必修五不等式与不等关系

1、不等关系与不等式学习目标：1.了解不等式的性质（重点）.2.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系（难点）.自主预习探新知1 .不等符号与不等关系的表示：（1）不等符号有;（2）不等关系用 来表小.2 .不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于思考：不等式ab和a& b有怎样的含义?3 .比较两实数a, b大小的依据如果那么 如果a<a那么 如果二6=0,那与结论;确定任意两个实数如6的尢小关系.只需确定 的无尔森4.不等式的性质名称式子表达性质i（对称性）a>b? b<a性质2（传递性）a>b, b>c? a>

2、;c性质3（可加性）a>b? a+c>b+c推论a+b>c? a>cb性质4（可乘性）a>b, c>0? ac>bca>b, c<0? ac<bc性质5（不等式同向可加性）a>b, c>d? a+ c>b+d性质6(不等式同向正数口乘性)a>b>0, c>d>0? ac>bd性质7(乘力性)a>b>0? an>bn(n N, n> 1)性质8(开方性)a>b>0? na>nb(n N, n>2)思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些

3、？(1)a>b 且 c>d 则 a c>b d.(2)a>b 贝U ac>bc.(3)a>b>0 且 c>d>0 贝4>b.(4)a>b>0 贝U an>bn.c d(5)a>b贝氏烹提示对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，(1)中例如5>3且4>1时，则5-4>3-1是错的，故 错.5 3 一(2)中当c< 0时，不成立.(3)中例如5>3且4>1,则5>3是错的，故(3)错.(4)中对n00均不成立，例如a = 3, b = 2, n=1,则3T>

4、;2- .此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系.2.当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可.3.用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、显然错，故(4)错.(5)因为4>0,所以a kb马，故(5)正确.因此正确的结论有(5). c ， c c基础自测1 .思考辨析(1)不等式x>2的含义是指x不小于2.()若a<b或a= b之中有一个正确，则 a< b正确.()若 a>b,则 ac>

5、bc一定成立.()(4)若 a+c>b+d,则 a>b, c>d.()提示：(1)正确.不等式x>2表示乂>2或乂= 2,即x不小于2.(2)正确.不等式a& b表示a<b或a= b.故若a<b或a= b中有一个正确，则a&b 一定正确.错误.由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向 不变，因此若a>b,则ac>bc不一定成立.(4)错误.取 a = 4, c=5, b = 6, d = 2.满足 a+c>b+d,但不满足 a>b.2 .大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过

6、该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()AT<40B. T>40C. T<40D. T>40C 限重就是不超过，可以直接建立不等式 T<40.3 .已知 a>b, c>d,且 cdw0,贝U()A ad>bc B. ac>bc C. a c>b dD. a+c>b+dD a, b, c, d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果 未必是同向不等式，排除C项，故选D项.4 .设 m=2a2 + 2a+1, n=(a+1)2,则 m, n 的大小关系是.m> n mn = 2a2 + 2a+1 (a+

7、1)2= a2>0.例题赏析题型一、用不等式表示不等关系例1、用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m,要求 菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的 不等关系.解由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0<x&18,30 xx这时菜园的另一条边长为302- = 15x(m).xx因此菜园面积S= x 15-x ,依题意有S> 110,即x 15-2 >110,故该题中的不等关系可用不等式表示为x _0<x< 18,x 15-2 >110. 规律方法 1不少于等.适当的设

8、未知数表示变量.（3）用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式跟踪训练1.某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不解设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则x+y<9, 5x+ 4y>30, 0<x<4, xC N, 0<y<7, y C N.x+y<9, 10X6x+6X8y>360, 0<x<4, xC N, 0<y<7, y N ,题型二、比较

9、两数(式)的大小例2、已知a, b为正实数，试比较a b 一 一6十 丁与« +般的大小.思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小.解法（作差法）关+耒-他 + Vb上关-加+关-余 弋+ /ab g vbyg（b2 yJab,ab. a, b为正实数,.,依 + 缶>0, Vab>0, (VaVb)2>0,a一如2 ya+也ab>0,当且仅当a=b时等号成立.左+j/a+yb（当且仅当a= b时取等号）.法二：（作商法）m+木_也3+也3 _+也 a+ b/ab aabb >/ab+ 机>/ab/a+fba+ b/abg一而 2+j

10、qbab；ab=1+丽装匠1,当且仅当a=b时取等号.；ab- b a,g+4b>0，；赤+诟?ja+jb（当且仅当a=b时取等方）.规律方法1 .作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：作差法比较的步骤：作差 一变形一定号一结论.（2）变形的方法：因式分解；配方；通分；对数与指数的运算 性质；分母或分子有理化；分类讨论.2 .如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大 于1,等于1,还是小于1.跟踪训练2 .已知x<1,比较x3 1与2x22x的大小.解(x3-1)-(2x2-2x) = (x-1)(x2 + x+1)-2x(x-1)= (X1)(X2x+ D=(X

11、D x-1 +3.24iy1 2 3因为 x<1,所以 x 1<o.又 x2 +4>o,所以(x1) x_2 +4<0.所以 x31<2x22x.题型三、不等式性质的应用探究问题1 .小明同学做题时进行如下变形：1 1 12<b<3, ；3<b<2，又 6<a<8, 2<7<4.b你认为正确吗？为什么?提示：不正确.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道一6<a<8.不明确a值的 一 一一，一，1 1 1,正负.故不目匕将3Vb<2与6<

12、;a<8两边分别相乘，只有两边都走正数的 同向不等式才能分别相乘.2,由6<a<8, -4<b<2,两边分别相减得2<ab<6,你认为正确吗？提示：不正确.因为同向不等式具有可加性与可乘性.但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创 造”性质.3 .你知道下面的推理、变形错在哪儿吗? 2<a b<4, 4<b a< 2.又. 2<a+b<2, a 0<a<3, -3<b<0,一3<a + b<3.这怎么与一2<a+b<2矛盾了呢

13、?提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加（相乘），这种转化不是等价变形.本题中将 2<ab<4与2<a + b<2两边相加得0<a<3,又将4<ba< 2与2<a+b<4两边相加得出一3<b<2,又将该式与0<a<3两边相加得出一3<a+b<3,多次使用 了这种转化，导致了 a+ b范围的扩大.a b例 3、已知 oa>b>0,求证：>cZb.思路探究：如何证明a<c?由c<b怎样得到ca c b<"V?解c>

14、a>b>0,ca>0, cb>0.由 a>b>0? 1<1 c>0 ? cvc, a b a bb>0 ?二>ccavcy-b c- a>0 c-b>0 a>0 a b探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件c>a>b>0” 变为 “a>b>0, c<0” 证明：然a b1证明因为a>b>0,所以ab>0, ab>0.1,111c c于zeaXab>bXab，即b>a.由 c<°，得不6 2.(变条件，变结论)将例题中的条件“

15、c>a>b>0”变为“已知一6<a<8,2<b<3"a.如何求出2a+b, a-b及弓的取值氾围.解 因为6<a<8,2<b<3,所以12<2a<16,1 1 1所以10<2a+ b<19.又因为3<b< 2,所以9<ab<6.又3<b<2,、1,r 1a(1)当 00a<8 时，0&b<4;当6<a<0 时，3<b<0.由(1)(2)得一3<a<4.规律方法1. .利用不等式的性质证明不等式注意事项(1

16、)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一 定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条 件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2. 利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质.运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d,推不出ac>bd；由 a>b,推不出 a2>b2等.准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误.当堂

17、达标周双基3. (2019年海淀区模拟)某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表 示为.【答案】x>95 y>380 z>45“不低于”即匕”，“高于”即“>”，”超过”即“>"，所以x> 95,y>380,z>45.4. (2019年厦门模拟)若1<1<0,则下列不等式：a+ b<ab;|a|>|b|; a ba<b中，正确的不等式有 个.【答案】1 由:<<0,得a<0, b<0,故a+ b<0且ab>0,所以a+ b<ab, a b即正确；由1<1<0,得1 > 1 ，两边同乘|ab|,得|b|>|a|,故错误；由知 a b a b|b|>|a|, a<0, b<0,那么 a>b,故错误.5. (2019年嘉兴期中)已知a, b均为实数，则(a+3)(a 5)® + 2)(a _4)(填“>” “<”或一).【答案】 < 因为(a + 3)(a 5) (a + 2)(a 4) = (a2 2a 15) (a2 -2a- 8) =7<0,所以(a+3