统计学课后答案第七八章

1、调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过盎司的概率。解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从 N的正态分布，由正态分布,x标准化得到标准正态分布：z=±_尸N 0,1 ,因此，样本均值不超过总体均值的概率P.n为:03=P 口 q =P q Z03_n 一 n 1 .9, n 1=P 0.9 z 0.9 =20.9 -1,查标准正态分布表得0.9 =因此，P x0.3 =在练习题中, 多大的样本我们希望样

2、本均值与总体均值的偏差在盎司之内的概率达到，应当抽取解：P X0.3 =P0.3= =P _。.3J_0.3.n 1、n . n 1 . n=2 (0.3 .n) 1 0.95(0.3 .n) 0.9750.3.n 1.96 n 42.68288 n 43Z1，Z2,，Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b,使得6 _ 2P Zi b 0.95 i 1解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的：设Z1, Z2, ；Zn是来自总体N(0,1)的样本，则统计量2 Z； Z2 L Z2服从自由度为n的2分布，记为伏？(n)66因此，令2 Zi2 ,则2Zi2 :i

3、 1i 166 ,那么由概率 PZi2 b 0.95 ,可知:i 1b= io.95 6 ,查概率表得：b=在习题中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到1的标准正态分布。假定我们计10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差s2(s2率保证S2落入其中是有用的，试求1 n(Yi Y)2),确定一个合适的范围使得有较大的概n 1 i 1b1, b2,使得一 2一一p(biSb2) 0.90解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量:(n 1)s222(n 1)此处，n=10,2 1 ,所以统计量(n 1)s22(10 1)s219s

4、22(n 1)根据卡方分布的可知:P b1s2 b2P 9b9S291b20.90又因为:22P 122 n 1 9S2因此:2P 9n 9S2 9b2 P9S20.90则:2P 9bl 9S2 9b22.95 99S220.059n20.959 ,9b20205 9查概率表:0.95 9 =,1 9S20.902 0.95 9bi:,b290.05 9 =，则20.05 9920.05 9=,b2920.95 9bi 9从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本容量为40的样本，样本均值为25。(1)样本均值的抽样标准差等于多少.n , 400.79(2)在95%的置信水平下，估计

5、误差是多少z /2 xz0.025 -1.96 0.79 1.5495某快餐店想要估计每位顾客午餐白平均花费金额。在为期3周的时间里选取 49名顾客组成了一个简单随机样本。(1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。15x 49(2)在95 %的置信水平下，求边际误差。t x,由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t= z .2因此，又 t x z 2 xz0.025x = X =(3)如果样本均值为置信区间为：120元，求总体均值 的95%的置信区间。x x,x x = 120 4.2,120 4.2 =(,)从总体中抽取一个 二100的简单随机样本 彳导到x =

6、81, s=12。 要求：22s 大样本，样本均值服从正态分布：x : N , 或x : N ,一置信区间为:_ s _x z 2-，x构建的90%的置信区间。z,2 = 405=，置信区间为： 81 1.645 1.2,81 1.645 1.2 =(,)(2)构建的95%的置信区间。z ,2二z0.025二，置信区间为:81 1.96 1.2,81 1.96 1.2 =(,)构建的99%的置信区间。z 2 = 4005 =，置信区间为：81 2.576 1.2,81 2.576 1.2 =(,)利用下面信息，构造总体均值的置信区间。(1) x253.5n 6095%x Z /23.5z0 0

7、25 25 0.885660x z /2(3) xx Z /2119.6s 119.6 .n3.4193.419s 23.8923.89Z0.01 .75s 0.9740.974z0.05.32n 75119.6n 323.41998%6.41740.283290%利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1)总体服从正态分布，且已知X 890050015 195%x z /2 一、 nc5008900z0.025,158900 253.03(2)总体不服从正态分布，且已知X 89005003595%x Z/2 n 8900 Z0,025500,358900165.6472(3)总体不服从正态

8、分布，(T未知,8900 s5003590%_ s -500x z /28900 z0.05、n358900139.0155(4)总体服从正态分布，(T未知,X 89005003599% s5008900 217.6973x 而 8900 Z005,颔某大学为了解学生每天上网的时间,7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取在全校36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时):求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%, 95%和 99%。解：(1)样本均值x=,样本标准差s二；(2)抽样平均误差：重复抽样:sx=.n、(3)置信水平下的概率度:=x . 0.995

9、 =x =1= , t= z 2 = Z0.05 =1=，t= Z /2 = z0.025 =1= , t= Z ,.'2 = z0.005 =(4)边际误差(极限误差)：x t x z 2 x1=, x t 又 z 2 X = z0.05X重复抽样： x z .2 x = z0.05'X = X =不重复抽样：x z .-2x = z0.051=X =z 2 x = z0.025又重受抽1x z 2 x = z0.025"x =X =不重复抽样：x z 2 x = z0.025 x =X =1=,x z 2 x = z0.005又重复抽样:x z 2 x = z0.

10、0051=X =不重复抽样:x z 2 x = z0.0051=X =(5)置信区间:x x,x1=,重复抽样：x 又，x=3.32 0.441,3.32 0.441 = (J不重复抽样:x = 3.32 0.439,3.32 0.439 =(,)重复抽样:= 3.32 0.525,3.32 0.525 = (,)不重复抽样:x = 3.32 0.441,3.32 0.441 =(,)重复抽样:x,XX=3.32 0.69,3.32 0.69 = (,)不重复抽样:x = 3.32 0.688,3.32 0.688 =(,)从一个正态分布总体中随机抽取样本容量为8的样本，各样本值分别为：10,

11、 8, 12, 15,6,13, 5, 11。求总体均值的 95%的置信区间。解:X 10,s212,s 3.46413.464110 t0025 710 2.8961.8某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由他们到单位的距离(单位：km)分别是：10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的16个人组成的一个随机样本,13 295 %的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用t统计量t X : t n 1s.n均值=,样本标准差s= 置信区间：=,n=16,1 =t0.02515 =x t 2 n 1s

12、_ n,X4.11161 sn一 4.11 一9.375 2.13,9.375 2.1316从一批零件中随机抽取 36个，测得其平均长度为，标准差为(1)试确定该种零件平均长度的95%的置信区间149.5 t0.025 351.93 149.5 0.6530, n.361.93一 149.5 0.630455 .36_» _ s 或者 x z,2 J=149.5 z0.025每包重量(g)包数969829810031001023410210471041064合计507. 11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。现从某天生产已知食品包重量服从正态分布，要求:

13、(1)确定该种食品平均重量的 解：大样本，总体方差未知，用95 %的置信区间。 z统计量的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量 (单位：g)如下:xz : N 0,1s -、. ns=样本均值=,样本标准差 置信区间：s z 2 r,x z 2s"n，z 2= z0.025 =sIn" z2S"n=101.41.8291.8291.96 - _ ,101.4 1.96 .50、50(2)如果规定食品重量低于100g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用z统计量P : N 0,1P 1 P样本

14、比率=(50-5) /50=置信区间：P1 P,Pnz 2= z0.025 =P 1 Pn ，P z20.9 1.960.9 1 0.9 ,0.9 1.96500.9 1 0.950均值=,样本标准差s= 置信区间：7. 13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工。得到他们每周加班的时间数据如下（单位：小时）:62117207081629381211921251516假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用 t统计量sx t 2 n 1 -, x t 2 n 11=, n=

15、18, t .-2 n 1 =t0.05 17 =s _"n,X7.8011.7369 -187.801 “=13.56 1.7369,13.56.187. 15 在一项家电市场调查中.随机抽取了 200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为 90%和 95%。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用 z统计量z -2 : N 0,1p 1np样本比率= 置信区间：z 2= zQ.025 =0.23 1.6450.23 厂0.23200,0.23 1.6450.23 1 0.23200(1)设n1 n2

16、100，求1- 2白95%的置信区间,z 2 = Zq.025 =0.23 1.960.23 1 0.23200,0.23 1.960.23 1 0.23200一位银行管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额，他假设所有顾客存款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元一位，置信水平为 99%,则应选取多大的样本解：n2za/2 E-22 1OOO2zO.005 c“2200165.87计算下列条件下所需要的样本量(1) E 0.020.4196%2n 4/2(1)E22 0.4 0.6z0.02飞至2530.731(2) E 0.04未知 195%2(1)20.5 0.5n za/2

17、E_2Zq.025 0042600.22792nza/2(1)E2(3) E 0.050.55190%2 0.45 0.55 , z0.05267.84880.0527. 20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两 种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队 方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取 10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位：分钟)如下:方式 2 |10要求：(1)构建第

18、一种排队方式等待时间标准差的95 %的置信区间。解：估计统计量n 1 S22经计算得样本标准差s= 置信区间：_2_2n 1 S 2 n 1 S222 n 11 2 n 1/2/2八2.2.1=, n=10,2 n 1 = 0.025 9 =,1 2 n 1 = 0.975 9 =22n 1 S n 1 S 9 0.2272 9 0.2272=() 2,2,22 n 1122 n 119.022.7因此，标准差的置信区间为(，)(2)构建第二种排队方式等待时间标准差的95 %的置信区间。解：估计统计量n 1 S2 2经计算得样本标准差s2 =置信区间：_2_2n 1 S 2 n 1 S2272

19、 n 11 2 n 11=, n=10,-2 n 1 = 0.025 9 =,0.975 9n 1 S2 n 1 S22/ ，2/2 n 112 n 19 3.318 9 3.318,19.022.7因此，标准差的置信区间为(，)(3)根据(1)和(2)的结果，你认为哪种排队方式更好 第一种方式好，标准差小！从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，他们的均值和标准差如下表所示:来自总体1的样本来自总体2的样本样本均值为25样本均值为23样本方差为16样本方差为20(Xi X2)Z/2g. 1-2 n1n2(2)设 “出 10,i22 (ni 1)§2 (7 1)S；Sp(ni 1

20、) (n2 1)(Xi X2) t/2(18)gJSp & n1n2(3)设 n1n2 10,12§ s22 2(nn )，n1n2v99! 1.96 0.6 2 1.176:，求1- 2白95%的置信区间182 2.1009 ,36 2 3.98622,求1- 2白95%的置信区间3.625t 17.78049(6)2 (S2)21.62(n1)(n2)99n1 1n2 1(X1 X2) t /2(v)gj且 运' 2 2.10982.5 n2. 36 2 4.00309(4)设 n1 10,n220122S2 m 1)S2 (n2 1)S； p(n1 1) (n2

21、 1)s2s2(X1 X2) t /2(28)g,1 pp.nn2(5)设 n1 10,n220,1_ 2_ 2/S1S2.2(),n1n2nv99_2,求1- 2白95%的置信区间131_7 -2 2.0484 .2.8071 2 3.432022,求1- 2白95%的置信区间2.622222.0915(S )2(S2 )2 支 Cn1n2,1020n1n2_ _ S2S2(X1 X2) t/2(v)g 122 2.0739nn226 2 3.34407. 23 下表是由4对观察值组成的随机样本。配对号来自总体A的样本来自总体B的样本1202573106485(1)计算A与B各对观察值之差，

22、再利用得出的差值计算d和Sd。d =, Sd =(2)设i和2分别为总体A和总体B的均值，构造 d i 2的95%的置信区间。解：小样本，配对样本，总体方差未知，用 t统计量均值=,样本标准差s= 置信区间：d t 2 n 11=, n=4, td t 2 n 1Sd,d t 2 n2 n 1 = t0.025Sd,d t 2 n=1.75 3.1822.62996 d ”=- 1.75Sd、nSd n2.629963.182 一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，得到的自信心测试分数如下：人员编号方法1方法2178712634437261489845917

23、464951768558766098577105539构建两种方法平均自信心的分之差的95%的置信区间解：d =11, sd =Sd6.531973d t 2 n 1 -= 11 t0,025 ( 9)g1011 4.6726927.25 从两个总体中各抽取一个 ni n2 = 250的独立随机样本,来自总体1的样本比例为P1= 40%,来自总体2的样本比例为p2=30%。要求:构造12的90%的置信区间。(2)构造12的95%的置信区间。解：总体比率差的估计大样本，总体方差未知，用z统计量p1 p212z : N 0,1,P1 1 P1P2 1 P2.n11样本比率p1 = , p2=置信区

24、间：R 1 Rp2 1P2p1P2 Z 2 ； , P1n1n2P2P1 1P1P2 1P2nin2Z 2 = z0.025 =P1 1PlP2 1P2P1P2 Z 2,P1nn2P2 1P2n20.1 1.6450.4 1 0.40.3 1 0.3,0.12502501.6450.4 1 0.42500.3 1 0.3250二(%, %)=，Z 2 = z0.025 =P1 1 RP2 1P2P1 1P1P2 1P2P1P2Z 2 . ； , P1P2Z 2 Jrhn2nin20.1 1.960.4 1 0.42500.3 1 0.3,0.12501.960.4 1 0.40.3 1 0.3

25、250250二(%, %)解：统计量:s2 .21 : F r11, n2机器1机器2生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对序进行改进以减小方要求：构造两个总体方差比差。下面是两部机器生产的袋茶重量（单位：g）的数据:12/ 2的95%的置信区间。置信区间:s2s2% 1,1F12 n11,n2 12s2 =n1=n2=211=, F.2n11,出1 = F0.025 20,20 =,F1n11,% 1F 2 n2 1,n1 1F1n11,% 1= F°.975 20,20 =F0.025 20,20F1 2 n1 1,n2 1s2 -S27. 27根据以往的生

26、产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求边际误差不超过 4%,应抽取多大的样本解：z 22Z 2 p 1 p2pz 2= Z0.025 =p 1 p1.962 0.02 0.98 仃 什-2=2=, 取 n=48 或者 50。20.047. 28某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以 际误差不超过20元,95%的置信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间, 应抽取多少个顾客作为样本并要求边解：n22Z 22X，Z/2=4.025 二，2z 22X221.962 1202 e5=,取 n=139 或者 140,或者 1

27、50。2027.29 假定两个总体的标准差分别为：1 12 ,2 15 ,若要求误差范围不超过5,相应的置信水平为 95%,假定小 电，估计两个总体均值之差12时所需的样本量为多大222Z 212,斛：n1=n2=n 2, 1=, z ；2 = z0.025 =,不x2z2 212:1.962122 152n1=n2=n -:2= 2=, 取 n=58, 或者 60。x1 X257. 30假定n2,边际误差E=0.05,相应的置信水平为95%,估计两个总体比例之差12时所需的样本量为多大“z2 2p1 1 p1p2 1 p2解：n1=n2=n 2, 1=, z 设=4.025 =，取 p1=p

28、2=,R p2Z2 2Pl 1 Pl P2 1 P2n1=n2= n 2Pl P21.9620.52 0.522=,取 n=769,或者0.05780 或 800。已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N （,），现在测定了 9炉铁水，其平均含碳量为。如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为（显着性水平为）解：H。： =; H1：产已知：X = , n=9检验统计量：X 04.484 4.55 =s . n 0.108 、9当查表得z /2 =。因为z>-z /2 ,故不拒绝原假设，说明可以现在生产的铁水平平均含碳量为。8. 2 一种元件，要求其使用寿命不得低于 700小时。现

29、从一批这种元件中随机抽取36件,测得其平均寿命为 680小时。已知该元件寿命服从正态分布，=60小时，试在显着性水平0. 05下确定这批元件是否合格。解：H0： 背 700; H1: F 700已知：X = 680= 60由于n=36>30,大样本，因此检验统计量：x 0680 700 _z 7Tn=10W=-当查表得z =。因为zv-z ,故拒绝原假设，接受备择假设，说明这批产品不合格。某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg,其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区进行抽样，其平均产量为270kg。这种化肥是否使小麦明显增产（“=）解：Ho:乒 250; Hi: Q已知

30、：X =270=30,n=25X 0270 250Z ,n 30 .25当查表得z /2=。因为z>z /2 ,故拒绝原假设，这种化肥是否使小麦明显增长。8. 4 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量（单位：千克）如下：99. 3 98. 7 100. 5 101. 2 98. 3 99. 7 99. 5 102. 1 100. 5已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常（a=0. 05）解：Ho:尸 100; Hi:产 100经计算得：X = s=检验统计量：t x099.9778 100 _s n1

31、.21221 9 9当a=,自由度n1 = 9时，查表得t .2 9 =。因为t <t .2，样本统计量落在接受区 域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明打包机工作正常。8. 5 某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，问该批食品能否出厂（a=0. 05）解：H。： 后；H1 ：兀> 已知：p=6/50= 检验统计量： p 00.12 0.05Z ,. = -j=0 10 n 0.05 1 0.0550当查表得z =。因为z>z ,样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，接受

32、备择假设，说明该批食品不能出厂。某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超过目前的平均水平 25000km。对一个由15个轮胎组成的随机样本做了实验，得到的样本均值和标准差分别为27000km和5000km。假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告是否真实（a二）解：H0： F 25000; Hr 625000经计算得：X = 27000S= 5000检验统计量：t X 027000 25000s .n 5000 .15当“=,自由度n1 = 14时，查表得t 14 =。因为t>t ,样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，即该厂家的广告真实。8. 7 某种电子元件的寿命 x

33、（单位：小时）服从正态分布。现测得 16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命显着地大于225小时（a= 0. 05）解：Ho: 乒 225; Hi: （j> 225经计算知： X =s=检验统计量：t X 0241.5 225 _s n 98.726、-16当a=,自由度n 1 = 15时，查表得t 15 =。因为tv t ,样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明元件寿命没有显着大于225小时。随机抽取9个单位，测得结果分别为为：85 59 66 81 35 57

34、 55 63 66以”=的显着性水平对下述假设进行检验：Ho： （t2W100；/>100解：2 （n ?S 8 215.75 17.260 05 （8） 15.507310100所以拒绝原假设，即方差显着大于1002222A, B两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布，且 A 632B 572,从A厂生产的材料中随机抽取81个样本，测得Xa21070kg / cm ；从B长生产的材料12 12 22中随机抽取64个样品，测得Xb 1020kg/cm 。根据以上调查结果，能否认为A, B两厂生产的材料平均抗压强度相同（a=）解：H0A B 0 H1： a B 01070 10206

35、32572 81645.00587 Z0.0251.96所以不能认为 A, B两厂生产的材料平均抗压强度相同8. 10 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳 动效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录各自的装配时间（单位：分钟）如下：甲方法：313429323538343029323126乙方法：262428293029322631293228两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显着不同（a=0. 05）解：建立假设H0：黑一（j2=0H1:黑一 qW 0总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量X1

36、X2根据样本数据计算，得n1 = 12,0 2=12, X = , Sl =, X2 = , S2 =。2SP/2/2n11sln11s2n1n2212 10.92216212 10.710672sPXiX2:1nia=时，临界点为t2 ni n2 2 = to.025 22 =,此题中t > t2,故拒绝原假设,认为两种方法的装配时间有显着差异。8. 11 调查了 339名50岁以上的人，其中 205名吸烟者中有43个患慢性气管炎，在134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点（a=0. 05） 解：建立假设Ho： mW 戏；H1 ： e > 茂p1 = 43205= n1=205p2= 13/134= n2=134检验统计量P1 P2dz P1 1 P1P2 1 P2n110.2098 0.097 0 =- 一 0.2098 1 0.20980.097 1 0.097:205134=3当a=,查表得Z =。因为Z > Z ,拒绝原假设，说明吸烟者容易患慢性气管炎。8. 12为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款数额不能超过60万元。随着经济的发