静电场的基本规律

1、第9章 静电场的基本规律本章学习目标1理解电荷的量子化和电荷守恒定律；掌握库仑定律的内容。2理解静电场的概念，掌握电场强度和电位的概念、电场强度和电位叠加原理、二者的计算方法以及它们之间的联系。3掌握高斯定理和静电场的环路定理的内容，会用高斯定理计算电场强度分布。本章教学内容1电荷的量子化和电荷守恒定律；库仑定律；电场强度及其计算。2电场线；电场强度通量；高斯定理及其应用。3电场力做功的特点；静电场的环路定理；电势和电势差；电势叠加原理及电势的计算。4等势面；电场强度和电势的关系；利用电势求电场强度的分布的计算方法。本章教学重点1库仑定律；静电场；电场强度及其计算。2高斯定理的内容及其应用。3

2、电场力做功的特点；电势和电势差的概念；电势的计算方法。4等势面的概念；电场强度和电势的关系。本章教学难点1电场强度及其计算。2高斯定理及其应用。3电势的计算。4电场强度和电势的关系。本章学习方法建议1正确理解静电场、电场强度、电势和电势差的概念。2掌握库仑定律的矢量表达式，明确“点电荷”的概念和库仑定律的适用条件。3明确电场强度是矢量，而电势是标量，前者服从矢量叠加原理，后者服从标量叠加原理；注意理解掌握电场强度和电势间的关系。4结合实例，透彻分析、理解高斯定理的物理意义，明确应用高斯定理求解场强的条件。参考资料程守洙普通物理学（第五版）、张三慧大学物理基础学及马文蔚物理学教程等教材。

3、7;9.1 电荷 电场一、电荷 电荷量带电体：处于带电状态的物体称为带电体。 自然界的电荷(解释摩擦带电的原因)电力：带电体之间的相互作用力；同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。 电荷(电荷量)：表示物体所带电荷的多寡程度的物理量。二、电荷的量子化原子结构：原子核外的电子数目等于原子核内的质子数目，原子呈电中性；若原子或分子由于外来原因失去(或得到)电子，就成为带正电(或带负电)的离子。自然界中电子或质子所带电荷是最小的：电子： 质子：电荷的量子化：所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整数倍，是以不连续的量值出现的。说明：由于电子的电荷量很小，所以在对宏观带电体的电现象进行研究时，

4、可以不考虑电荷的量子性。（举例说明）三、电荷守恒定律如图9-1为感应起电现象：当带正电的玻璃棒A移近B端时，B,C因感应而带电，B端带负电，C端带正电。这时将B,C两部分分开，再撤走A，则B,C两部分带等量的异号电荷，这既是所谓的“感应起电”现象。实验表明：在感应起电过程中所得到的两部分电荷是相同的。(再举一些表明电荷守恒的例子) 电荷守恒定律：电荷只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，或者说，在一个与外界没有电荷交换的孤立系统内，无论发生怎样的物理过程，该系统电荷的代数和保持不变。四、电场 “超距作用”观点：一个带电体所受到的电力是由另一个带电体直接给予的。这种作

5、用既不需要中间物质进行传递，也不需要时间，而是从一个带电体立即到达另一个带电体。 电 荷电 场“场”作用观点：两个电荷之间相互作用是由电场传递的，需要时间。场是一种物质，具有能量、动量和质量。电场力：当物体带电时，就在它的周围激发电场，处在电场中的电荷将受到力的作用，这种力叫做电场力。 电 荷电 场电 荷 静电场：相对于观察者静止的电荷所激发的电场。静电场的主要对外表现：1引入电场中的任何带电体都将受到电场所作用的力2电场能使引入电场中的导体或电介质分别产生静电感应现象或极化现象3当带电体在电场中移动时，电场所作用的力将对带电体做功，这表示电场具有能量。§9.2 库仑定律一、点电荷之

6、间的作用力点电荷（理想模型）：当带电体的线度（形状、大小）<<（带电体之间的距离）时，就可以把带电体视为点电荷。真空中的库仑定律：真空中的两个点电荷和之间的相互作用力大小与两电荷的电荷量的乘积成正比与两电荷之间的距离的平方成反比；方向沿其连线方向，同号相排斥，异号相吸引，这种相互作用力称为库仑力或静电力。矢量式：，在国际单位制中,，称为真空的介电常数，是表征真空特性的物理量。其中，为对的作用力，为由指向方向的矢径。的方向：当与同号时，表现为斥力，方向沿方向；当与异号时，表现为引力，方向沿的反方向。因此，= 注意：库仑定律的使用条件：（1）点电荷 （2）必须是静止的点电荷。二、叠加原

7、理 实验表明：库仑力满足叠加原理。叠加原理的内容：对多个点电荷的系统，其中任一点电荷所受的静电力等于其它点电荷单独存在时作用于该电荷上的静电力的矢量和。如图所示：有n个点电荷组成的系统，另有点电荷q受到这n个点电荷的作用，根据叠加原理，则点电荷q所受的库仑力为 其中为第i个点电荷对q的作用力。三、电介质中的库仑定律 无限大均匀电介质中的库仑定律： 其中为电介质的相对介电常数，描述了电介质的性质，无量纲。 称为电介质的介电常数，为真空中的介电常数。§9.3 电场强度 场的叠加原理一、电场强度把试探电荷放入电场的某点，实验发现：（1）在给定电场中的同一点，分别放入电荷不同的试探电荷，结果

8、发现所受电场力的大小随电荷的增减而增减，但比值不变。（2）对于电场中不同的点，比值一般情况下并不相同。电场强度： （1）在数值和方向上等于处在该点的单位正电荷所受到的库仑力的大小和方向。在SI中，场强单位：匀强电场：电场中各点场强的大小和方向都相同。电场力： （2） 试探电荷应满足下列条件：1必须是几何线度足够小的点电荷，以便能用它来确定电场中每一点的性质。 2电量必须充分小，其引入电场后对原电荷及电场的分布的影响可以忽略。二、点电荷的电场如图所示：设真空中有一点电荷。其周围空间内的电场分布计算如下：在距为r处的点（场点）放一试探电荷，则所受的电场力为 根据电场强度的定义可得点的场强为其中为从

9、指向场点方向上的单位矢量 。的方向如果点电荷q放置在无限大的均匀电介质中，电介质的介电常数为，则空间各点的场强为 （3）三、场强叠加原理在点电荷系，的电场中，试探电荷所受的电场力等于各个点电荷单独存在时对的作用力，的矢量和，由场强的定义，可得，即 （4）（4）式表明：电场中任一点处的总场强等于各点电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和，即场强叠加原理。利用叠加原理，原则上可以计算任何带电体系所产生的电场的场强分布。点电荷系的场强公式：设点电荷系，处于真空中，各点电荷到场点P的矢径分别为，各点电荷在P点激发的场强分别为， ， ， 由场强叠加原理，P点的总场强为， （5）若点电荷系处在无限大的均

10、匀电介质中，则， （6）四、连续分布电荷的场强虽然电荷是量子化的，但从宏观来说，一般带电体可以忽略电荷的量子性，视其电荷分布为连续分布。任意带电体可连续分割为无数电荷为的微小带电体的集合，则（视为点电荷）在场点P处的场强为 （7）由场强叠加原理，带电体在P处的总场强为 ， （8）在实际问题中，带电体按其形状特点，其电荷分布可简化为体分布、面分布和线分布。1电荷分布为体分布的带电体在空间激发的场强对于电荷的体分布，可取，其中 为电荷的体密度，为物理小体元，带电体 在点激发的场强为 （9）2电荷分布为面分布的带电体在空间激发的场强对于电荷的面分布，可取，其中为电荷的面密度，为小面元，带电体在点激发

11、的场强为 （10）3电荷分布为线分布的带电体在空间激发的场强对于电荷的线分布，可取，其中 为电荷的线密度，为小线元，带电体在 点激发的场强为 （11） 注意：在具体计算中，应建立适当坐标系，写出在各坐标轴方向上的分量式，分别积分计算的各分量，在合成矢量。五、电场求解问题例题1 一对等量异号点电荷和，相距为,求其连线的延长线和中垂线上一点的场强。解：建立如图所示的坐标系（1）其连线的延长线上任一点的场强：在延长线上任取一点，和产生的场强方向相反，大小分别为则点的合场强的大小为， 在处， （2）其连线的中垂线上任一点的场强：在中垂线上任取一点，和大小相等，方向关于x轴对称，因此两矢量在y轴方向上的

12、投影互相抵消，在x轴方向上的投影大小相等，方向相同，并且沿x轴的负方向。则点处的合场强的大小为，其中， ， 在 处， 电偶极子：若两电荷间的距离远小于它们到场点的距离，这样的电荷系统称为电偶极子。 电偶极矩矢量（）： 其中的大小为两电荷之间的距离，的方向由负电荷指向正电荷。描述了电偶极子本身的特性。 基于此，上面的结果可记为，在延长线上， 在中垂线上， 例题2 真空中一均匀带电直线，常为L，带电荷为Q，求直线外一点P处的场强。P 点到直线的距离为,到直线两端点的连线与直线的夹角分别为和。解：建立如图所示的坐标系，此为电荷连续分布问题。在直线上距原点O为y处，取电荷元，其在P点处产生的场强大小为

13、， 的分量，分别为 , 如图所示，由几何关系可知， , , 代入得， ,两式积分得， P 点处的总场强大小为， 若均匀带电直线是无限长的，即，则 ，六、电场的图示法电场线电荷之间的相互作用是通过电场来传递的。为了形象地描述场强的大小和方向，引入电场线。电场线：在电场中做一些有方向的曲线，让曲线上每点的切线方向和该点的场强方向一致，这样的曲线叫做电场线。为了使电场线不仅能表示场强的方向，还可以表示场强的大小，引入了电场线密度的概念。电场线密度：通过与该点电场方向垂直的单位面积上的电场线条数。在作电场线时，使电场中任一点的电场线密度与该点的场强大小成正比，即 这样，场强的大小就可以用电场线的疏密程

14、度反映出来。几种简单电场的电场线图：正点电荷 负点电荷两个等值异号点电荷 两个等值同号点电荷静电场的电场线的两条最重要的性质：（1）电场线起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或伸向无穷远）。在没有电荷的空间里，电场线既不会相交也不会中断。（2）电场线不构成闭合曲线（或者说电场线上各点的电位沿电场线方向不断减小）。§9.4 高斯定理一、电通量为了进一步研究电场的性质，我们利用电场线来引入电通量的概念。电通量：穿过电场中某曲面的电场线条数。用表示。1电场对开曲面的电通量如下图（a）(b)所示，设电场为匀强电场，根据电场线密度的定义，穿过垂直于电场 （a） (b) 方向的平面S的

15、电通量为 (1)若平面S与不垂直，平面S的法向矢量与的方向成角，如图(b)所示，则穿过S面的电通量 (2) 如果是非匀强电场，并且S面也不是平面，而是一个任意曲面，如图（c）所示。先求出S面上任一面元的电通量，即式中为面元的法向矢量与该处场强之间的夹角。则通过整个曲面S的电通量，为 (3) （c）式中，常叫做面元矢量。2电场对封闭曲面的电通量对于电场中的封闭曲面，规定曲面上面元的法向为由内指向曲面外。则其电通量为 (4) 注意：在电场线穿入曲面处，电通量为负；在电场线穿出曲面处，电通量为正。二、高斯定理高斯定理是静电场理论中描述电场性质的基本定理。高斯定理的内容：在电场中，通过一任意闭合曲面S

16、的电通量，等于该曲面所包围的电荷的代数和除以，与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的数学表达式为， (5)式中是闭合曲面所包围的电荷的代数和。对高斯定理的简单讨论：1点电荷的电场在点电荷q的电场中，以q为中心，以任意长度为半径，作一球面，如图所示。点电荷q的电场具有球对称性，在球面上各点的大小都是，方向沿矢径方向，处处与球面正交。由（4）式可求得通过球面的电通量为，若曲面为任意形状，如图示的，我们总可以选择适当的半径作一球面，将曲面包围，由于电场线连续通过，因而通过两曲面和的电通量必定相等，都等于。当点电荷位于曲面之外时，如图所示，可以看出，进入和穿出曲面的电场线条数相等。由于进入电通量为负 穿出

17、为正，所以总电通量为零。2任意带电体系的静电场当闭合曲面内包围多个点电荷时，由于场强满足叠加原理，所以，在电场中任取一闭合曲面，通过面的电通量为式中的仅指被包围在面内的那部分电荷的代数和。上式表明：若干点电荷存在时的电通量等于每一点电荷产生的场强通过该闭合曲面电通量的代数和。高斯定理的意义：（1）指明了静电场中电场对任意闭合曲面的电通量与曲面内的电荷之间的量值关系。（2）揭示了电场与场源之间的联系，说明静电场是有源场。三、高斯定理的应用例1 求均匀带正电球面内外的场强分布。设球面半径为，带电荷为，如图所示。 解：首先给学生分析解题思路。作与球壳同心且半径为的球形高斯面，则通过其上为由高斯定理得

18、， 当时，则当时，则结果表明：均匀带电球面内部无场强，球面外部的场强与球面上电荷全部集中在球心时产生的电场相同。例2 求均匀带电球体内外的电场分布。设球体的半径为，所带电荷为，如图所示。解：以为中心，以为半径作球形高斯面，如图所示，通过高斯面上的电通量为，由高斯定理得 当时，则 当时，, 则例3 求均匀无限长带电直细棒的电场中的场强分布。设棒上线电荷密度为，如图所示。 解：分析：以棒为轴线，作半径为圆心在细 棒上的圆环，在环面两侧对称地取电荷元 和。由于对称，它们在环上任一点P激发的场强沿环的径向方向OP。由于整个带电细棒可看成由一对对与对称的电荷元组成，故整个带电直细棒在圆环上各点的电场均沿

19、径向且大小相等。取以棒为轴，以为底面半径，为高作圆柱形高斯面，则通过圆柱形高斯面的电通量为 由上面的分析可知，对于上下地面来说，所以，上式可化为 利用高斯定理，可得，例4 求均匀带电的无限大平面的场强分布。设电荷面密度为，如图所示。解：电场分布关于带电平面对称，场强方向垂直于平面（分析）。作如图所示的圆柱形高斯面，且两底面到带电面的距离相等。利用高斯定理可得对于侧面来说，所以上式可化为所以 式中为背离带电平面的单位矢量。§9.5 电场力的功 电势一、电场力的功1在点电荷的电场中，电场力对试探电荷所作的功。 设从电场中的a点沿任意路径移动到b点，电 场力对所作的元功为 式中.当从电场中

20、的a点沿任意路径移动到b点时，电场力对所作的总功为 （1）2在任意点电荷系的电场中，电场力对试探电荷所作的功（推广） （2） 结论：试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关，说明静电场力是保守力。3静电场的环路定理 如图所示：试探电荷从电场中的a点经路经到b点，再从b点经回到a点，在这一闭合路径中电场力所作的功为由于电场力做功与路径无关，所以即 （3） 静电场的环路定理：（1）揭示了静电场的能量的性质；（2）表明静电力是保守力。二、电势能（电位能）由于电场力是保守力，在描述静电场的性质时，引入电势能的概念。由势能的定义，我们可知，静电力的功=静电

21、势能增量的负值。设，分别为试探电荷在起点a和终点b的电势能，则， （4）对于电势能，通常规定电荷在无穷远处的静电势能为零，即令，则电荷在电场中a点的静电势能为 （5） 注意：（1）电势能有正有负 （2）电势能是属于一定系统的。三、电势、电势差由（5）式可知，比值与无关，只决定于电场的性质以及场中给定点a的位置。电势：， 是表征静电场中给定点电场性质的物理量。表示a点的电势，则 （6）电场中某点的电势在量值上等于放在该点处的单位正电荷的电势能，也等于单位正电荷从该点经过任意路径到无穷远处电场力所作的功。单位：伏特（V） 注意：电势是标量，可正可负。电势差（电压）：在静电场中，任意两点a和b的电势

22、之差。由（6）式可知， （7）由（7）式可知：在静电场中两点间的电位差，在数值上等于把单位正电荷从a点移到b点时，电场力所作的功。因此，当任一电荷在电场中从a点移到b点时，电场力所作的功为 （8） 注意：在实际应用中，用到的往往是两点间的电势差，而不是某一点的电势，因此电势为零的点是可以任意选取的。四、电势求解问题1点电荷电场中电势的分布设有点电荷在无限大均匀电介质中产生电场，电场中任一点P的电势（以无穷远处为电势能的零点）为 （9）式中r为P点到Q的距离，为电介质的介电常数。由（9）式可知，若Q带正电，各点电势也是正的，离点电荷越远，电势越低，无穷远处电势为零，是电势的最小值；若Q带负电，各点电势是负的，离点电荷越远，电势越高，无穷远处电势为零，是电势的最大值。若Q在真空中，则电场中任一点P的电势为， （10）2点电荷系的电场中各点的电势在点电荷系，的电场中，根据场强叠加原理，可推知电场中任一点P处的电势为， （11） （12）电势叠加原理：个点电荷在某点产生的电势，等于各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和。3电荷连续分布的带电体的电场中各点的电势对于连续分布的带电体，电场中任一点P处的电势为， （13） （14）例题1 求距偶极子相当远处一点的电势。解：如图所示，设偶极子中点O与场点P的距离为r（），OP与的夹