高等数学D7_3-5齐次方程

1、齐次方程 第三节 第七章 一、齐次方程一、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )

2、0C此处例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. x由光的反射定律:可得 OMA = OAM = 例例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由)0()(:yxfyL解解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求

3、, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线，从而 AO = OMOPAP xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx yO经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程.21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) yxAO顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:)(222CxCy2,2dyhCx则将这时

4、旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得)0,(2C整理课件一阶线性微分方程 第四节 第七章 整理课件一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e称为齐次方程齐次方程 ;整理课件xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变

5、易法常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(两端积分得整理课件例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解.,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23)

6、1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(令整理课件在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0例例2. 有一电路如图所示, ,sintEEm电动势为电阻 R 和电. )(tiLERQ解解: 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条件: 00ti由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,整理课件解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始条件: 00ti得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)

7、cossin(222ttLRdedC利用一阶线性方程解的公式可得LERQ整理课件tLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRL因此所求电流函数为解的意义: LERQ整理课件),(yxfy 可降阶高阶微分方程 第五节)()(xfyn),(yyfy 第七章 整理课件一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意

8、常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 整理课件例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC整理课件tFO,00tx例例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线运动,在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .

9、 小,求质点的运动规律. 初速度为0, 且对方程两边积分, 得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT整理课件120)2(ddCTttmFtx利用初始条件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx整理课件),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、整理课件例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3

10、0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为整理课件例例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到sg( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有,cosHTsa1tanMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线

11、? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得HAyxO整理课件211yya , aOA 设则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为pdxad1两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有axysh两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为axaych)ee(2axaxa悬悬 链链 线线a21pMsgTHAyxO整理课件三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程

12、化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy整理课件例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCCy1e2解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd整理课件M : 地球质量m : 物体质量例例6. 静止开始落向地面, (不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv设tvtydddd22则tyyvdddd

13、yvvdd代入方程得,dd2yyMkvv积分得122CyMkv一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面时的速度和所需时间整理课件122CyMkv,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有lylyylMkltarccos22lylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”号号整理课件由于 y = R 时,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为lRlRRlglRtRyarccos212lRlRgvRy)(222

14、ddtym,2yMmkyyllMkv2lylyylMkltarccos22yRlO整理课件内容小结内容小结1. 一阶线性方程一阶线性方程d( )( )dyP x yQ xx方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式( ) d( ) de( )edP xxP xxyQ xxC整理课件内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则整理课件思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.整理课件作业作业P309 2 (2);P315 1 (3), (6); 2 (5);P323 1