微积分综合练习题及参考答案

1、综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1.填空题1(1)函数f(x) 1的定义域是.答案：x 2且x 3.ln( x 2)(2)函数 f(x)1ln(x 2)44 x2的定义域是答案：(2, 1) ( 1,2答案：f(x) x2 3(3)函数 f(x 2) x2 4x 7 ,则 f(x)(4)若函数f (x)xsin 1, xxk, x0在x 0处连续，则k0答案：k 1答案：f(x) x2 1(5)函数 f(x 1) x2 2x,则 f(x)(6)函数y x竺”的间断点是.答案：x 1 x 1，一1，一 lim xsin .答案：1 x x(8)若 lim sn4x 2,则 k .答案：k

2、2x 0 sin kx2.单项选择题x x(1)设函数y一兄，则该函数是().2A.奇函数B.偶函数C非奇非偶函数 D .既奇又偶函数答案：B(2)下列函数中为奇函数是().x xA. xsinx B .-C . ln(x «1 x2)D . x x22答案：C(3)函数yln(x 5)的定义域为().x 4A. x 5 B.x 4 C.x5且 x 0 D . x 5且 x 4答案：D(4)设 f(x 1) x2 1,则 f(x)()A. x(x 1) B.x2C. x(x 2)答案：CD . (x 2)(x 1)(5)当 k)时，函数f (x)ex 2, x 0 人在xk, x 0

3、0处连续.A. 0 B. 1 C . 2答案：D(6)当 k)时，函数f (x)2x 1, xk, xA. 0 B. 1 C . 2答案：B函数f(x)2 x 3的间断点是(x* 2 3x 2)A. x1,x2B.x 3C. x1,x2,x3D无间断点答案：A3.计算题(Dx2 3x 2(2)x2 2x 3解:x2 9x2 2x 3lim(x 3)(x 3)x 3 (x 3)(x 1)x 363lim x 3 x 142(3)解:x2 6x 8lim 2x 4 x 5x 4lim (x 4)(x 2)x 4 (x 4)( x 1)综合练习题lim»x 4 x 12 (导数与微分部分)

4、1 .填空题(1)曲线f(x) <X 1在(1,2)点的切斜率是1答案：-2(2)曲线f(x) ex在(0,1)点的切线方程是 答案：y x 1(3)已知 f(x) x3 3x ,则 f (3)=.答案：f (x) 3x2 3xln3f (3) =27 ( 1 In 3)(4)已知 f (x) In x ,则 f (x)=答案：f (x) 1 , f (x)= 口 xx(5)若 f(x) xex,则 f (0) 答案：f (x) 2e x xe x2 .单项选择题(1)若 f(x) e xcosx，则 f (0)=().A. 2B. 1C. -1D. -2因 f (x) (e xcosx

5、) (ex)cosx e x(cosx)所以 f (0) e 0(cos0 sin 0)1答案：C(2)设 y lg2 x ,则 dy ().11ln101 .A.dx B . dx C . dx D . - dx2xxln10xx答案：B(3)设y f(x)是可微函数，则df(cos2x)().答案：CA . 2f (cos2x)dx Bf (cos2x) sin 2xd2xC . 2 f (cos2x) sin 2xdx D , f (cos2x)sin 2xd2x答案：D(4)若f(x) sinx a3,其中a是常数，则f (x)(cosxA . cosx 3a2 B . sinx 6a

6、 C . sinx D3 .计算题 i(1)设 y x2ex，求 y .1 11解：y2xex x2ex( 口)ex(2x 1)x2 2) 设 y sin 4x cos3 x ,求 y .解：y4cos4x 3cos2 x( sin x)(3)设 y ex1 2,求y . x解：yex-71刍2Jx 1 x(4)设 y xjx In cosx，求 y .3 113：解：y x2 ( sin x) x2 tan x2 cosx2综合练习题3 (导数应用部分)1 .填空题(1)函数y 3(x 1)2的单调增加区间是 .答案：(1,)(2)函数f(x) ax2 1在区间(0,)内单调增加，则a应满足

7、答案：a 02 .单项选择题(1)函数y (x 1)2在区间(2,2)是()A.单调增加B .单调减少C.先增后减D .先减后增答案：D(2)满足方程f (x) 0的点一定是函数y f(x)| ().A.极值点B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C(3)下列结论中()不正确.A . f(x)在x xo处连续，则一定在xo处可微.B . f (x)在x xo处不连续，则一定在xo处不可导.C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.答案：B(4)下列函数在指定区间(，)上单调增加的是().A . sinx B .exC答案：B3.应用题(以几何应用为主)(

8、1)欲做一个底为正方形，容积为解：设底边的边长为xm,高为hm5. x2 D . 3 x所以22108y x 4xh x 4x 2x2432x x108m的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 容器的表面积为ymt怎样做法所用材料最省即容 器如何设计可使表面积最小。由已知432一、2x 432 0 ,解得唯一驻点x 6x因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x 6是函数的极小值点也是最小值点。故当x 6m, h 108 3 m时用料最省.62(2)用钢板焊接一个容积为4m3底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/ m2, 焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用

9、是多少？解：设水箱的底边长为x m,高为h m,表面积为S m2,且有h 42 x所以 S(x) x2 4xh x2 , x令 S(x) 0,得 x 2.因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当 x 2 m , h 1 m时水箱的表面积 最小.此时的费用为 S(2) 10 40 160 (元)(3)欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为hm所用材料(容器的表面积)为 ym2。由已知22，322128y x 4xh x 4x 2 x xx4是函数的极小值点也是最小值点令y 2x 128 0,解得唯一驻点x 4。 x因为本问题存在

10、最小值，且函数的驻点唯一，所以x32故当x 4m, h与2 m时用料最省.4请结合作业和复习指导中的题目进行复习O综合练习题4 (一元函数积分部分)1.填空题(1)若f(x)的一个原函数为ln x2 ,则f(x) .x(2)若 f (x)dx sin2x c,贝 f(x)答案：2 cos2x(3)若 cosxdx 答案：sinx c2(4) de .2答案：ex c(5) (sin x) dx .答案：sinx c(6)若 f (x)dx F (x) c,贝U f (2x 3)dx 1答案：1F(2x 3) c2(7)若 f (x)dx F (x) c,贝U xf (1 x2)dx 一、1c答

11、案：1F(1 x2) c21 2(8) (sinxcos2x x答案：23d e 2(9) 一 ln(x 1)dx dx 1一答案：0,、0 2x(10) e dx =.1答案：122.单项选择题(1)下列等式成立的是(A. d f (x)dx f (x)C. f (x)dx f (x) dx答案：Cx)dx .).B. f (x)dx f (x)D. df(x) f (x)(2)以下等式成立的是(.1、_A. In xdx d(-)BxC. dx d/xD、x答案：D(3) xf (x)dx ()A. xf (x) f (x) c B.C. -x2f (x) c D.2答案：A(4)下列定积

12、分中积分值为sin xdx d(cosx)3xdxd3xIn 3xf (x) c(x 1)f (x) c0的是().i ex e xA.e-e-dxB1 2 x x1 e e , dx12C.(x3 cosx)dxD(x2 sin x)dx答案：A(5)设f(x)是连续的奇函数,则定积分af (x)dx-a0A. 0B.f(x)dx C-aa0 f(x)dxD.02 f(x)dx-a答案：A(6)下列无穷积分收敛的是().A.0sinxdxB.3 dxxC.11dx xD.2x .e dx答案：D3.计算题(1)(2x 1)10dx解:(2x 1)10dx1 (2x21)10d(2x1111)

13、 22(2x 1) c(2)解:.1 sin 一x2x.1 sin x2xdxdxsin-d1 x x1 cosx2 e xd . x2e xx e (3)e dxxln 20 ex(42)dx解:ln2ex(40ex)2dxln 2(4ex)2d(4ex)1(43In 201 -(216 3125)130 3(5)解:e1 5ln x dx1 xe1 (1 5ln x)d(1, 、1 、5ln x) (1 5lnx) 1017(36 1)102(6)解:1 xxe dx01xexdx0xe1exdx0e1 5ln x , dx1 x2xsin xdx0解:02xsin xdxxcosx(202cosxdxsin x 2 10综合练习题5 (积分应用部分)已知曲线y填空题f(x)在任意点x处切线的斜率为且曲线过(4,5),则该曲线的方程x答案：y 2、x 1a(2)由止积分的几何息义知，Va x dx =0-(4)微分方程y 3y 0的通解为答案：y3x ce(5)微分方程(y )3 4xy(4) y7 sin x的阶数为2 .单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4 )的曲线为(A. y = x2 + 3C. y x2 2下列微分方程中，（）是线性微分方程.2 xy y xy e.y sin x