必修4三角函数知识点归纳总结

1、三角函数【知识网络】应用k Z90o kg360 k Z180o kg360 k Z270o kg360 k Z o _360 kg360 k Z90o的角90o kg360 k Z小于90o的角：90o一、任意角的概念与弧度制1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角 逆时针旋转为 正角，顺时针旋转为 负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为kg360 k Zx轴上角：kg80o k Zy 轴上角：90o kgl80o3、第一象限角：|0 kg360第二象限角：90o kg360第三象限角：|l80o kg360第四象限角：270o kg3604、区分第一象限角、锐角以及小于第一

2、象限角：10 kg360锐角：090o5、若 为第二象限角，那么 一为第几象限角?22k 2k 0, 42k2，1,所以一在第一、三象限26、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：1 0.01745180180157.3057 18角度030456090o120135150180360弧度0643223345628、角度与弧度对应表：9、弧长与面积计算公式弧长：l一 _ 112 、 入,R；面积：S -l R - R2,注意：这里的均为弧度制22二、任意角的三角函数1、正弦：sin ；余弦cos -；正切tan rr其中x, y为角 终边上

3、任意点坐标，r &y2 .度0o30o45o60o90o120o135o150o180270360o弧度02353264323462sin012亚2出21332巨212010cos1恩2亚212012V22近2101tan0而31出无百1在30无02、三角函数值对应表:3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 .（简记为“全s t c”）第一象限:sin?0,cos?0,tan?0,.x0,y第四象限:.x.x.x0,y0,y0,ysin?sin?sin?0,cos?0,cos?0,cos?0,tan?0,tan?0,tan?0,0,0,.22/sin cos 14、三

4、角函数线 设任意角A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向的顶点在原点O ,始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 P(x, y),过P作x轴的垂线，垂足为 M ;过点 延长线交于点T./1TM0AxM0Ax(m)P T (w)由四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OMx,MPsintanx OMMP AT AT AT .OM OA我们就分别称有向线段 MP,OM , AT为正弦线、余弦线、5、同角三角函数基本关系式tansintan gcot 1cos2(sincos)12sincos2(sincos)12sincos(sin cos , sincos , sin ?c

5、os ,三式之间可以互相表示 ）6、诱导公式n口诀：奇变偶不变，符号看象限（所谓奇偶指的是 vnn（ 1）2 sin , n为偶数nsin（） n 1; cos（一nii 1（1） 2 cos , n为奇数中整数n的奇偶性，把 看作锐角）n(1)2 co s , nM禺数n 1(1)2 sin ,n为奇数.公式（一）：与 2k , k Zsin（ 2k ） sin ； cos（ .公式（二）：与sin sin ； cos .公式（三）： 与sinsin ； cos .公式（四）：与sinsin ； cos2k ) cos ； tan( 2k ) tancos ； tan tancos ； ta

6、ntancos ； tantan22.公式sin 一 2cos ; cos 2sin.公式（六）：与一2sin cos ; cos - sin 22.3sin 3cos ; cos 一.公式（八）sin33sin cos ; cos 22三、三角函数的图像与性质个单位长度，得到函数1、将函数 y sin x的图象上所有的点，向左（右）平移y sin x 的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到一 ，1原来的一倍（纵坐标不变），得到函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y Asin x 的图

7、象。2、函数y Asin x A 0,0的性质：21振幅：A;周期：T ；频率：f ；相位： x ;初相： T 23、周期函数：一般地，对于函数f x ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个x值，都满足f x T f x ,那么函数f x就叫做周期函数，T叫做该函数的周期4、(1) y Asin( x）对称轴：令 x对称中心： x k ,得xkk 一,得 x 一 2k，(,0)(k Z)； y Acos( x）对称轴：令 xk 一 k 一对称中心： x k 一,得 x 2，（2一,0）（k Z）;2周期公式：2函数y Asin（ x ）及丫 Acos（ x ）的周期T 尸（A、为常

8、数，且AW0）.函数y A tan x的周期T （A、为常数，且Aw0）.5、三角函数的图像与性质表格北区蓼My sin xy cosxy tanx图 像i y3 X ji T 2 bi yI、3311r V 2；兀，J .o、 ; / Jc0n -、/式定 义 域RRx x k ,k Z 2值 域1,11,1R最 值当 x 2k - k Z 时， 2ymax 1 ；当 x 2k k Z 时， 2ymin1 -当x 2k k Z时，Ymax 1 ；当 x 2 kk Z 时，ymin1 .既无最大值也无最小值周 期 性22奇 偶 性奇函数偶函数奇函数单 调 性在 一 2k ,一 2k 22k Z

9、上是增函数；在2k , - 2k 22k Z上是减函数.在2k ,2k k Z上是增函数；在 2k ,2kk Z上是减函数.在 k 一 , k22k Z上是增函数.对 称 性对称中心k ,0 k Z对称轴xk k Z2对称中心k 一 ,0 k Z 2对称轴x k k Z，、 k -对称中 ,0 k Z2无对称轴. 一一36.五点法作y Asin( x )的间图，设t x ，取0、一、2 来求相应22x的值以及对应的y值再描点作图。7. y Asin( x )的的图像第一种变换：图象向左(/ 0 )或y=smx向右(夕.0)平移|个单金 横坐标伸长(0 1)到原来的 纵坐标不变y sin(x +

10、 p)1飞倍,、V = sin + (p)纵坐标伸长(AX )或缩短(。依1 )到原来的A倍必一小人3横坐标不变第一种变换；* y = ,4sin(血+夕)_ si口靠横坐标伸长(。由或缩短 1)到原来的高 华y-sin arc纵坐标不变 图象向左(尹0 )或向右(W0)平移至个单位6)* y = sili(tar+0)纵坐标伸长(AA1 )或缩矩 0Al )到原来的A倍横坐标不变y = A shi(奴+科)8.函数的变换：(1)函数的平移变换 y f (x)(左加右减)y f(x a)(a 0)将 yf (x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位 y f(x) y f (x) b(b 0)将 y

11、f (x)图像沿y轴向上(下)平移b个单位(上加下减)(2)函数的伸缩变换: y f(x) y1 .、 ，一,倍(w 1缩短，0 w y f(x) yf (wx)( w 0)将 yw 1伸长)Af (x)(A 0)将 yf(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A 1伸长，0 A 1缩短)(3)函数的对称变换: y f(x)y f ( x)将y f(x)图像绕y轴翻折180 (整体翻折)(对三角函数来说：图像关于 x轴对称)y f (x) yf(x)将y f (x)图像绕x轴翻折180 (整体翻折)(对三角函数来说：图像关于y轴对称)y f (x)

12、 y f (x)将y f (x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧(偶函数局部翻折) y f (x) yf(x)保留y f (x)在x轴上方图像,x轴下方图像绕x轴翻折上去(局部翻动)四、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:(1)sin(sin cossin cos(2)sin(sin cossin cos(3)cos(cos cossinsin(4)cos(cos cossinsin(5)tan(tantan1 tan tantan tantantan tan(6)tan(tan tan1 tan tantan tantantan tan(7) a sinbcos

13、 = a2 b2 sin()(其中，辅助角所在象限由点(a,b)所在的象限决定,sinb,cos,a2 b2,a、,a2 b2该法也叫合一变形).1 tantan(4)1 tan1 tantan(42.二倍角公式(1) sin 2a2sinacosa(2)cos2a2. 2/cos a sin a 1八.2八22sin a 2cos atan 2a(3)2 tan a-2tan a3.降哥公式:cos2 a(1)4.升哥公式cos2 a(2)sin2 a1 cos2a(1) 1 cos22 cos (2) 1 cos2sin 222(3) 1 sin(sin cos)2222(4) 1 sin

14、2 cossin2sin cos225.半角公式（符号的选择由所在的象限确定）2 a sin(1)21 cosa(2)a cos21 cosatan a 21 cosa1 cosasin a1 cosa6.万能公式：（1）sin2tan 21 cosasin a(2) cos,2tan 一 23451 tan2 一21 tan2 2（3）tan2 tan 21 tan2 一27.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式,（1）掌握运算、化简的方法技能。角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、(2)删除角的恒

15、等变形函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:asin bcosa2 b2sin( )其中 cos,sin b2b*a2 b2 ,比y如：sin x 3cosx,12 (3)2(sin x-cos x)1 .3、2(sin x cos x)222(sinxcos cosxsin) 2sin(x ) 333（3）注意“凑角”运用:例如：已知) ,sin(、3/)二，sin(、12 ，、二）二，则 cos（-） 4134(4)常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“ sin2cos2 ”(5)哥的变换：对次数较高的三角函

16、数式一般采用降哥处理，有时需要升哥例如：Ji cosa常用升塞化为有理式。(6)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。(7)结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。(8)消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法(9)思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。(10)利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sin a cosa , sinacosasin a cosa,已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。8 .函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法)：y a sin x b (或acosx b)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论y a sin x bcosx型：引进辅助角化成 y Ja2 b2sin(x )再利用有界性y a sin2 x bsin x c型：配方后求二次函数的最值，应注意 sin x 1