定积分的概念

1、定积分的 概念吴树恒吴树恒引入曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速运动的路程变速运动的路程01111( )( )3limlimnniixniiSfxfn 011( )( )limlimnniixniiSfxfnba 01115( )( )3limlimnniitniisvtvn 011( )( )limlimnniitniisvtvnba 011( )( )limlimnniixniibaSfxfAn 在前面我们通过在前面我们通过分割分割、近似代替近似代替、求和求和、取极限取极限四个步四个步骤解决了曲边梯形的面积和变速运动的路程问题，得到骤解决了曲边梯形的面积和变速运动的路程问题，得到了两个式子：

2、了两个式子：01x01t axbatb 新课讲授新课讲授定积分的概念定积分的概念如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上连续，用分点：上连续，用分点：121oiinaxxxxxxb将区间将区间a,b等分成等分成n个小区间，在每个小区间个小区间，在每个小区间 上任取上任取一点一点 ，作和式：，作和式：1,iixx(1,2, )iin11( )( )nniiiibafxfn 当当 时，上述和式无限接近某个常数，这个时，上述和式无限接近某个常数，这个常数常数叫做叫做函数函数f(x)在区间在区间a,b的的定积分定积分，记作，记作 ，即：，即：n ( )baf x dx1( )( )limnbian

3、ibaf x dxfn简单来讲，定积分就是通过分割，近似代替，求和，取极简单来讲，定积分就是通过分割，近似代替，求和，取极限后得到的限后得到的常数常数。更简单说，。更简单说，定积分就是一个常数定积分就是一个常数。思考思考：什么是定积：什么是定积分？求定积分时应分？求定积分时应注意些什么？定积注意些什么？定积分的值跟哪些因素分的值跟哪些因素有关？有关？注：注： badxxf)( badttf)( baduuf)(1( )lim( )ninibaf x dxfnba即（1）所给函数一定要是连续函数）所给函数一定要是连续函数定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫

4、做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。定积分的定义定积分的定义：1( )lim( )ninibaf x dxfnba即动动手动动手请同学们动手试试将求曲边梯形面积和变速运动的路程请同学们动手试试将求曲边梯形面积和变速运动的路程中的两个式子表示成定积分。中的两个式子表示成定积分。112001( )3Sf x dxx dx曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速运动中的路程变速运动中的路程112005( )(2)3sv t dtt

5、dt由由x=0,x=1,y=0与与f(x)=x2围成的曲边梯形的面积。围成的曲边梯形的面积。汽车以汽车以v(t)=-t2+2在在0t1时刻内行程的路程。时刻内行程的路程。动动脑动动脑iB、与、与f(x)有关，与区间有关，与区间a,b以及以及 的取法无法的取法无法iC、与、与f(x)以及以及 的取法有关，与区间的取法有关，与区间a,b无关无关iD、与、与f(x)、积分区间、积分区间a,b和和 的取法有关的取法有关A、与、与f(x)和积分区间和积分区间a,b有关，与有关，与 的取法无关的取法无关i定积分定积分 的大小（的大小（ ）( )baf x dxA思考思考阅读课本阅读课本46页，学习定积分的

6、几何意义。试用一句简单页，学习定积分的几何意义。试用一句简单的语言描述定积分的几何意义。的语言描述定积分的几何意义。定积分的几何意义定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间从几何上看，如果在区间a,b上函数连续且恒有上函数连续且恒有f(x) 0时时, , 定定积分积分 表示由曲线表示由曲线y f(x)、直线直线x a、x b与与x轴轴所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积. . ( )baf x dxOx yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 练一练练一练说说下列两个式子的几何意义。说说下列两个式子的几何意义。221x dx30(1)xdx（1）（2）（

7、3）102dxOx y1( )yf x2( )yfx探究探究ababOx y1( )yf x根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部如何用定积分表示图中阴影部分的面积分的面积?11()baSfx dx1212( )( )bbaaS S Sf xdxf xdx 2( )yfx22( )baSf x dx1212( )( )bbaaS S Sf xdxf xdx 举例说明举例说明例、利用定积分的定义，计算例、利用定积分的定义，计算 的值。的值。10 xdx解：令解：令 ( )f xx（1）分割）分割（2）近似代替）近似代替（3）求和）求和取取 ，则，则iin1( )(

8、)iiiiSSfxnn n 111( )( )nnniiiiSfxnn n 2221111 (1)11(12)222nin ninnnnn将区间将区间0,1分割成分割成n个小区间，记第个小区间，记第i i个小区间为个小区间为 ，则每个小区间的长度为，则每个小区间的长度为 。1, iinn(1,2, )in1xn （4）取极限）取极限10111limlim()222nnnxdxSn01yxxy举例说明举例说明例、利用定积分的定义，计算例、利用定积分的定义，计算 的值。的值。10 xdx01yxxy解：由定积分的几何意义可知，所求定积分即为由解：由定积分的几何意义可知，所求定积分即为由x=0,x=

9、1,y=0与与f(x)=x所围成的三角形的面积。所围成的三角形的面积。所以所以 1(1 0) 12S 1012xdx变式变式1：利用定积分的定义，计算：利用定积分的定义，计算 的值。的值。20 xdx变式变式2：利用定积分的定义，计算：利用定积分的定义，计算 的值。的值。 102dx小结小结1、定积分的概念：、定积分的概念：1( )lim( )ninibaf x dxfnba2、定积分的几何意义：、定积分的几何意义： 从几何上看，如果在区间从几何上看，如果在区间a,b上函数连续且恒有上函数连续且恒有f(x) 0时时, , 定定积分积分 表示由曲线表示由曲线y f(x)、直线直线x a、x b与

10、与x轴轴所围成的所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积. . ( )baf x dx作业作业P50 5T举例说明举例说明例、利用定积分的定义，计算例、利用定积分的定义，计算 的值。的值。130 x dx解：令解：令 3( )f xx（1）分割）分割（2）近似代替）近似代替（3）求和）求和取取 ，则，则iin31( )( )iiiiSSfxnnn 3111( )( )nnniiiiSfxnnn 322244111 111(1)(1)44niin nnnn将区间将区间0,1分割成分割成n个小区间，记第个小区间，记第i i个小区间为个小区间为 ，则每个小区间的长度为，则每个小区间的长度为 。1, iinn(1,2, )in1xn （4）取极限）取极限1320111limlim(1)44nnnx dxSn230 x dx问问：（1）变