数列之累加法与累乘法老师专用

1、数列之累加法与累乘法老师专用1.累加法设数列an中，a? =2, an+1 = an+n+ 2,则通项an=解析：由已知得 an+1an=n+2,于是有 an-a?=(an an-1 ) + ( an-1 an-2) + ( an-2 an-3) +(a?-a?)(R+1)+n nn2+3n 4=32x(n一1)2a0= a?+n2+ 3n4 n2+ 3n n(n +3) 2(n>2)经检验当n=1时也符合该式.an=手2. 设数列an中，a?=3, an= ae+2n,则通项 an=_.解析：由已知得an - an-1 = 2n,于是有 an- a?=(an ani-1) + (ani

2、-1 an-2) + (an-2 - an-3) +(a?-a?)2n+42x ( n 1) = (n+ 2)( n- 1) .an= a?+ ( n+ 2)( n 1) = 3 + (n+ 2)( n 1) = n2+ n + 1 (n>2).经检验当n= 1时也符合该式.， a=n2+n+1.3. (2010 辽宁卷 T16)已知数列an满足 a?=33, an+1-an=2n,贝俨的最小值为_.解析：a? a? = 2, a? a?= 4, a4a?=6,，an an-1 = 2(n 1), 以上各式左右两边分别相加，得ani a? =2+ 4+6+ 2( n 1) = n( n1

3、)，an qqan= a?+n(n1) =33+n( n1),则 一 一十 n1n ，/* 若 x>0, xC133R,由基本不等式可得33十x>2 §3,当且仅当x= - 33时取得最小值.最接近 33的两个整数是当n= 5时, a33=5由自当n=6时,a3321 53=6 45 = 2 <所以an的最小为212 -4. (2011则a8=四川卷T8)数列an的首项为 3,bn为等差数列且bn= an+i - an(nW).若b?= 2,bio= 12,解析：设bn的公差为d,则d=4) .bio b?10-3=2, bn= b? + (n 3) d = 2(n

4、 4),即 an+i an= 2( n则 a? a?= 6, a? a? = 4, a4 a? = 2,，an an)-1 = 2( n 5), 累加彳导到 an- a?= ( 6) + ( 4) + ( 2) + + 2( n-5) = ( n-8)( n 1), 故 ani= 3+ ( n 8)( n 1) , a8= 3.5.0(2015江苏卷T11)累加法&裂项相消法设数列an满足a?=1,且an+1-an=n+ 1 ( n N*),则数列前10项的和为.解析：由 a?= 1,且 an+1-an= n+ 1 ( nC N*) 得，an = a? + (a? a?) + (a?

5、a?) +n (a n+ n吐1 ) 故数列n(n +a ) = 1 + 2+ 3+ -1) 22 _1n( n+ 2( nn+ 1 )1y前10项的和为S0120= 2(1 E+"2" "3- + 10 11) =2(1 下)干.116. 数列an满足a?=1,且对任息的 m nC N*,都有an+n= am+an+mn则+ a?1一十一 + +a? a?32012解析：令m= 1,则有an+1= a?+an+n,即an+1 - an= n+1,所以 a? a?= 2, a? a?= 3, a4 a?= 4,an an-1 =n,累加得到八(n+ 2)( nan

6、 a?=2 + 3 + 4+ n=ij2, 门(n + 2)( n 1) n( n+ ，故 an= a?+1-2,anA(n +1)1 、111,= 2(-n 八 三?十/?十寸一 十森=2(1 /+飞飞 +40242012 - 2013) =2013.7. 已知数列an中，a?=p, a?=q,且an+2-2an+1 + an= d,求数列an的通项公式.解析：原式可化为(an+2- an+1) ( an+1 an) = d.令bn= an+1- an,则bn+1 - bn = d,所以数列而遑以b?=a? a?=q p为首项，以d为公差的等差数bn= b?+ ( n- 1) d=q- p

7、+ (n- 1) d.即 an+1 an= q p+ (n 1) d.于是有 an a?=(an 一 an-1) + (an-1 - an-2) + (an-2 an-3) + (a? a?)n 2 z=(n- 1)( q- p)x ( n-1)dn 2= (n- 1)( q-p-2-d)n 2n 2 an= a?+( n- 1)( q- p 2 d) = p+( n1)( q p干丁d)+(n>2).n 2经检验当n= 1时也付合该式.，an= p+( n1)( qp 厂d)28. 已知数列an中，a?=5,满足an= (12)ae,求数列an的通项公式.43-X-32n+1 =2解析

8、:原式可化为瞪=于是有条祟嚏祭X噜n+1 n n-1二乂 一 ,X 二乂乂n n-1 n-2n + J .5, an = a?x 2 =2 (n +9. 已知数列an中，a?1 an+1=(32 )an,求数列an的通项公式.+ 3n解析：原式可化为cb+1ann+ 2二F13曳建，于是有第=言3 na ? an-1X曳1 X%x-Yan：2 an-a?n+1 nxX - Xn- 1n-1 n-2 n- 3n-254、/ 3x-X X-tXq-Xn 一 432(n=尹*1)2n< 1 =砺*an = a? x jn:(n +1jT =1nX1)n2(n 1) n (n2X3n10. 在数

9、列an与bn中,a?=1, b?= 4,数列an的前 n 的等比中项，nCN*.求a?, b?的值； 求数列an与bn的通项公式.项和Sn满足nSn+i (n+ 3) Sn= 0 ,2an+i为bn与bn+1解析： 令 n=1 可得 S? = 4S?=4, a?=S?-a?=3./* 令 n = 2 可得 2S?= 5S?=20, 6. */ 2a?为b?与b?的等比中项， b?S?=10, a?=S? S?= 由原式可得nSn+1 = (n + 3)S ,n+ 3n于是有 包=Sn xS±xSnix-.xS? Sn：1 Sn-2 Sn：S?S?S?S?n+2 n+1 n n-1=；

10、X-X一 cX7X-X Xn-1 n-2 n-3 n-4321(n+2)( n+1)n (n+2)( n +-1)n5x2xiSn=S?X(n+ 2)( n+ 1) n (n+2)( n +1)n 6.于是有Sm =（丁 , 1）6则当 n>2 时，an=Sn- Sn-1(n+ 2)( n+ 1) n ( n +1) n( n 1) ( n+1)n 6经检验当n=1时也符合上式，an=翟由已知 bn - bn+1 = (2 an+i)2 = ( n+1)( n+2)2 ,贝U b - b两式相除得辿号邵羽+嵋（ 一=（力）2'于正有bnb )2, bb£)2, bh 备)2,b2n+i 2n+ 2'K7= 1