第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

1、第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的 意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念2 .空间两点间的距离公式3 .向量的概念4 .向量的运算教学难点：1.空间思想的建立5 .向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1 .向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向 量）。2 .量的表示方法有：a、i、F、OM等等。3 .向量相等a b：如果两

2、个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）4 .量的模：向量的大小，记为 a模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 .量平行ab：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6 .负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算1 .加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7a14 / 242. a b c 即a ( b) c3.向量与数的乘法a :设是一个数，向量a与 的乘积 a规定为(1) 0 时，a与 a 同向，| a| |a|(2) 0

3、时，a 0(3) 0 时，a与 a 反向，| a| | |a|其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a0表示与非零向量a同方向的单位向量，那么定理1：设向量aw0,那么，向量b平行于a的充分必要条件是： 存在唯一的实数 入，使b= a例1：在平行四边形ABCD中，设AB a , AD b ,试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD ,这里M是平行四边形对角线的交点。（见图75）图74一一 一1解：a b AC 2AM ,于是 MA -(a b)1由于MC MA, 于是MC 1(a b)一一一一 _1又由于 a b BD 2MD,于是MD -(b a)1 .由于MB MD, 于是MB (b a

4、)21.将数轴（一维）三、空间直角坐标系 、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图71,其符合右手规则。即以右手握住Z轴，当右手的四个手指从正向 x轴以一角度2转向正向y轴时，大拇指的指向就是 z轴的正向。2.间直角坐标系共有 八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为xoy面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图72所示。图7-1右手规则演示图7一2空间直角坐标系图图73空间两点m1M 2的距离图3.空间点M (X,y,Z)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐

5、标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4.空间两点间的距离。若M i(xi,yi,zi)、M 2(X2,y2,Z2)为空间任意两点，则M1M2的距离(见图73),利用直角三角形勾股定理为：d2 1MlM22M1N 2 NM2 222 12M1p |pN |NM2而M1Px2x1PN| |y2y1NM2 z2z1所以d M1M27(x2 x1)2 2 y1)2 & 乙)2特殊地：若两点分别为M(x,y,z), o(0,0,0)d oM Jx2 y2 z2例1：求证以M(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明：M1M 2(4 7)2 (3

6、1)2 (1 2)2 14222_2_M 2M 3(5 7)2 (2 1)2 (3 2)26M3M1 2 (5 4)2(2 3)2 (3 1)26由于|M 2M 3 M3M1 ,原结论成立。例2：设P在x轴上，它到"(0, J2,3)的距离为到点P2(0,1, 1)的距离的两倍，求点 P的 坐标。解：因为P在x轴上，设P点坐标为(x,0,0)pp1&_721 _3 jx2 11 pp2&1"i7 衣2PP| 2PF2|Jx2 11 2 x2 2x 1所求点为：(1,0,0) , ( 1,0,0)四、利用坐标系作向量的线性运算1 .向量在坐标系上的分向量与向量

7、的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对 应关系。设a = M1M2是以M 1( x1, y1, z1)为起点、M 2 (x2, y2, z2)为终点的向量，i、j、k分别表示图7 5沿x, y, z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7 5,并应 用向量的加法规则知：M1M2 (x2 x)i + (y2 y)j+(Z2 z1)k或a = ax i + ayj + azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a 一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影 a

8、x、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a = ax, ay, az。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为M 1(小，丫1,乙)终点为M2(x2, y2,z2)的向量可以表示为MlM2X2 ”,丫2 mz 4特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径OM x,y,z注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az,向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、 ayj、 azk.2 .向量运算的坐标表示设 aax,ay,az, bbx，by,bz即 aaxiayjazk, bbxibyjbzk则(1)加法： a b (a* bx)i

9、(ay by)j 缸 bz)k 减法：ab(axbx)i (ay by)j abz)k 乘数： a ( ax)i ( ay)j ( az)k 或abaxbx，ay by,az bza b ax bx,ay by, az bza ax, ay, az 平行：若aw。时，向量ba相当于b a,即bx,by,bzax,ay,az也相当于向量的对应坐标成比例即坛 当 b£ax ay az五、向量的模、方向角、投影设a ax,ay,az,可以用它与三个坐标轴的夹角、(均大于等于0,小于等于 )来表示它的方向，称、 为非零向量a的方向角，见图7 6,其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余

10、弦。2ax22ayazaxM1M2cosacos由性质1知ayM1M2cosacos ,当 aazM1M2cosacos2.方向余弦222.axayaz。时，有cosaxaxcosayaycosazaz 任意向量的方向余弦有性质:cos2cos2 cos21与非零向量a同方向的单位向量为:a1一 一ax,ay,azcos ,cos ,cos 例：已知两点Mi(2,2,d2)aaM2(1,3,0),计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与MiM 2同向的单位向量。解：M1M 2 =1-2 , 3-2, 0- 42 =-1 ,1,-72M1M2211cos 一 , cos 一 , cos222

11、3， ， 334设a0为与M1M 2同向的单位向量，由于a0 cos , cos , cos 即得1 122,2,2 3.向量在轴上的投影(1)轴上有向线段的值：设有一轴u, AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB ,且当AB与轴u同向时 是正的，当 AB与轴u反向时 是负的，那么数 叫做轴u上有向线段 AB的值，记做AB,即 AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则AB e(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC AB BC(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b,任取空间一点 O,作OA a ,OB b,规定不超过 的 AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,

12、b)'(4)空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A 叫做点A在轴u上的投影。(5)向量AB在轴u上的投影：设已知向量 AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B ,那么轴u上的有向线段的值 AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做Pr juABo2.投影定理性质1:向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：Pr ju AB AB cos性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Prju(a a?) Prja Prja2性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即Prju( a) Prja小

13、结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量(自由向量)有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系(轴、面、卦限)，空间两点间距离公式。 本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标(注意分向量与向量的坐标的区别)、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。作业：第二节数量积向量积教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂 直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点：1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式2. 向量平行、垂直的应用教学难点：1.活学活用数量积、向量积

14、的各种形式3. 向量平行与垂直的相应结论教学内容：一、数量积：a) 定义：a b a|b cos ,式中 为向量a与b的夹角。b)物理上：物体在常力F作用下沿直线位移 s,力F所作的功为W F|s cos其中为F与s的夹角。2c)性质：I . a a an .两个非零向量a与b垂直a b的充分必要条件为：a b 0n. a b b aw. (a b) c a c b cV. ( a) c (a c)为数d)几个等价公式：i.坐标表示式：设 a ax,ay,az , b bx,by,bz则a b axbx ayby azbzn.投影表示式：a b a Pr jab bPrjbaa bin.两向量

15、夹角可以由 cos 厂门式求解a|be) 例子：已知三点 M(1,1,1)、A(2,2,1)和 B(2,1,2),求 AMB提示：先求出向量 MA及MA ,应用上求夹角的公式。二、向量积:a) 概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义:c的模ca b sin ,式中为向量a与b的夹角。c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从 a转向bo注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。b)公式：c a bf)性质：I . a an.两个非零向量a与b平行a / b的充分必要条件为：a b 0N . (a b)c)v . ( a) c几个等价公式:c) (a c)为数I .坐标表布式：设

16、b bx，by,bz则d)a b(aybzazby)i(azbxn .行列式表布式:例子：已知三角形ax aybx byABC的顶点分别为:axbz)j (axby aybx)kaz bzA(1,2,3)、B(3,4,5)和 C(2,4,7),求三角形ABC的面积。S ABC1 I 解：根据向量积的定义,AB AC sin2由于AB =2,2,2,AC =1,2,4因此AB ACS ABC4i6j 2kAC1 . 42 ( 6)222214小结： 向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件） 作业：(1)n M1M2 M1M3i j k3 46 14i

17、9j k第三节平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面一一平面，平面是本书非常重 要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领 会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解 平面与其法向量之间的关系。教学重点：1.平面方程的求法2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用教学内容：一、平面的点法式方程1 .平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2 .平面的点法式方程已知平面上的一点 M 0(x0, y0, z0)和它的一个法线向量n A,B,C,对平面上的任一点M (x, y, z)

18、,有向量 M 0M n,即n M0M 0代入坐标式有A(x xo) B(y y°) C(z z°) 0此即平面的点法式方程例1:求过三点M1 (2, - 1, 4)、M2 (1, 3, 2)和 M3 (0, 2, 3)的平面方程。解：先找出这平面的法向量 n ,2 3115 / 24由点法式方程得平面方程为14(x 2) 9( y 1) (z 4) 0即：14x 9yz 15 0二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：Ax By Cz D 0几个平面图形特点:1） D = 0:通过原点的平面。2） A=0:法线向量垂直于X轴，表示一个平行于

19、X轴的平面。同理：B=0或C = 0：分别表示一个平行于 y轴或z轴的平面。3） A=B = 0：方程为Cz D 0 ,法线向量0,0, C,方程表不'一个平行于 xoy面的平面。同理：AXD 0和BYD0分别表示平行于yoz面和 xoz面 的平面。4）反之：任何的三元一次方程，例如:5x 6y 7z 110都表示一个平面，该平面的法向量为n 5,6, 7例2：设平面过原点及点（6, 3,2）,且与平面4x y 2z8垂直，求此平面方程。解：设平面为Ax By Cz D 0,由平面过原点知D 0由平面过点（6, 3, 2）知6A 3B 2C 0,n 4, 1,2 4A B 2C 0 A

20、 B所求平面方程为2x 2y 3z 0三.两平面的夹角定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。设平面 1 : Ax By C1zD10,2 : A2xB2y C2z D20. A216 / 24B A1, B1,C1 ,n2 庆2上2右2按照两向量夹角余弦公式有:cos| A1A2B1B2C1C2 |2 c 2A 22 c 2B1 C1, A2B2 C2三、几个常用的结论设平面1和平面2的法向量依次为1Ai,Bi,Ci和 n2 A2,B2。1)两平面垂直:A1A2B1 B2 C1C20（法向量垂直）2)两平面平行:CA2B2C2（法向量平行）3)平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点

21、 P0 （x0, y0, z0）,平面的方程为Ax By Cz D 0,则点到平面的距离为,Ax。 By。 CZo D d 、A B2 C2例3：研究以下各组里两平面的位置关系:x 2y z1 0,y 3z 1 0解:2x y2x y(1) cos0,0,4x 2y4x 2y0 2 11(1)222两平面相交，夹角n12, 1,1, n2两平面平行两平面平行但不重合。2z2z3|(1)2121 arccos. 604,2, 2M (1,1,0)M (1,1,0)(3)两平面平行M (1,1,0)1 M (1,1,0)所以两平面重合小结:平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程

22、。两平面的夹角以及点到平面的距离公式。作业:第四节空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：Aix By Ciz Di 0A2X B2 y C2Z D20二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点 Mo（xo, yo，zo）和它的一方向向量s m,n, p,设直线上任一点为M （x, y, z）,那么M0M与s平行，由平行的坐标

23、表示式有：x Xoy yo z Zom n p此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设x xoy yo z Zo tm n p就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）x xo mty yo ntz Zo pt三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。例1 :用对称式方程及参数方程表示直线x y zc 1，c2x y 3z 4 o19 / 24解：在直线上任取一点 （Xo, yo, zo）,取Xoyo羡26 °。解得yoO,zo2,即直线上点坐标（i,0,2)因所求直线与两平面的法向量都垂直取nin2 4, i, 3对称式方程为:y0z2参数方程:i 34

24、tt2 3t直线过点A（2, 3,4）,且和y轴垂直相交，求其方程 解：因为直线和y轴垂直相交，所以交点为B（0, 3, 0）s BA 2,o,4,所求直线方程：x2 y2 o两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。设两直线Li和L2的方向向量依次为 Simi, n，Pi和 S2 mzQQ,两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算cos2=",miniPimim2%n2Pi P2222m2n2P2两直线L1和L2垂直:mi m2 ni n2Pi P2 o （充分必要条件）两直线L1和L2平行:miniPim2n2P2（充分必要条件）例3：求过点（3,2,5）且

25、与两平面x 4z3和2x y 5z 1的交线平行的直线方程解：设所求直线的方向向量为m,n, p,根据题意知直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取 snin2 4, 3, i所求直线的方程31 / 24三、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线与它在平面上的投影直线的夹角(0二）称为直线2与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为设直线L的方向向量为s m,n, p,平面的法线向量为n A,B,C,直线与平面的夹角为，那么Am Bn Cpsin !：A 222222ABC m n pABC直线与平面垂直：s/n 相当于 一一一（充分必要条件）m n p直线与平面平

26、行：s n相当于Am Bn Cp 0（充分必要条件）平面束方程：x y z 1 0 一过平面直线的平面束万程为x y z 1 0（Aix Biy Ciz Di）（A?x B2y C2Z D2） 0四、杂例：例1:求与两平面x 4z=3和2x y5z= 1的交线平行且过点 （3, 2, 5）的直线方程。解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s 一定与两平面的法线向量垂直，所以i j ks 104（4i 3j k）215因此，所求直线的方程为x 3 y 2 z 5431例2:求过点（2, 1, 3）且与直线 幺 U 三垂直相交的直线方程321解：先作一平面过点 （2,

27、 1, 3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为3（x 2） 2（ y 1） （z 3） 0再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为x= -1+31y=1+2tz=-t,一、一 一 3.一、,2 13 3并代入上面的平面方程中去，求得t=°,从而求得交点为（2,13,-）77 77以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量s 2 7,16-2, 1,4故所求直线方程为x 2 y 1 z 3F 4x y z 1 0例3:求直线在平面xx y z 1 0y z 0上的投影直线的方程解：应用平面束的方法xyz10一

28、设过直线的平面束万程为xyz10(x y z 1) (x y z 1) 0即(1 )x (1 )y ( 1 )z 1 0这平面与已知平面 x y z 0垂直的条件是(1) 1 (1)1(1) 1 0解之得1代入平面束方程中得投影平面方程为y z 1 = 0所以投影直线为y z 1 0x y z 0小结：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹 角(注意两直线的位置关系)，直线与平面的夹角(注意直线与平面的位置关系)作业：第五节曲面及其方程教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。 学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表

29、示 曲面的形状。教学重点：1.球面的方程2. 旋转曲面的方程教学难点：旋转曲面教学内容：一、曲面方程的概念1 .实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。2 .曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程F(x,y,z) 0(1)有下述关系：(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)那么，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面 S就叫做方程(1)的图形。(3) 种常见曲面(1)球面例1:建立球心在 M 0(x0, y0, z0)、半径为R的球面的方程。解：设M0(X0,y0,Z0)是球面上的任一点，那么M0MR即：(x

30、X0)2 (y y。)2 (z Z0)2R或：(x X0)2 (y y0)2 (z Z0)2 R2特别地：如果球心在原点，那么球面方程为(讨论旋转曲面)x2 y2 z2 R2(2)线段的垂直平分面(平面方程)例2：设有点A(1,2,3)和B(2, 1,4),求线段AB的垂直平分面的方程。解：由题意知道，所求平面为与A和B等距离的点的轨迹，设 M(x, y,z)是所求平面上的任一点，由于| MA| |MB | ,那么;22222-2x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 4化简得所求方程2x 6y 2z 7 0研究空间曲面有两个基本问题：(1)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。(2)已知坐

31、标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。二、旋转曲面的方程设在yoz坐标面上有一已知曲线 C,它的方程为 f (y, z) = 0把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以 z轴为轴的旋转曲面，设 M1(Q y1,z1)为曲线C 上的任一点，那么有f (yi, zi) = 0(2)当曲线C绕z轴旋转时，点 Mi也绕z轴旋转到另一点 M (x,y,z),这时z= zi保持不变， 且点M到z轴的距离 d &卜i将zi = z, yiM'x2 y2代入(2)式，就有螺旋曲面的方程为

32、f ( x2 y2,z) 0旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完 全平方根的形式。常用旋转曲面：锥面(直线绕直线旋转，两直线的夹角(0。< <90。)，方程为：22/22、z a (x y ) 其中a cot三、柱面1 .定义：平 行于定直线并沿曲线定曲线 C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。定曲线C:准线动直线L:母线2 .特征：x, v, Z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于 y轴的柱面。3:几个常用的柱面：22_ 2_.，一，一b）圆枉面：x y R （母线平行于z轴）2c）抛物枉面：y 2x （母线平行于z轴） 四、二次曲

33、面1、定义：三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面2、截痕法用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加 以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。3、几种特殊的二次曲面1 .椭球面方程为2 22土匕二 12, 221a b c使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线:2222x2 N 1,4 4 1, a ob a。22y z 1.221,这些交线都是椭圆。b cx 0这曲面与平行于坐标面的平面的交线：椭球面与平面z Z1的交线为椭圆2x-2a （工 22（c 4）cz Z12y 121 .b-（C2 z2）（ |z1 I c），同理与平面 xcx1和yy1的交线也是椭圆。椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。抛物面例：椭圆