函数单调性教案.doc

1、一、课题： 函数的单调性二、教学目标1、知识目标：从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法2、能力目标：通过对函数单调性定义的探究，培养学生渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力3、情感目标：通过对单调性的探究培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程三、教学重难点教学重点：函数单调性和单调区间理解，单调性定义法证明教学难点：抽象函数单调性判断、证明，数形结合初步理解与应用。四、教学方法：教师

2、启发讲授为主，学生探究学习五、教学用具：彩色 粉笔、三角板、多媒体辅助教学六、课型： 新授课七、教学过程（一）创设情境，引入新课在上新课之前，我们回顾一下上节课学习函数的知识！（讲新课）首先，问问大家都知道北京奥运会开幕式在8 月 8 日这一天。而且开幕式举办的非常完美，其中一点就是天气预报给了我们基础，那我们来看看开幕式当天的天气变化情况，下图为北京市当天的气温变化曲线图：3332313029282726252404812162024通过观察上图并说说函数图像有什么特征？发现图像高低起伏，既有上升又有下降.我们学习了函数，这里我们就可以把时间t看做自变量，温度T相应的就是我们 的函数值，图像

3、的高低起伏也就体现出了函数中两个变量之间的变化规律.函数随自变量变化而规律的变化，就称为函数的单调性。所以接下来我们一起来探究的就是函 数的这一性质函数单调性！(二)合作探求，获得新知首先，回顾初中所熟知的一次函数、二次函数、正比例函数的图像的变化规律是 什么？请同学上黑板画出一次函数 y x 1, y x 1, y x2的图像来！并且让同学从图像上观察图像的起伏变化！总结：函数图像的共同特点是，在定义域某区间内都有 上升或下降！那么我们这里以二次函数为例：刚才同学们已经说了y x2的图像时随着自变量x增大，函数值先减小后增大。这就是我们函数的单调性，那么我们怎样来准确的描述这种单调性呢？那么

4、我们首先来观察y x2图像的右半部分上升部分，我们取一个x1,对应的函数值是f (x1),随着 x1慢慢的增大f (x1)也在慢慢的增大，那么我们如何用数学语言来准确的表达出此 函数的这一性质-单调性?(引导同学一起探究出增函数的定义说法)再请同学类比增函数说出减函数的定义！1、函数单调性的概念kP- k一般地，设函数yf(x)的定义域为I ：pv一v如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量的值不、X2,(1)当X1 X2时，都有f(Xi) f(X2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数；(2)当Xi X2时，都有f(Xi) f(X2),那么就是f(x)在这个区间上是减函数.如果函数y

5、f(X)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说y f(X)在这一区 间具有(严格的)单调性，这一区间叫做 y f(X)的单调区间，在单调区间上增函数 的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；(2) 为、X2为给定区间上的任意值；(3)不等关系：当Xi X2, f(Xi)与f(X2)的大小关系.(三)概念的应用及函数单调性的证明现在我们了解了函数单调性的定义了， 我们是从函数图像上面观察出的这 一性质，那么如果给一个函数，我们不易画出它的图像，我们又怎样来判断它 的单调性呢？大家思考一下！ 、八k一 一例：例：物理学中的玻

6、意耳定律 P - (k为正常数)告诉我们，对于V一定量的气体，当其体积V减小时，压强将增大，试用函数的单调性证明之。从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是 有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认， 这才是我们研究函数单调性的基本途径.分析：我们从刚才的定义可以找到如果要说函数是增函数，那么就要找出Xi X2, f(Xi) f(X2)这两组数量关系，对于f(Xi)和f(X2)我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a,b如果a b,那么它们的差a b就大于零；如果a b,那么它们的差a b就等于零；如果 a b,那么它们的差a b就小于零

7、，反之也成立.因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系.怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程.设”?2是（，0）上任意两个自变量，当XiX2时,f(Xi) f(X2)Xi1Xi，1、，( X2)(X1X211X2X1X2)()(X1X2 )X1X2X1 X2X1X2(X1X2)X1X2因为 X1X2 0,所以 X1X2 0所以 f(X1) f(X2) 0所以根据定义得f（X）是增函数.一开始设、?2是（，0）内任意两个自变量，并设X1 X2 （边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“一设”），然后看f（X1） f（X2）,这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是

8、分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”一作差，变形”）.但美中 不足的 是他没 能说明 为什么f（X1） f（X2） 0 ,没有 用到开 始的假设“X1 X2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为 X1 X2 ,所以 X1 X2 0,从而 f（X1） f（X2） 0,即 f（X1） f（X2）.” 这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“一定符号" ）.最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“一下结论” ）.归纳解题步骤：引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元；作

9、差、变形；断号；定论.（四）课堂练习练习：判断函数f（X） - （a 0）在区间（0,）上的单调性？并证明结论X（五）课堂小结本节课我们学习了函数单调性的知识，其实就是将以前通过图像观察函数变化规 律转换到解析式来计算.同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明.（六）作业布置练习 P39 2 3 A组 1,2八板书设计1.3.函数的单调性1函数单调性的概念2单调性的证明步骤例题解析例：练习：多媒体展示区函数的基本性质在事物变化过 租中.保持不变的 价征就是这个事物 的姓质.函数是描述小物运动变化规律的数学模型.如果解r

10、南数的变化规汴,那么也就某木把握r相应事物的变化规 律.因此研究函数的性质,如函数在什么时候递增或递减. 有没有最大值或最小值.函数图象布什么特征等，是非常用 要的.观察图L3T中的各个函数图象.你能说说它们分别反 映了相应函数的哪些变化规律吗？苒先我们研究一次函数八外=/和二次函数八"= 合的单调性.图 1.3-2第一节燮合与函数微念 第一章观察图1.3-2.可以看到：函数 I的图象由左至右是上升的:函数/Q） 万的图象在y轴左侧是下降的，住y轴右的是上升的.函 数图象的“上升s “下降”反映/函数的一个加本性质 单调性.那么.如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？以二次函数/Cr

11、）=/为例.列出口1y的对应值表13.表1-3对比图1.3-2（2）和表13 可以发现:图象在了轴左储”下降。也就是在区间（一8. 0 上.劫着/的增大相应的八户反而的M诚小：图象在y 轴右侧“上升。也就是,在区间S，4-oo）L.磁石/的增 大.相应的人外也随着增大.I需2如何利用函数解析式八”）=/描述”随着1的增大.相应的人力随 着减小随着上的增大，相应的/Cr）也随着增大.”？你能仿照这样的将 选.说明函数/力=/ 在区间（一 8, 0上是或 的效鸣？对于二次函数）=/，我们可以这样来描述“在区 间（0. 4-oo） h.随在上的增大,相应的八工）也随在增 大.”：住区间（0+8）上任

12、取两个为,网,得到八.门） ，一 ，；）="当 nVn 时.Q/（， /（，）.这时 我们就说函数/）=在区网（0. +8）上是增函数.一般地.设函数八幻的定义域为/:如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个门变赫的 值补 4,当4 V4时，都有，（再）/（4那么就说函 数/（丁）在区间D上是增函敷（increasing function） （ffl 1.3-3（1）;如果对于定义域/内某个区间D上的任任两个门变依的 值M. 4，当丈。2时./（X,»/（.T：）,那么就说函 数/（1）在区间D上是减函数（decreasing function）（图 1. 3-3（2）.出

13、 1.3-3如果函数.y=/Cr）在区间D上址增函数或述函数.那么 就说函数y=/（外在这一区间具有严格的）单网性.区间 Q叫做、=，（/）的单调区阿.例1图1.3-4是定义在区间-55上的函数 y=/Q），根据图象说出函数的单谢区间，以及在每一单谢 区间上,它是增函数还是迎函数？图 1.3-4解：函数y = / J)的单调区间有- 5-2). 1-2. 1)- U 3)> 3. 5.其中 y=/(1)在区间 -5. -2). 1. 3)上是从函数.在区间-21). 3. 5 上是增函数.例2物理学中的玻您耳定律夕§柒为正常数）告 诉我们.对于一定出的气体.当我体枳V域小时.压

14、强A 将增大.试用函数的单调性证明之.分析：按题意.只要证明函数/>=。在区间（0. 4-oo） 上是减函数即可.证明：根据单谢性的定义.设匕是定义域II34第一摩尔合与函数底含第一章（0. +8）上的任意两个实数，且HVK.则由. v2e（o. +oo）.得%>o,由%。2,得匕一%>。.又心>0.于是P（V|）-P（V2»O>即通过观察图 要.先时事乳是否具有某种41度做出： 猜想.然后通过辽 样推理.证明这种所以.函数。=6ve（o. +8）是减函数,也就是 说,当体积V减小时.压强p将增大.昌出反比例西数尸土的图象.（1）这个函数的定义域/是什么？（2）它在定义域/