等腰三角形的证明习题集与答案解析

1、等腰三角形一、选择题1 .如图，边长为4的等边4ABC中，DE为中位线，则四边形 BCED的面积为（）（A） 2V3（B） 3邪（C） 4看（D） 6-3A. 15cm二、填空题B. 16cm C. 17cmD. 16cm 或 17cm2 .如图，/ABC和NCDE均为等腰直角三角形， 点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点,卜列结论： tan Z AEC= 匹;S/abc+S/cde三Sace ;（3）BM ± DM;BM=DM.正确结论的个数CD是（）（A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个3 .如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm ,那么此三角形的

2、周长是图（四）1 .边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .2 .等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么，它的底边为.3 .在等腰Rt 4ABC中，/ C=90°, AC=1,过点C作直线l/AB , F是l上的一点，且AB=AF, 则点F到直线BC的距离为.4 .已知等边 ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把 BDE沿直线DE翻折，使点B落在点 B "处，DB ' ,EB /分别交边 AC于点F , G,若/ ADF=80 o,则/ EGC的度数为5 .如图6,在 ABC中，AB=AC , / BAC的角平分线交 BC边于点D, AB=5 ,

3、BC=6 , WJ AD=B6 .如图（四）所示，在 ABC 中，AB=AC , / B=50 ° ,贝U4=7 .如图，已知 ABC是等边三角形，点 B、C、D、E在同一直线上，且 CG=CD, DF= DE , 则/ E=度.三、解答题1.如图（1） , 4ABC与4EFD 为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9 ,ZBAC= / DEF=90 0,固定ABC,将4DEF绕点 A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时， 旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE , DF（或它们的延长线）分别交BC（或 它的延长线）于G, H点，如图（2）（1）问：始终

4、与4AGC相似的三角形有及；（2）设CG=x , BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图 （2）的情形说明理由）（3）问：当x为何值时，4AGH是等腰三角形.题1图题1图（2）2、如图 AB=AC, CD±AB 于 D, BEAC 于 E, BE 与 CD相交于点 O.(1封证 AD=AE;(2)连接OA, BC,试判断直线 OA, BC的关系并说明理由.ZCAD=ZCBD=15 ,E为AD延长线上的一C3 .如图，已知点 D为等腰直角ABC内一点, 点，且 CE = CA.(1)求证：DE平分/BDC;(2)若点M在DE上，且DC=DM,求证：ME=BD .4 .如图，在等

5、腰三角形 ABC中，/ ABC=90 ° ,D为AC边上中点，过 D点作DE XDF,交AB 于 E ,交 BC 于 F ,若 AE=4 , FC=3，求 EF 长.5 .数学课上，李老师出示了如下框中的题目._ 在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D 在CB的延长线上，且 ED=EC，如图.试确 定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后， 进行 上&D BcL了如下解答：(1)特殊情况滁索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与白DB大小关系.请你直接写出结论：AE _DB(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB

6、 (填 多"，2 ”或=").理由如下:如图2,过点E作EF / BC,交AC于点F,（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题.若4ABC的边长在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC为 1, AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）.等腰三角形答案、选择题、填空题、解答题BDD1、3资2、4 或 63、4、805、46、807、 151.1 （2011广东东莞，21, 9分）【答案】解：（1） HAB,AC GCHB AB y= X, HGA。81图2又= BC= & +92 =9亚0< x< 972 0一LV

7、关于x的函数关系式为 y= （0< x< 9V2%x1,（3）当/GAH=45°是等腰三角形.的底角时，如图BC 9 -可知 x =CG = =V2 。22当Z GAH=45 °是等腰三角形.的顶角时，如图2,在 HGA和 AGC中. /AGH= / CGA, /GAH=/C=450, /.A HGAA AGCo,. AG=AH ,x=CG =AC =9，当x =9五或x=9时，AAGH是等腰三角形。2【考点】 三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理, 几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。【分析】（1）在4AGC和 HAB中， ,/ AGC= /

8、B+ / BAG= / B+90°/ GAC=135°/ GAC, / BAH= / BAC+ / EAF / EAC=90 0+450 / GAC ,/ AGC= / BAH 。一0又. / ACG=/HBA=45 , AAGCA HAB o在AAGC和4HGA中, / CAG= / EAF / CAF=45 ° / CAF , /H=180°- /ACH /CAH=180°135°/CAF=45°/CAF,/CAG=/H。又. / AGC=/HGA, . AGCs HGA。(2)利用 AGCAHAB得对应边的比即可得。(

9、3)考虑/GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。2、(2011山东德州19,8分)(1)证明：在 4ACD与ABE中，./A=/A, /ADC=/AEB=90 AB=AC,，AACDAABE .(2)互相垂直在 Rt AADO与4AEO中，. OA=OA, AD=AE ,，AADOAAEO./DAO=/EAO.即 OA是/BAC 的平分线.又. AB=AC, . . OA± BC.3、 （2011山东日照，23, 10分）证明：（1）在等腰直角 ABC中， ZCAD=ZCBD=15°, /. Z BAD= Z ABD=45°-15°=30&

10、#176;, . . BD=AD , . . ABDCAADC, / DCA=Z DCB=45°.由 / BDM= / ABD+ / BAD=30°+30 °=60°, / EDC= / DAC+ / DCA=15°+45°=60°, . / BDM= / EDC , .DE 平分/BDC;（2）如图，连接 MC, . DC=DM,且/MDC=60° ,，MDC是等边三角形，即 CM=CD.又 Z EMC=180 - ZDMC=180°-60 =120° ,ZADC=180°- Z M

11、DC=180-60 =120° , / EMC=Z ADC.X / CE=CA, . ./DAC=/CEM=15 , .ADCQEMC,4、(2011湖北鄂州，18, 7分)【解题思路】 连结BD,证 BEDCFD和 AEDBFD , 得BF=4 , BE=3 ,再运用勾股定理求得 EF= JbE2 +BF2 =5【答案】连结 BD ,证 BED CFD和 AED BFD ,求得 EF=5【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。5、(2011?绍兴)考点：全等三角形判定与

12、性质；三角形内角和定理； 等边三角形判定与性质。专题：计算题；证明题；分类讨论。分析：(1)根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出/D=/DEB=30 °,推出 DB=BE=AE 即可得到答案；(2)作EF / BC,证出等边三角形 AEF ,再证DBEEFC即可得到答案；(3)分为两种情况：一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出 CD=3,二是在BC上求出CD=1,即可得到答案.解答：解：(1)故答案为:=.(2)故答案为：=.证明：在等边 4ABC 中，ZABC= ZACB= / BAC=60 °, AB=BC=AC ,. EF / BC , Z AEF= ZAFE=60 = / BAC , AE=AF=EF ,，ABAE=AC AF ,即 BE=CF ,. / ABC= ZEDB+ / BED=6