第24章圆教案

1、24. 1. 1 圆教学目标探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等 基本概念，能够从图形中识别.教学重点圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题.教学难点圆的运动式定义方法讨论完善课堂教学程序设计 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1:如图1,观察下列图形，从中找出共同特点.1/1图1学生活动设计：学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生 可以再举出一些生活中类似的图形.教师活动设计：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发 学生的学习渴望以及探究热情.二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神活动2：如图2,观察下列画圆的过程，你能

2、由此说出圆的形 成过程吗？（课件：画圆）图2学生活动设计：学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面 内一条线段如绕它的一个端点。旋转一周，另一个端点形成 的图形就是圆.教师活动设计：在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界 定：圆：在一个平面内，一条线段以绕它的一个端点。旋转一周， 另一个端点力所形成的图形叫作圆；圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线段"的长度叫作这个圆的半径.圆的表示方法：以点。为圆心的圆，记作“。0”，读作“圆同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.于是得到圆的

3、第二定义：/f所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.y活动3：讨论圆中相关元素的定义.如/_ c图3,你能说出弦、直径、弧、半圆的定人c一7义吗？图3学生活动设计：学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交 流中逐步完善自己的结果.教师活动设计：在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的 不准确的叙述，可以让学生讨论解决.弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以46为端点的弧记作A8,读作“圆弧志”或“弧AB”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 条弧都叫作半圆.优弧：

4、大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的 A8C；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的8c.活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有 什么结果？（课件：车轮；课件：方形车轮）学生活动设计：学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨 论，最后进行交流.教师活动设计：讨论完善引导学生进行如下分析：如图4,把车轮做成圆形，车轮上 各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮 在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当 车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如 果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交 点）距离地面的距离随着正方

5、形的滚动而改变，因此中心到 地面的距离就不是保持不变，因此不稳定.讨论完善口 D网,作业设计教科书P81： 13教学反思24. 1. 2垂直于弦的直径教学目标探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.课堂教学程序设计讨论完善一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1:用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复 做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件： 探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意

6、一条 直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性.二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探 究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个。0,沿圆周将圆剪下，把这 个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕Q?；1/1第三步，在。上任取一点4过点力作折痕的垂线，得 到新的折痕，其中点"是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点6,如图1.在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么

7、？（课件：探究垂径定理）学生活动设计：如图2所示，连接勿、0B、得到等腰018 即以=仍.因a?_L"，故O1M与的I都是直角三角形， 乂如为公共边，所以两个直角三角形全等，则乂 。关于直径 对称，所以月点和S点关于切对称，当圆沿着直径对折时，点力与点5重合，AC与8C重合.因此4佐&L AJBC,同理得到4） = 80.教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦 的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.活动3：如图3, 48所在圆的圆心是点。过。作0C_Ln6

8、于 点，若。4 m,弦月序16 m,求此圆的半径.图3学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件， 发现若/_L四，则有月分加，且490是直角三角形，在直 角三角形中可以利用勾股定理构造方程.教师活动设计：在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、 拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道 两个量，其余两个量就可以求出来.（解答）设圆的半径为尼 山条件得到/斤一4,心8,在加4?0 中 A。？ = OD1 + AD 即 * = (R - 4尸 + 8解得斤=10 (m).答：此圆的半径是10 m.活动4：如图4,已知AB,请你利用尺规作图的方法作出A

9、B的中点，说出你的作法.图4师生活动设计：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利 用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分 线与弧的交点就是弧的中点.(解答)1.连接力用2.作月6的中垂线，交AB于点心点。就是所求的点.小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性.讨论完善作业设计教科书P83： 12一教学反思一24. 1. 3弧、弦、圆心角教学目标通过探索理解并掌握：(1)圆的旋转不变性；(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理；教学重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.教学难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解 及定理的证明.讨论完善课

10、堂教学程序设计 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动11 .按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的。和, 沿圆周分别将两圆剪下；(2)在。和。0'上分别作相等的圆心角N生历和N A' 0' 6,，如图1所示，圆心固定.注意：在画44必与N4 O' S'时，要使必相对于见的方 向与0' B'相对于0, H的方向一致，否则当以与出'重 合时，0B与O' B'不能重合.(3)将其中的一个圆旋转一个角度.使得以与0' Ar重 合.通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交

11、流 一下，说一说你的理由.(课件：探究三量关系)师生活动设计：教师叙述步骤，同学们一起动手操作.由已知条件可知 NA05=NA，O' B'；由两圆的半径相等，可以得到NO步 =A OBA= A O' A' Bf = A O' B' Ar ；由 AOB A' O' F ,可得到R6=4 6 ；由旋转法可知=在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发 现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径0A与 O' H重合时，由于NA必=N© O' B'.这样便得到半径1 /1讨论完善OB与7 B,重

12、合.因为点力和点4重合，点5和点夕 重合，所以AB和人斤重合，弦45与弦A' B'重合，即AB = A'B AB=Af 5 .进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理： 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等.2 .根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？ (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 的圆心角相等，所对的弦相等；(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 的圆心角相等，所对的优(劣)弧相等.师生活动设计：本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述 命题是真命题.二、主体活动，巩固新知，进一步

13、理解三量关系定理.活动23如图 2,在中，AB = AC,/月b=60。， ' / “ 求证N月妗/月妗N BOC.：'y学生活动设计：图2学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析.由AB = AC ,得到A8 = AC, 月5。是等腰三角形，由/四 = 60° ,得到月5C是等边三角形，ABAOBC,所以得到N AOBAAOOABOC.教师活动设计：这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独 立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学 生交流自己的做法.(证明)：AB = AC AB=AC,板是等腰三角形.讨论完善乂 NAC5=60°

14、 ,板是等边三角形，ABBOCA.：./AOB=/AOO/BOC.小结：弦、圆心角、弧三量关系.作业设计P85：练习教学反思1/124. L 4圆周角教学目标1 . 了解圆周角与圆心角的关系.2 .探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.3 .能运用圆周角的性质解决问题.教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆 周角的特征.教学难点发现并论证圆周角定理.课堂教学程序设计讨论完善活动1 演示课个中或图片： 1教师演示课件或图片一：展 示一个圆柱形的海洋馆.教师解释:在这个海洋馆 里，人们可以通过其中的圆弧 形玻璃窗48观看窗内的海 洋动物.教师出示海洋馆的横截 面示意图，提

15、出问题.教师结合示意图，给出圆 周角的定义.利用几何画板演 示，让学生辨析圆周角，并引M三MIMU»乙（G之薪）X玻璃问题1如图：同学甲站在 圆心。的位置，同学乙站在正 对着玻璃窗的靠墙的位置U 他们的视角（ZAOB和 ZACB）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分 别站在其他靠墙的位置D和 E,他们的视角（NAO8和 NAE3）和同学乙的视角相同 吗？导学生将问题1、问题2中的 实际问题转化成数学问题：即研究同弧（4B）所对的圆心 角（ZAOB ）与圆周角 （4C8）、同弧所对的圆周 角（.ZACB、NADB、ZAEB 等）之间的大小关系.教师引 导学生进行探究.讨论完善活动2问题1

16、 同弧（弧 .45）所对的圆心角N/1仍 与圆 周角N月的大小关系是怎 样的？问题2同弧（弧？15 ）所对的圆周角N月&与圆周 角N月历的大小关系是怎样 的？cD教师提出问题，引导学 生利用度量工具（量角器或儿 何画板）动手实验，进行度量， 发现结论.教师利用几何画板课件 “圆周角定理”，从动态的角 度进行演示，验证学生的发 现.1 .拖动圆周角的顶点使 其在圆周上运动；2 .改变圆心角的度数；3 .改变圆的半径大小.讨论完善活动3问题1在圆上任取一个圆周角， 观察圆心与圆周角的位置关 系有几种情况？（课件：折 痕与圆周角的关系）问题2当圆心在圆周角的一边 上时，如何证明活动2中所发

17、现的结论？问题3另外两种情况如何证明，可否 转化成第一种情况呢？教师引导学生，采取小组 合作的学习方式，前后四人一 组，分组讨论.教师巡视,请学生回答问 题.回答不全面时，请其他同 学给予补充.教师演示圆心与圆周角的三 种位置关系.教师引导学生从特殊情 况入手证明所发现的结论.学生写出已知、求证，完 成证明.学生采取小组合作的学 习方式进行探索发现，教师观 察指导小组活动.启发并引导 学生，通过添加辅助线，将问 题进行转化.讨论完善活动4问题1半圆（或直径） 所对的圆周角是多少度？（课 件：圆周角定理推论） g问题2 90°的圆周角 所对的弦是什么？学生独立思考，回答问 题，教师讲评

18、.问题1提出后，教师关 注：学生是否能由半圆（或直 径）所对的圆心角的度数得出 圆周角的度数.问题2提出后，教师关 注：学生是否能由90°的圆 周角推出同弧所对的圆心角 度数是180° ,从而得出所对 的弦是直径.讨论完善而推 出ADB问题3在半径不等的圆 中，相等的两个圆周角所对的 弧相等吗？N月除30 °N4 S C =30°问题4在同圆或等圆中， 如果两个圆周角相等，它们所 对的弧一定相等吗？为什 么？问题5如图，点A、B、 C、。在同一个圆上，四边 形A8C。的对角线把4个内 角分成8个角，这些角中哪些 是相等的角？问题6如图，。的直径也 为 1

19、0 cm,弦 47 为 6 cm, Z ACB的平分线交。于D,求 BC、AD.劭的长.问题3提出后，教师关 注：学生能否得出正确的结 论，并能说明理由.教师提醒：在使用圆周角定理 时一定要注意定理的条件.问题4提出后，教师关 注：学生能否利用定理得出与 圆周角对同弧的圆心角相等, 再由圆心角相等得到它们所 对的弧相等.问题5提出后，教师关 注：学生是否准确找出同弧所 对的圆周角.问题6提出后，教师关 注：1.学生是否能由已知条 件得出直角三角形月5C、ABD；2.学生能否将要求的线 段放到三角形里求解；3.学生能否利用问题4的结 论得出弧月。与弧班相等，进1 /1成绩是如何计算的吗？讨论完善

20、活动5问题通过本节课的学习 你有哪些收获？教师带领学生从知识、方 法、数学思想等方面小结本节 课所学内容.讨论完善教学反思作业设计教科书P88：练习1/1点8,点C与圆心O24.2.1点和圆的位置关系|理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系,探求过点 教学目标 画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。教学重点（1）点和圆的三种位置关系，（2）过三点的圆。教学难点 点和圆的三种位置关系及数量关系。讨论完善课堂教学程序设计（一）创设情境 导入新课活动一：观察我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉, 图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径 不相同）构成的，你知道

21、击中靶上 不同位置的成绩是如何计算的吗？ 活动二：问题探究问题1：观察图中点A,点8,点C 与圆的位置关系？点A在圆内，点8在圆上，点C 在圆外 问题2：设。O半径为八说出来点A, 的距离与半径的关系：。4<八OB = r, OC>r问题3：反过来，已知点到圆心的距 离和圆的半径，能否判断点和圆的位 置关系？设0。的半径为，点尸到圆心的距 离OP = d,则有：点P在圆内Odvr 点P在圆上Od二r 点P在圆外<=>d>r （二）合作交流解读探究 活动三 你知道击中靶上不同位置的射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他 们把靶图由内到外分成几个区域，这些区

22、域用山高到底的环 数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示.弹着 点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近， 它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩 越好.活动四：探究（1）如图，做经过已知点4的圆，这样的圆你能做出多少 个？（2）如图做经过已知点8的圆，这样的圆你能做出多少 个？他们的圆心分布有什么特点？经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？L2分析：如图三点A、B、C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过4、B、C三点，所以圆心 到这三点的距离相等，因此这个点 要在线段48的垂直的平分线上，乂 要在线段BC的垂直的平分线上.L分别连接43、B

23、C、AC2 .分别作出线段A8的垂直平分线 /1和，2,设他们的交点为O，则 OA=OB=OCx3 .以点。为圆心，04 （或OB、OC） 为半径作圆，便可以作出经过A、8、 C的圆.由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是点。，半径等于QA, 所以这样的圆只能有一个，即：课堂小结：不在同一条直线上的三点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的 外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点， 叫做这个三角形的外心.作业设计教科书P95： 13教学反思24. 2. 2直线和圆的位置关系教学目标1 .探索并了解直线和圆的位置关系.2 .根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的

24、数量关系揭示直线 和圆的位置关系.3 .能利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系.教学重点探索并了解直线和圆的位置关系.教学难点掌握识别直线和圆的位置关系的方法.问题与情境师生行为讨论完善活动1(1) “大漠孤烟直，长河 落日圆”是唐朝诗人王维的 诗句，它描述了黄昏日落时 分塞外特有的景象.如果我 们把太阳看成一个圆，地平 线看成一条直线，那你能根 据直线和圆的公共点个数想 象一下，直线和圆有儿种位 置关系吗？(2)观察用钢锯切割钢 管的过程，抽象成几何图形 间的位置关系.学生观察一轮红日从海平 面升起的过程和用钢锯切割钢 管的过程，教师提出问题，让学 生结合学过的知识，把它们抽象

25、成儿何图形，再表示出来.在本次活动中，教师应重点 关注：(1)学生能否准确地观察出圆 相对于直线运动的过程中，有几 种位置关系；(2)学生能否根据直线和圆的 公共点个数，画出三种不同的位 置关系.活动2请同学在纸上画一条直 线，把硬币的边缘看作圆， 在纸上移动硬币，你能发现 直线和圆的公共点个数的变 化情况吗？公共点个数最少 时有儿个？最多时有儿个？学生动手操作、观察、发现、 归纳出直线和圆的公共点个数 的变化情况.教师演示直线和圆 动态的变化过程，帮助学生用语 言描述直线和圆的三种位置关 系，明确概念.教师应重点关注 学生能否根据操作，观察直线和 圆的位置关系，作出相应的图形活动3问题：(1

26、)能否根据基本概念 来判断直线与圆的位置关 系？(2)是否还有其他的方法来 判断直线与圆的位置关系？教师提出问题，学生思考作答.学生掌握识别直线与圆的 位置关系的方法，即直线和圆公 共点的个数，圆心到直线的距离 和圆半径的数量关系，都可以用 来揭示直线和圆的位置关系.讨论完年活动4(1)应用例已知：如 图所示，N力好30° , P为 出上一点，且如5 cm,以产 为圆心，以斤为半径的圆与 直线以有怎样的位置关系？ 为什么？ 后2 cm；a后2. 5 cm； 与0PB后4 cm.(2)练习师生共同完成例题和练习 的求解.本次活动，教师应重点关注：(1)学生能否利用直线和 圆公共点的个数

27、判断直线和圆 的位置关系；(2)学生能否利用圆心到直 线的距离和半径间的数量关系 判断直线和圆的位置关系.活动5小结这节课我们主要研究了 直线和圆的三种位置关系和 识别直线和圆的位置关系的 方法，你有哪些收获？学生自己总结，教师应重点关 注：(1)学生对直线和圆的位置 关系的性质和判定总结是否全 面；(2)是否有学生能从这节 课的学习中，体会到分类讨论的 数学思想和数形结合的数学思 想在研究问题中的重要性.作业设计教科书P96：练习P98：练习 1-2P100：练习 1-2学思 教反24. 3正多边形和圆教学目标1 . 了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心 距、中心角等概念.

28、2 .在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运川圆的有关知 识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.教学重点探索正多边形与圆的关系，了解的有关概念，并能进行计算.教学难点探索正多边形与圆的关系.教学过程设计讨论完善活动1观看下列美丽的图案.富 爨问题1这些美丽的图案， 都是在日常生活中我们经常能 看到的、利用正多边形得到的 物体.你能从这些图案中找出 正多边形来吗？问题2你知道正多边形和 圆有什么关系吗？你能借助圆 做出一个正多边形吗？教师演示课件或展示 图片，提出问题1.1学生观察图案，思考并指出找到的正多边形.教师关注：(1)学生能否从这些 图案中找到正多边形；(2)学生

29、能否从这些 图案中发现正多边形和圆 的关系.教师提出问题2,引导 学生观察、思考.学生讨论、交流，发表 各自见解.活动2问题1将一个圆五等分，依次连 接各分点得到一个五边形，这 五边形一定是正五边形吗？如教师演示作图：把圆分 成相等的5段弧，依次连接 各个分点得到五边形.教师引导学生从正多 边形的定义入手，证明多边果是请你证明这个结论.问题2如果将圆A等分，依次连 接各分点得到一个边形，这A 边形一定是正边形吗？问题3各边相等的圆内接多边形 是正多边形吗？各角相等的圆 内接多边形呢？如果是，说明 为什么？如果不是，举出反例.形各边都相等，各角都相 等，引导学生观察、分析.教师带领学生完成证 明过程.教师提出问题2,学生思考， 同学间交流，回答问题.教师提出问题3,学生 讨论，思考回答.教师关注： （1）学生能否利用正多边 形定义进行判断；（2）学生 能否由圆内接多边形各边 相等，得到弦相等及弦所对 的弧相等，进而证明圆内接 多边形的各内角相等；（3）学生能否举出反例说 明各角相等的圆内接多边 形不一定是正多边形.教师 讲评.讨论完善活动4小结学完这节课你有哪 些收获？学生自己总结，不全面