第十七届华杯赛决赛小高笔试A答案

1、第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A参考答案（小学高年级组）第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A参考答案（小学高年级组）一、填空（每题10分，共80分）一、解谷卜列各题（每题10分,9.答案：是.解答.连接AC.则SECKB = S.CEB S.BCK二 S.CEB S.BCA=S.ACE = S.EAD所以共40分，要求写出简要过程）ADKS OBE .=S. EADSECKB -S.OBE题号12345678答案18624015371874396-5 -因此SECKO四边形ABOD的面积二四边形ECKO的面积.10.答案:台匕 目匕解答.首先构造5黑4的长方形如下：11

2、.答案：2025, 3025, 9801.解答.设一个四位卡布列克怪数为100x+y,其中10ExW99,0W yW 99.则由题意知100x + y = (x + y)2,两边模99得,、2 ,x y = (x y) (mod99),因此99|(x + y)(x + y-1),故x + y与x+y-1中有一个能被 9整除，也有一个能 被11整除(可能是同一个数)，且有102 E(x + y)2 =100x + y <1002 ,即10<x+y <100.(*)若x+y能被99整除，由(*)知x + y只能是99,满足条件白四位数是 9801; 若x+y 1能被99整除，由(

3、*),显然没有满足条件的四位数；止匕外，可设x + y = 9m, x + y1 = 11n,则有9m-11n=1,由(*) , m和n均为小于12的正整数， 故得到m= 5, n=4, x + y只能是45,满足条件白四位数是2025;反之,可设 x + y1 = 9m, x + y = 11n,满足条件的四位数是 3025.故四位数中有三个卡布列克怪数，它们分别为2025, 3025和9801.12 .答案：1或2解答.对于质数3, 32被3整除.其余的质数，要么是3k+1型的数，要么是 3k+2型的数.由于(3k 1)2 =9k 6k 1 =3(3k2 2k) 1,被3除余1,且(3k

4、2)2 =9k2 12k 4 =3(3k2 4k 1)1,被3除也余1.因此有(1)若这98个质数包含3时,N被3除的余数等于97被3除的余数，等于 1.(2)若这98个质数不包含3时，N被3除的余数等于98被3除的余数，等 于2.三、解答下列各题(每题15分，共30分，要求写出详细过程)13 .答案:3,9,11,18解答.设起跑时间为0秒时刻，则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为0,9, 72k-9,72k 9, k =1,2,3,和0,10 , 80m -10,80m 10, m =1,2,3,.其中a, b表示第a秒时刻至第b秒时刻.显然0,9即前9秒里两类时间段的公共部分.止匕外，

5、考虑72k-9,72k+9和80m-10,80m+10的公共区间,k,m为 正整数，分两种情况：1) 72k =80m,即小李和小张分别跑了 k圈和m圈同时回到起点，他们二人 同时在划定区域跑了 18秒.2) 72k 8 80m,例如72 上-972+980加-1080掰+1072k -9 M80m 10 M72k + 9 M80m+10仁 1 <80m-72k <19 . 两人同时在划定区域内跑了 72k十9(80m10) = 19 (80m 72k).由知 80m-72k=8, 16.于是两人同时在划定区域内跑持续时间为 11秒或3秒.其它 情况类似可得同样结果.综上，答案为3

6、,9,11,18.14.答案：150解答.设立方体的长，宽，高分别为乙y, x,其中x<y<z,且为整数.注意，两 面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现.如果x=1, y=1,则没有两面为红色的立方块，不符合题意.如果x=1,y>1,则没有只有一面为红色的立方块，不符合题意.因此x2.此时两面出现红色的方块只能与长方体的棱共棱.一面出现红色的方块只与立方体的面共面.有下面的式子成立4x(x-2)+(y-2)+(z-2)=40,(1)2 M(x 2)(y 2)十(x-2)(z-2)+(y-2)(z -2) =66 .(2)由(1)得到x + y+ z=16,(3)由(2)得

7、到xy + xz + yz = 85 .(4)由（3）和（4）可彳3，x2 + y2 + z2 = 86 ,这样 1 M x, y, z M 9 .由（4）得至U2（x 十 y）（ x + z） = 85 + x .（5）若x = 2,则由（5）得至ij （2 + y）（2 + z）=85+4 = 89=1父89, y,z的取值不能 满足（3）.若 x=3,则由（5）得至 I （3+y）（3 + z）=85 +9=94 = 2><47, y,z 的取值不能 满足(3)若 x = 4,贝 U 由(5)得至 I (4 + y)(4 + z) = 85 + 16=101 =1父101, y,z 的取值不 能满足(3).当 x=5 时，由 (5) 得至 1 (5 + y)(5 + z)