高等数学及其应用电子教案（第二版）（同济大学数学系）ch(4)

1、编辑ppt第八节第八节 泰勒公式泰勒公式编辑ppt本节要点本节要点 本节引入具有本节引入具有 阶导数的函数的泰勒展开式阶导数的函数的泰勒展开式, 并给并给1n出相应的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项出相应的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项. 利用利用 阶的阶的n泰勒公式给出函数在特定点的近似估计泰勒公式给出函数在特定点的近似估计. 编辑ppt 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理, 若若 并且当并且当 很小很小00,fxx0d,yyfxx 或或:000,f xxf xfxx 上式是用一次多项式来近似表达一个函数上式是用一次多项式来近似表达一个函数, 但缺点是但缺点是时时, 有有不能具体估计误差的大小不

2、能具体估计误差的大小, 并且在近似估计时精度不够并且在近似估计时精度不够高高. 问题的提出问题的提出编辑ppt 设函数设函数 在含在含 的开区间内有直到的开区间内有直到 阶导数阶导数, f x0 x1n 来近似表示来近似表示 并给出误差的具体表达式并给出误差的具体表达式. f x 为了使所求出的多项式与函数为了使所求出的多项式与函数 在数值与性质方在数值与性质方 f x面吻合得更好面吻合得更好, 进一步要求进一步要求 在点在点 处的函数值以处的函数值以 nP x0 x以及它的以及它的 阶导数值与阶导数值与 在在 处的函数值以及它的处的函数值以及它的 n f x0 x2010200nnnPaax

3、xaxxaxx 0 xx我们的目的是用一个关于我们的目的是用一个关于 的多项式的多项式n阶导数值分别相等阶导数值分别相等. 即即编辑ppt 00 0,1,.kknPxfxkn 01 0,1,.!kkafxknk因因 10!112knkkPxk akk kaxx将将 代入上式代入上式, 得得0 xx于是有于是有011,n knn nnkaxx 编辑ppt 2000002!nfxPxf xfxxxxx（2.20） 00 .!nnfxxxn由于由于 的系数由的系数由 确定确定, 故称（故称（2.20）式为）式为 的的( )nP xf( )f xn阶泰勒多项式阶泰勒多项式. 问题是问题是: 能不能用能

4、不能用 来近似表达来近似表达( )nP x( ),f x它们的误差它们的误差 ( )nf xPx又将是什么又将是什么? 下面的定理将回答这个问题下面的定理将回答这个问题.编辑ppt泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数如果函数 在含在含 的某个开区间的某个开区间 f x0 x, a b内具有直到内具有直到 阶导数阶导数, 那么对于那么对于1n 2000002!fxf xf xfxxxxx（2.21） 00,!nnnfxxxRxn,xa b有有其中其中 110,1 !nnnfRxxxn（2.22）编辑ppt这里这里, 是是 与与 之间的某个值之间的某个值.0 xx（详细证明留在本节最后）（详细证明留

5、在本节最后） 编辑ppt注注 公式（公式（2.21）称为）称为 在在 处关于处关于 的的 阶阶 f x0 x0 xxn 当当 时时, 泰勒公式即为拉格朗日中值公式泰勒公式即为拉格朗日中值公式:0n 00.f xf xfxx所以所以, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.泰勒公式泰勒公式, 而公式中右端的最后一项而公式中右端的最后一项 110,1 !nnnfRxxxn称为泰勒公式的拉格朗日型余项称为泰勒公式的拉格朗日型余项, 而公式（而公式（2.21）称为）称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式.编辑ppt 分析分析 用用 的泰勒多项式

6、近似表示的泰勒多项式近似表示 时时, 其误其误 f x f x 1,nfxM 11100.1 !1 !nnnnfMRxxxxxnn（2.24）在公式（在公式（2.21）中）中, 取取 若记若记 01 ,x0,x ,nRx, n,xa b差为差为 如果对于某个固定的如果对于某个固定的 当当 时时, 则有则有相应的泰勒公式具有比较简单的形式相应的泰勒公式具有比较简单的形式:编辑ppt 20002!ff xffxx 0,!nnnfxRxn（2.25）其中其中 11 01 .1 !nnnfxRxxn编辑ppt由此得到近似计算公式由此得到近似计算公式:上式的右端称为函数上式的右端称为函数 的的 阶阶麦克

7、劳林多项式麦克劳林多项式. 而相而相 f xn 20002!ff xffxx 1.1 !nnMRxxn（2.26）应的误差估计式（应的误差估计式（2.24）应变为为）应变为为 0.!nnfxn编辑ppt例例2.49 求出函数求出函数 exf x 的的 阶麦克劳林展开式阶麦克劳林展开式.n解解 因因 e ,nxf xfxfxfx所以所以: 00001,nffff代入（代入（2.25）式）式, 得得2111ee1 01 .2!1 !xxnnxxxxnn 因而相应的近似表达式为因而相应的近似表达式为211e1.2!xnxxxn 编辑ppt相应的误差估计式为相应的误差估计式为 11ee, 01 .1

8、!1 !xnnnxRxxxnn11e 1 1. 2!n 1,x 如果取如果取 即得到即得到 的近似表达式的近似表达式:e其误差为其误差为33.1 !1 !nRnn编辑ppt例例2.50 求出函数求出函数 sinf xx的的 阶麦克劳林展开式阶麦克劳林展开式.n解解 因因 sin 0,1,2,2nfxxnn所以所以 0 2 ,00,1,2,1 21,nmnmfmnm由公式（由公式（2.26）得）得编辑ppt 135212111sin,3!5!21 !mmmxxxxxRxm其中其中 212sin212 01 .21 !mmxmRxxm如果用如果用 用它的用它的 阶阶 麦克劳林多项式近麦克劳林多项式

9、近 sin xn2nm似表示为似表示为编辑ppt相应的误差分别为相应的误差分别为 2121.21 !mmRxxm13521111sin,3!5!21 !mmxxxxxm编辑ppt 利用利用Mathematica可以做出函数可以做出函数 与其近似多与其近似多sinyx项式的图形项式的图形. 从图中可以看到从图中可以看到, 与其近似多项与其近似多项sinyx42345432742-2-1.5-1-0.50.511.52 nP xn式式 随着随着 的增大而越来越贴近的增大而越来越贴近.编辑ppt 常见函数的麦克劳林展开式常见函数的麦克劳林展开式: 24221111cos1,2!4!2!mmmxxxx

10、Rxm 其中其中 2221cos1.22 !mmxmRxxm编辑ppt 123111ln 1,23nnnxxxxxRxn其中其中 111.1 1nnnnRxxnx编辑ppt 2111112!nnxxxxn 其中其中 11111.1 !nnnnnRxxxn ,nRx编辑ppt 因当因当 时时, 余项余项 是比是比 高阶的无高阶的无0 xx 0 nnRxxx从而（从而（2.21）式改变为）式改变为 2000002!fxf xf xfxxxxx（2.27）称为带佩亚诺型余项的泰勒展开式）称为带佩亚诺型余项的泰勒展开式. 穷小穷小, 即即 000,!nnnfxxxoxxn 0,nnRxoxx（2.27

11、）编辑ppt例例2.51 写出函数写出函数( )tanf xx的的3阶带有佩亚诺余项阶带有佩亚诺余项的麦克劳林公式的麦克劳林公式.解解 因因 22( )sec,2sectan ,fxx fxxx 2244sectan2sec,fxxxx即有即有: 00,(0)1,00,02,ffff代入公式代入公式编辑ppt331tan.3xxxo x 2330000,2!3!fff xffxxxo x即即:编辑ppt 泰勒中值定理证明泰勒中值定理证明. 仅对仅对 进行证明进行证明, 当当 时证明完全相同时证明完全相同.1n 1n 证证 记记 00020,/2!f xf xfxxxQ xxx即即 20000,2!Q xf xf xfxxxxx将上式与（将上式与（2.23）式比较可知）式比较可知, 只要证明存在介于只要证明存在介于 与与x0 x之间的某数之