 .【总结升华】 若m,n互为相反数，则 m + n = 0或m = -n.举一反三：【变式】若|x - 2|与(y+3) 2互为相反数，则x+y=.【答案】-1. |x - 2|与(y+

6、3) 2互为相反数,.|x 2|+ (y+3) 2=0, ,.x- 2=0, y+3=0,解得 x=2, y=- 3,a与b在数轴Ib)比较绝对值若 a-b < 0, a若与< 1,则b|m+n 2|=|0,-x+y=2+ ( 3) = - 1.故答案为：-1.类型二、多重符号的化简"2 .化简下列各数._(_6)；(%)；-_(+6)；_(与)；_(_6)【答案】6;-6;6;-6 ;6【解析】一(一6)表示-6的相反数，所以(-6)=6;_(份)表示+6的相反数，所以-(+6) = -6 ;_(46)前面共有2个“-”号，为偶数个，而“ +”可以省略，所以-(+6)=

7、6;«_(46)中共有3个“-”号，即奇数个，而“ +”可以省略，所以«_(+6) =-6;YT(-6)中共有4个“-”号，即偶数个，而“+”可以省略，所以-(-6) =6【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负号.若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.类型三、绝对值的概念Os.如果 |x| =6, |y| =4,且 xvy.试求 x、y 的值.【思路点拨】6和-6的绝对值都等于 6, 4和-4的绝对值都等于4,所以要注意分类讨论.【答案与解析】因为|x| =6,所以x=6或x=-6;因为|y| =4,所以y = 4或y=-4

8、;由于xv y,故x只能是-6 ,因此x= -6 , y = ± 4.【总结升华】 已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出 来.无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外,此题 x= -6 , y= + 4,就是 x = -6, y = 4 或 x=-6, y = -4.举一反三：【变式】如果数轴上的点 A到原点的距离是6,则点A表示的数为 .如果| x- 2 | = 1,那么x =;如果| x | >3,那么x的范围是.【答案】6或-6; 1或3; x>3或x<-3类型四、比较大小4Hf 4,比

9、较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5| ; (2)-(+3)与 0; (3) 4 与3 ； (4)五与|3.14| 54【思路点拨】 先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两 个正数还是两个负数”，然后比较.【答案与解析】(1)化简彳导:-(-5) =5, -|-5| =-5.因为正数大于一切负数，所以 -(-5) >-|-5| .(2)化简彳导:-(+3) =-3.因为负数小于零，所以-(+3) <0.化简得：33一， 二44这是两个负数比较大小，”，且16>15.所以/<_3 2020 2054|-兀 | =兀,|-3.14|=

10、(4)化简彳导：-|-3.14= -3.14 ,这是两个负数比较大小，因为3.14 ,而 兀 >3.14 ,所以-兀 V-|-3.14|【总结升华】 在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行： 先求两个负数的绝对值， 再比 较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断.类型五、含有字母的绝对值的化简5. (2016 春?都匀市校级月考)若-1VXV4,则 |x+1| - |x - 4|=.【思路点拨】 根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身 a;当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a,可得|x+1|=x+1 , |x - 4|= - x+

11、4,然后再合并同类项即可.【答案】2x- 3.【解析】解：原式 =x+1 ( x+4),=x+1+x 4,=2x- 3.【总结升华】 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出 x+1, x-4 的正负性.举一反三：【变式】已知有理数a, b, c在数轴上对应的点的位置如图所示：c*b.* 4 V>>-W -2-102化简：| + |2n+31 忖-8【答案】由图所示，可得(：.3a-c>0, 2a+b。, c-b40,3a-c-2ab-c-b = (3"0 + (2白+8)一一(”划= %-c + (2a+b) + (c-3) =3a-c+2a+b+

12、c-b = 5a-原式二 5a.类型六、绝对值非负性的应用.已知a、b为有理数，且满足:-12a+l|+|2-i卜，则【答案与解析】由12a+lR0 , 12T|N0, 12u+1| + |2-可=0 ,f +1 = 0a - -可得；.；92T =。, Jib-2J【总结升华】 由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为 0,需要这两个数都为0.几个非负数的和为 0,则每一个数均为 0.举一反三：【变式】已知b为正整数,且a、b满足| 2白一4 |十6=1 ,求/的值.f 2ti - 4 = 0 1n= 2所以，ab_2 a - 4【答案】 由题意得i.，j = 1 j = i类型七、绝对值的实际应用C 7.一只可爱的小虫从点。出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数， 向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5,-3, +10,-8,-6, +12,-10,在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻？【思路点拨】总路程应该为小