定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子课件

1、定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子1.5 定态薛定谔方程的解 一维无限深势阱与线性谐振子本节首先讨论波函数的标准条件，然后利用（2）波函数归一化条件；（1）定态薛定谔方程；（3）波函数的标准条件； 一维无限深势阱中运动的粒子与线性谐振子的能级和波函数。最后介绍 “一维束缚定态的无简并定理”定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子 波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概率波的振幅。在数学上应满足：1.5.1 波函数的标准条件1. 单调性；2. 有限性；3. 连续性；定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子1. 单调性；2. 有限性；这是指 应该是 ，t 的单值函数。因为

2、 是t时刻在 处发现粒子的概率密度，即要求 为单值函数，但不要求 是单值函数。tx,x2, txxtx,tx,在有限的空间范围内发现粒子的概率有限有限值dtxV2,03. 连续性；定态薛定谔方程包含 对坐标的二阶导数，要求 及其对坐标的一阶导数连续。 tx,tx,定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子1.5.2 一维无限深势阱 ）（时间外）势阱内）1 . 5 . 1, 0,(0 , 0axxaxxU设质量为 的粒子在势场中运动 定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子用波函数标准条件和归一化条件求解上述势场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：1. 写出分区的定态薛定谔方程；2.

3、引入参数简化方程，得到含待定系数的解；3. 有波函数标准条件确定参数k；4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；5. 由参数k得粒子的能量E；6. 解的物理意义。定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子1. 写出分区的定态薛定谔方程；axExdd0 ,2-222axxEUxdd, 0,2-0222当势壁无限高是，不可能在势阱外发现能量有限的粒子，故阱外波函数为0 定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子势阱内定态薛定谔方程为：2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；令Ek2由此得到0 xa区间内的解： 02 xkx kxAxsin定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振

4、子3. 有波函数标准条件确定参数k；由势阱外波函数： 0 x kxAxsin kxAasin00，, 2 , 1,nank , 2 , 1,sinsinnaxnAxkxAxn得：代入，当n0的线性相关，舍去当k=0; Bxxc得由000 000BBaa得由 （舍去）00 x定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； axxaxaxnaxn, 0, 00 ,sin2 222022sin1AadxaxnAdxxan取A为实数，则则,2aA （1.5.11）定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子（1）束缚态与离散能级6. 解的物理意义。由 ax

5、xaxaxnaxn,0,00,sin2可以知道，粒子不可能达到无穷远处粒子被束缚在有限的空间区域的状态称为束缚态粒子可达到无限远处的状态称为非束缚态一般情况下束缚态的能谱为离散谱定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现 在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确定的坐标值和动量为零。在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。022221aE定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子成正比，与2nEn（3）激发态的能级能级分别不均匀。1222221naEEEnnn当量子n数很大时，能级可以看作是连续的，量子效应消失，并过渡到经典情况。0122n

6、nEEnn时，当n定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子（4）激发态的能级 axnaxnsin2 0 xn xn定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子 eExtinn- exctxtEinnnnn1，（5）薛定谔方程的解的线性组合在一维无限深势阱中粒子可能的态：定态：线性叠加态： exctxtEinnnnn1，2nc粒子处于定态的概率为：定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子1.5.3 线性谐振子 2222121xkxxU势场， 2x021-kxxdxFxU经典力学中，粒子受到弹力F=-kx作用时的势能 量子力学中把在势场 中运动的微观粒子称为线性振子 ，其势能曲线为抛

7、物线 221kxxU（1）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子讨论谐振子的意义：（2）复杂的振动可以分解为相互独立的谐振动动；（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、粒子表象和电磁场量子化。（1）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子线性谐振子的哈密顿量线性谐振子的哈密哈密顿算符222212xpH22222212-xdxdH时，当，dxdip xExxdxd22222212-故，定态薛定谔方

8、程为定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子薛定谔方程的解题步骤：22222,ddadxdddadxddddxdaax,E21.引入参数简化方程引人 0-2 则，定态薛定谔方程可化为定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子 代入将eq2 的渐进解在求方程 0-. 22 0-2 时， (1.5.21)21q 得渐进解：时有限，舍去在因21qx e2-2定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子 的解，在方程由波函数标准条件确定 -0-. 32 eH2-2令 .1的问题的问题转化为求）把求（H代入 0-2 vuvuvuuv 2:利用莱布尼兹公式 01-2-: HHH厄米方程定态薛定

9、谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子（2）用幂级数解法求解厄米方程的代入方程，得 H 00vvvaH解表示为泰勒级数是方程的常点，方程的012101020vvvvvvvvvavavva其系数递推公式vvavvva12122 有限？能否保证）（代入问，将eHv2-22定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子（3）波函数的有限性要求级数 中断为多项式。 0vvvaH由于级数在无穷远的行为取决于级数相邻两项系数之比在 时的极限为：21212lim2limaa定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子级数 相邻两项系数之比在 的极限也为：002!2!2kkke222!2221)!22(1l

10、imlim当 很大时， 的行为与 相同 He2定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子 则系数为次多项式，若最高次幂为时，当,2, 2 , 1 , 0, 12nnanHnn 是取整数的符号snnssnsnsnH2202!2!1。得只含寄次幂的多项式）令（偶次幂的多项式；得只含）令（0,00,01010aabaaa 两个线性无关的解的厄米多项式H定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子 )29. 5 . 1 (122eennnnddH式厄米多项式的微分表达 eH2-2代入得线性谐振子的波函数： )30. 5 . 1 (122222eddeNHeNnnnnnnn归一化常数)31. 5

11、. 1(!2naNnn定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子4. 由参数 得粒子能量E得与由Enn2, 2 , 1 , 012)33. 5 . 1 (, 2 , 1 , 0,21nnEn即从量子力学基本假设（薛定谔）方程出发，导出了普朗克的能量子假设。振子的能量取离散值n定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子5. 解的物理意义(1)谐振子的能量取离散值；21nEn2221)(limlimxxUxx因为(2)谐振子相邻能级的间隔 均匀分布；E(3)谐振子的基态能量 是一个量子效应，当原子发生自发辐射，从高能态跃迁到地能态，实际上是电磁场的真空态与电子相互作用结果；0210E定态薛

12、定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子（4）线性谐振子的能级是无简并的；（5）谐振子波函数的宇称为由（1.5.30）式可得， ，可见波函数 的奇偶性由n决定，通常称谐振子波函数 的宇称为n1- xnnn11 xn xnn1-定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子（6）与经典谐振子的比较22xaxvxW经典力学里，粒子在 范围内出现的概率xX=0速度最小，出现概率最大定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子11. 1图量子谐振子空间位置概率分布特点：a、在原点发现粒子的概率要么极大（n为偶）b、可以在经典禁区发现粒子（势垒穿透效应）。d、当量子数n越大时，其概率分布与经典概率分布越接近（b）图 ）（虚抛物线以外的区域经典禁区02定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子1.5.4 一维束缚定态无简并定理 的束缚态无简并。有限处无奇点，则一维在定理：若xxU简并。描述同一束缚态，即无与这就证明只差一个常数因子），为常数，（证