锐角三角函数的易错题汇编含答案

1、锐角三角函数的易错题汇编含答案一、选择题B 30 , AD是 BAC的角平分线， AC= 6,1.如图，在 RtVABC 中，C=90 , 则点D到AB的距离为（）D. 3. 3如图，过点D作DE，AB于E,根据直角三角形两锐角互余的性质可得/ BAC=60,由AD 为/ BAC的角平分线可得/ DAC=30,根据角平分线的性质可得 DE=CD利用/ DAC的正切 求出CD的值即可得答案.【详解】 / B=30°, / C=90 , .-.Z BAC=60 , . AD 平分/ BAC/ DAC=30 , DE=CD ,.AC=6, . CD=ACtan / DAC=6 叵=273

2、,即 DE=2 V3 ,3，点D到AB的距离为2眄,故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜 边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两 边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.赵爽弦图”如图所示,2.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则 sin2cos ()A.一5【答案】A【解析】【分析】B.9D.-5根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5非，小正方形的边长为5

3、,再根据直角三角形的边角关系列式即可求解.【详解】解：,大正方形的面积是125,小正方形面积是 25,大正方形的边长为 5J5,小正方形的边长为 5,5>/5 cos5日sin5 ,sin1 sincos故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cos sin .5313.菱形ABCD的周长为20cm,DEL AB,垂足为E,sinA=,则下列结论正确的个数有（5DE=3cm;BE=1cm;菱形的面积为 15cm2;BD=2/10 cm.A. 1个【答案】CB. 2个C. 3个D. 4个【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个

4、选项进行分析，从而得到答案【详解】菱形ABCD的周长为20cm，AD=5cm a 3- sinA= 51. DE=3cm （正确）AE=4cm/ AB=5cm，BE=5- 4=1cm （ 正确），菱形的面积=ABX DE=5< 3=15cm （ 正确）DE=3cm,BE=1cm，BD=Mcm （不正确）所以正确的有三个.故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键A的正切值等4.如图，那BC内接于半径为 5的。O,圆心。至IJ弦BC的距离等于3,【答案】C【解析】D.试题分析：如答图，过点 。作ODL BC,垂足为D,连接OB, OC, ,. OB=

5、5, OD=3, 根据勾股定理得 BD=4. /A=1/BOC,/A=/BOD.2BD 4 . tanA=tan / BOD= OD 3故选D.B D考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义.BD= BA,5.如图，在 GABC中，AC± BC, / ABC= 30 °,点D是CB延长线上的一点，且 则tan / DAC的值为（）A. 2+ 33 【答案】A 【解析】 【分析】B. 2 ,3C. 3+ 3D. 3 . 3【详解】设 AC=x,在 RtAABC 中，/ABC=30,即可得 AB=2x, BC=J3x,所以 BD=BA=2x,即可得

6、 CD=J3x+2x= ( J3+2) x,在 RtAACD 中，tan / DAC=CD 逃 2)x J3AC故选A.A与点B6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6, 8,现将VABC如图那样折叠，使点重合，折痕为DE ,则tan CBE的值是（）【答案】C【解析】D.试题分析：根据题意，BE=AE设BE=x,贝U CE=8-x在 RtBCE中，x2=(8-x) 2+62,解得 x=25,故 CE=8-25=7 ,. .tan/CBE=CE 7CB 24故选C.考点：锐角三角函数.7.如图，从点 A看一山坡上的电线杆 PQ ,观测点P的仰角是45 ,向前走6m到达B 点，测得顶端点P和杆底端

7、点Q的仰角分别是60和30。，则该电线杆PQ的高度（）4 BA.6273B.6 向C.10V3D. 8V3【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E,设PE=x米，在直角 AAPE和直角ABPE中，根据三角函数利用 x 表示出AE和BE,列出方程求得x的值，再在直角 ABQE中利用三角函数求得 QE的长，则 问题求解.【详解】解：延长PQ交直线AB于点E,设PE=x在直角 GAPE中，/ A=45 ,AE=PE=x / PBE=60/ BPE=30在直角 ABPE 中，BE=3 PE= x, .AB=AE-BE=6 米,33则 x- _! x=6,解得：x=9+3 3 .则 BE=37

8、3+3.在直角 BEQ 中，QE=-3 BE= （373+3） =3+石. 33PQ=PE-QE=9+3/3- （3+5 =6+2 73.答：电线杆PQ的高度是（6+2 J3）米.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题8.如图，在x轴的上方，直角/ BOA绕原点。按顺时针方向旋转.若/ BOA的两边分别与1 2 .函数y 、y 的图象交于b、a两点，则/ oab大小的变化趋势为（）A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明 ABE84 056 ,彳#到些 匹；设B为（a, 工），A为OF

9、 AFa2 12（b,-）,得到OE=-a, EB= 一，OF=b, AF=-,进而得到a2b2 2,此为解决问题的关 bab键性结论；运用三角函数的定义证明知tan/0AB=Y2为定值，即可解决问题.2【详解】解：分别过B和A作BE,x轴于点E, AFx轴于点F,则BE8 OFABE 0EOF AF设点B为（a，1）人为（"2）,ab则 OE=-a, EB= 1, OF=b, AF=2, ab可代入比例式求得a2b22 ,即a2 -22,b根据勾股定理可得:OAB的大小保持不变.tan / OAB=OAb24b2/ OAB大小是一个定值，因此/故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数

10、图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判 定等知识点来分析、判断、推理或解答.9.在半彳仝为1的e O中，弦AB、AC的长度分别是 J3 , J2 ,则 BAC为（）度.A. 75B. 15 或 30C. 75或 15【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为 C点位置待定，所以分情况讨论求解. 【详解】利用垂径定理可知：AD=e AE 也.2 '2D. 15 或 45-0Bsin/AOD=® . AOD=60 ;22sin/AOE*,，/AOE=45;2. / BAC=75 .

11、当两弦共弧的时候就是 15。.故选：C.【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形10.将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放,与直尺的交点，AB=4,则光盘表示的圆的直径是 (A为60。角与直尺白交点，B为光盘 )【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为 C,连接OA、 后根据三角函数，即可得出答案 .【详解】8 .3C. 6D. 4,3OB,根据切线长定理可得 AB=AC=3, / OAB=60 ,然连接OAOB,由切线长定理知，AB=AC=3, AO平分/ BAC, ./ OAB=60°,在 RtAABO 中,OB=ABtan / O

12、AB=4 6,光盘的直径为 8人.故选：B.【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数11 .如图，一架飞机在点 A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为“，水平飞行 m千米后到达点B处，又测得标志物 P的俯角为 3那么此时飞机离地面的高度为（）A COTH千米BCOTOT千米Cmtan tan千米D. tan千tan米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P点做一条直线垂直于直线 AB且交于点O,由锐角三角函数知，AO=POCOt ,BO=POCOt ,又 AB=m=AO-BO= POcot - POCOt =m.所以答案选 A

13、.COt COt【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键12 .如图，点。为那BC边AC的中点，连接 BO并延长到点 D连接AD、CD,若BD=12, AC=8, /AOD= 120 °,则四边形 ABCD的面积为（）A. 2 而B. 2 &C. VTCD. 24向【答案】D【解析】【分析】分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为 M、N,通过题意可求出 AM、CN的长度，可计 算三角形ABD和三角形CBD的面积，相加即为四边形 ABCD的面积.【详解】解：分别过点 A、C作BD的垂线，垂足分别为 M、N,点。为AABC边AC的中点，AC=8,

14、.AO=CO=4, . / AOD= 120°, . / AOB=60 , / COD=60 ,AM AM sin/AOB AO 4CN CN sin/COD CO 42 AM= 2, CN=273,-S*A ABDBDgAM 12c BDgCN> BCD2212 2.32班 12.3,12.3，SI边形 ABCD =S/X ABDSA BCD12、3 12,3 24.3故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键13. cos60o3A. 一2tan45o的值等于(B 2B.2C 3 C.D. 1【答案】A【解析】【分析】 根据特殊角的三

15、角函数值计算即可.【详解】13解：原式 一1 一.22故选A.【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.14.如图，在菱形 ABCD中，按以下步骤作图： 分别以点C和点D为圆心，大于-CD2为半径作弧，两弧交于点 M, N;作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,D.sin CBEadeC.若 AB=4,则 BE 4 7,2114【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分得到/ ABC=60 ;利用CD,则/ AED=90, CE=DE 于是可判断/ DAE=30 , / D=60 ,从而AB=2DE得至ij Smbe=2Smde；彳EH，BC

16、于 H,如图，若 AB=4,则可计. 1LL一算出CH=-CE=1, eh=J3ch=J3,利用勾股定理可计算出BE=2J7 ；利用正弦的定义得2EH .21sin / CBE= .BE 14【详解】 解：由作法得 AE垂直平分CD,/ AED=90 , CE=DE 四边形ABCD为菱形，.AD=2DE,/ DAE=30 , / D=60 , ./ABC=60,所以A选项的说法正确； .AB=2DE,Saabe=2Sade,所以B选项的说法正确;在 RtECH中，. / ECH=60 ,作EHL BC于H,如图，若 AB=4,1CH= CE=1,2eh=73 ch=V3 ，在 RtABEH 中

17、,EH sin/CBE=BE故选C.【点睛】be=V（T3）2 52 2J7，所以c选项的说法错误;耳叵,所以D选项的说法正确.2,714本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知 角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考 查了菱形的性质和解直角三角形.15.在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度 CD .如图，嘉淇与假山的水平距离 BD为6m ,他的 眼睛距地面的高度为1.6m ,嘉淇的视线经过量角器零刻度线 OA和假山的最高点 C,此 时，铅垂线OE

18、经过量角器的60刻度线，则假山的高度 CD为（）A.2>/31.6 mb.2& 1.6 mC,4暮1.6 md.2>/3m【答案】A【解析】【分析】根据已知得出AK=BD=6m,再利用tan30 = CK SK ,进而得出CD的长.AK 6【详解】解：如图，过点 A作AK CD于点KBD=6米，李明的眼睛高 AB=1.6米，/ AOE=60,DB=AK, AB=KD=1.6米，/ CAK=30 ,，tan30CK CKAK 6解得：CK=2j3即 CD=CK+DK=2/3 + l.6= （2逝+1.6） m.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角

19、三角形，解答关键是应用锐角三角 函数定义.16.如图，在平面直角坐标系中，AOB的顶点B在第一象限，点 A在y轴的正半轴上，AO AB 2, OAB 1200,将 AOB绕点。逆时针旋转90o,点B的对应点B'的D. ( 3, 3)【答案】D【解析】【分析】过点B'作x轴的垂线，垂足为 M,通过条件求出 B'M , MO的长即可得到 B'的坐标.【详解】解：过点B'作x轴的垂线，垂足为 M, AO AB 2, OAB 120 ,A'O A'B' 2, OA'B' 120 ,B'A'M 60 ,在直角

20、A'B'M中，sin/B'A'M二巨她二星旦二3 ,B' A' 22/A' M A' M 1cos / B' A' M = 一 ,B' A' 22B'M B A'M 1, .OM=2+1=3 ,B'的坐标为（3, J3）.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助 线，构造直角三角形解决问题.17 .如图，两根竹竿 AB和AD斜靠在墙CE上，量得 BAC 60 , DAC 70竿AB与AD的长度之比为（）A. 2sin70

21、B. 2cos70【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出C. 2tan70_2D.tan 70AB, AD的长，即可得出答案.解：/ BAC=60, /DAC=70,AC 1.cos60 = 一AB 2 '则 AB=2AG_ o AC . cos70 =,AD.,.AC=AD?cos70°,AD=AC cos70AB 2ACAD AC =2cos70 :cos70故选：B.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键.18 .如图，基灯塔 AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i=1: 0.75.小明为了测得灯塔的高度，他首先测得 B

22、C= 20m,然后在C处水平向前走了 34m到达一建筑物底部 E处，他在 该建筑物顶端F处测得灯塔顶端 A的仰角为43°.若该建筑物E已20m,则灯塔AB的高度 约为(精确到 0.1m,参考数据：sin43 = 0.68, cos43 = 0.73, tan43 °= 0.93)()DCEA. 46.7mB. 46.8mC. 53.5mD. 67.8m【答案】B【解析】【分析】根据山坡的坡度i=1： 0.75,可得 变 =4,设BD= 4x, CD= 3x,然后利用勾股定理求得 CD 3BD= 4x= 16m, CD=3x=12m；再利用矩形的性质求出FG= DE=46m,

23、 BG= DG - DB=4m,最后利用三角函数解直角三角形即可.【详解】 解：如图，.一/ ADC= 90°, i=1： 0.75,即 BD =CD 3设 BD= 4x, CD= 3x,贝U BC= J(4x)2(3x)2 =5x=20m ,解得：x=4,-.BD = 4x= 16m, CD= 3x=12m,易得四边形DEFG是矩形，则 EF= DG= 20m, FG= DE= DC+CE= 12+34=46 (m),.BG=DG- DB= 4m ,在 RtAAFG 中，AG= FGtan / AFG= 46 - tan43 ° =46X=0.412.78 ( m), .

24、AB=AG+BG= 42.78+4 = 46.8(m),故选：B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.19.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BEX AC于点F,则下列结论中错误的是()A. AF= -CF2B. / DCF= / DFCC.图中与AAEF相似的三角形共有 5个D. tan Z CAD=-2【答案】D【解析】【分析】，一 11AE AF 1由AE=- AD=-BC,又AD/ BC,所以 ，故A正确，不符合题意;22BC FC 21过D作DM / BE交AC于N,得到四边形 BMDE是平行四边形，求出 BM

25、=DE= BC得到2CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故 B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由BAe ADC,得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan/CAD的值，故D错误，符合题意.【详解】解：A、 AD/ BC, . AED CBFAE = AF )BC FC1 1- AE= -AD= - BC, 22AF 1=一，故A正确，不符合题意;FC 2B、过 D作 DM / BE交 AC于 N,1. DE/ BM, BE/ DM,四边形BMDE是平行四边形,1 . BM = DE= BC2，.-.BM = CM,，CN= NF,. BEAC 于点 F, DM / BE,DNXCF,.-.DF= DC,丁./ DCF= / DFC,故B正确，