高二文科数学专题五双曲线

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专题六专题六-双曲线双曲线一、知识点汇总一、知识点汇总定义定义aMFMF221（其中（其中2120FFa ）标准方程标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形图形性性质质范围范围xa 或或 xaya 或或 ya对称性对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点对称轴：坐标轴，对称中心：原点焦点焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长轴长焦距焦距=2c,实轴长实轴长2a，虚轴长，虚轴长2bcba,三者间关系三者间关系c2a2b2离心率离心率eca且且

2、 e1渐近线渐近线ybaxyabx等轴双曲线等轴双曲线x2y2(0)渐近线方程为：渐近线方程为：yx.离心率为：离心率为：e 2.二、课前热身：二、课前热身：判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲的点的轨迹是双曲线线()(2)点点 A(1,0)，B(1,0)，若，若|AC|BC|2，则点，则点 C 的轨迹是双曲线的轨迹是双曲线()(3)到两定点到两定点 F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于的距离之差的绝对值等于 6 的点的点 M 的

3、轨迹是两条射的轨迹是两条射线线()(4)双曲线方程中双曲线方程中 a，b 分别为实、虚轴长分别为实、虚轴长()精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(5)方程方程y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 ybax.()(6)离心率离心率 e 越大，双曲线越大，双曲线x2a2y2b21 的渐近线的斜率绝对值越大的渐近线的斜率绝对值越大()【答案】【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)三、典例分析三、典例分析题型一：题型一：双曲线定义的应用双曲线定义的应用例例 1. （1）设动点设动点 M 到到 A(5,0)的距离与它到的距离与它到 B(5,0)的距离的差等于的距离的

4、差等于 6，则则 P 点的点的轨迹方程是轨迹方程是()A.x29y2161B.y29x2161C.x29y2161(x0)D.x29y2161(x0)【解析【解析】 由双曲线的定义得由双曲线的定义得， P 点的轨迹是双曲线的一支点的轨迹是双曲线的一支 由已知得由已知得2c10，2a6，a3，c5，b4.故故 P 点的轨迹方程为点的轨迹方程为x29y2161(x0)，因此选因此选 D.【答案答案】D(2) 双曲线双曲线1392522yx的两个焦点分别是的两个焦点分别是 F1，F2，双曲线上一点，双曲线上一点 P 到到 F1的距离的距离是是 12，则，则 P 到到 F2的距离是的距离是()A17B

5、22C7 或或 17D2 或或 22【解析】【解析】由双曲线方程由双曲线方程x225y291 得得 a5，|PF1|PF2|2510.又又|PF1|12，|PF2|2（舍）（舍）或或 22.故选故选 B【答案】【答案】B(3)已知双曲线已知双曲线x26y231 的焦点为的焦点为 F1，F2，点，点 M 在双曲线上，且在双曲线上，且 MF1x 轴，轴，则则F1到直线到直线 F2M 的距离为的距离为()A.3 65B.5 66C.65D.56【解析】【解析】不妨设点不妨设点 F1(3,0)，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业容易计算得出容易计算得出|MF1|3262，|MF2|MF1|2

6、6.解得解得|MF2|526.而而|F1F2|6，在直角三角形，在直角三角形 MF1F2中，由中，由12|MF1|F1F2|12|MF2|d，求得求得 F1到直线到直线 F2M 的距离的距离 d 为为65.故选故选 C变式训练变式训练 1： （1）已知圆已知圆 M1：(x4)2y225，圆，圆 M2：(x-4)2y21，一动圆，一动圆 P与这两个圆都外切，与这两个圆都外切，则则动圆圆心动圆圆心 P 的轨迹的轨迹方程为方程为_【解【解】 设动圆的半径是设动圆的半径是 R， 则由题意知则由题意知|PM1|R5，|PM2|R1，两式相减得两式相减得|PM1|PM2|4|M1M2|8，所以动圆圆心，所

7、以动圆圆心 P 的轨迹是以点的轨迹是以点 M1(4,0)、M2(4,0)为焦点的双曲为焦点的双曲线中靠近焦点线中靠近焦点 M2(4,0)的一支的一支)2( 112422xyx（2）已知已知 F 是双曲线是双曲线x24y2121 的左焦点，点的左焦点，点 A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点是双曲线右支上的动点，则则|PF|PA|的最小值为的最小值为_【答案】【答案】9【解析】【解析】设右焦点为设右焦点为 F，依题意，依题意，|PF|PF|4，|PF|PA|PF|4|PA|PF|PA|4|AF|4549.题型二：题型二：双曲线的标准方程双曲线的标准方程例例 2. 根据下列条件，求双曲线的标准方

8、程：根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a2 5，经过点，经过点 A(2，5)，焦点在，焦点在 y 轴上；轴上；(2)与椭圆与椭圆x227y2361 有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为 4;(3)求经过点求经过点(3,0)，(6，3)的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程(4)虚轴长为虚轴长为 12，离心率为，离心率为54；(5)顶点间距离为顶点间距离为 6，渐近线方程为，渐近线方程为 y32x；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(6)与双曲线与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点有公共渐近线，且过点 M(2，2)【解【解】 (1)因为

9、双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在 y 轴上轴上， 所以可设双曲线的标准方程为所以可设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0， b0) 由题设知由题设知， a2 5， 且点且点 A(2， 5)在双曲线上在双曲线上， 所以所以a2 5，25a24b21，解得解得 a220，b216.故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为y220 x2161.(2)椭圆椭圆x227y2361 的两个焦点为的两个焦点为 F1(0，3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为双曲线与椭圆的一个交点为( 15，4)或或( 15，4)设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，

10、则则42a2 15 2b21，a2b232，解得解得a24，b25.故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为y24x251.(3)设双曲线的方程为设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，双曲线经过点双曲线经过点(3,0)，(6，3)，9m01，36m9n1，解得解得m19，n13.故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为x29y231.(4)设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知由题意知 2b12，ca54且且 c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为x264y2361 或或y2

11、64x2361.(5)当焦点当焦点在在 x 轴上时轴上时， 由由ba32且且 a3 得得 b92.所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为x294y2811.当焦点在当焦点在 y 轴上时，由轴上时，由ab32且且 a3 得得 b2.所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为y29x241.(6)设与双曲线设与双曲线x22y21 有公共渐近线的双曲线方程为有公共渐近线的双曲线方程为x22y2k，将点，将点(2，2)代代入得入得 k222(2)22.双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为y22x241.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业变式训练变式训练 2已知方程已知方程x24ty2t

12、11 表示的曲线为表示的曲线为 C.给出以下四个判断：给出以下四个判断：当当 1t4 时时，曲线曲线 C 表示椭圆表示椭圆；当当 t4 或或 t1 时时，曲线曲线 C 表示双曲线表示双曲线；若曲线若曲线 C 表示焦点在表示焦点在 x 轴上的椭圆轴上的椭圆，则则 1t52；若曲线若曲线 C 表示焦点在表示焦点在 y 轴上的轴上的双曲线，则双曲线，则 t4.其中判断正确的是其中判断正确的是_(只填正确命题的序号只填正确命题的序号)【解析【解析】错误错误，当当 t52时时，曲线曲线 C 表示圆表示圆；正确正确，若若 C 为双曲线为双曲线，则则(4t)(t1)0，t1 或或 t4；正确正确，若若 C

13、为焦点在为焦点在 x 轴上的椭圆轴上的椭圆，则则 4tt10.1t52；正确，若曲线正确，若曲线 C 为焦点在为焦点在 y 轴上的双曲线，则轴上的双曲线，则4t0t10，t4.【答案】【答案】题型三：题型三：双曲线中的焦点三角形问题双曲线中的焦点三角形问题例例 3.3. (1)如图如图 2-2-1，双曲线双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点为的焦点为 F1，F2，过点过点 F1作直线作直线交双曲线的左支于点交双曲线的左支于点 A，B，且，且|AB|m，则，则ABF2的周长为的周长为_图图 2-2-1(1)4a2m ， 因为因为|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，所以所以|A

14、F2|BF2|(|AF1|BF1|)4a.又因又因为为|AF1|BF1|AB|m，所以，所以|AF2|BF2|4am.所以所以ABF2的周长为的周长为|AF2|BF2|AB|4a2m.（2）若若 F1，F2是双曲线是双曲线x29y2161 的两个焦点的两个焦点，P 是双曲线上的点是双曲线上的点，且且|PF1|PF2|32，试求，试求F1PF2的面积的面积【精彩点拨】【精彩点拨】双曲线方程双曲线方程 双曲线双曲线的定义的定义|PF1|PF2|2a平方平方|PF1|2|PF2|2的值的值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业余弦定理余弦定理F1PF290 面积公式面积公式SF1PF2【自主解答

15、】【自主解答】由双曲线方程由双曲线方程x29y2161，可知，可知 a3，b4，c a2b25.由双曲线的定义，得由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，将此式两边平方，得，将此式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如图所示，在如图所示，在F1PF2中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得cos F1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|1001002|PF1|PF2|0，F1PF290，SF1PF212|PF1|PF2|123216.变式训练变式训练 3 （1）若若 F1，F

16、2是双曲线是双曲线 8x2y28 的两焦点，点的两焦点，点 P 在该双曲线上，在该双曲线上，且且PF1F2是等腰三角形，则是等腰三角形，则PF1F2的周长为的周长为_.【解析】【解析】双曲线双曲线 8x2y28 可化为标准方程可化为标准方程 x2y281，所以，所以 a1，c3，|F1F2|2c6.因为点因为点 P 在该双曲线上在该双曲线上， 且且PF1F2是等腰三角形是等腰三角形， 所以所以|PF1|F1F2|6，或或|PF2|F1F2|6，当当|PF1|6 时时，根据双曲线的定义有根据双曲线的定义有|PF2|PF1|2a624，所以，所以PF1F2的周长为的周长为 66416；同理当；同理

17、当|PF2|6 时，时，PF1F2的周的周长为长为 66820.【答案】【答案】16 或或 20（2）.如图如图 2-2-2，已知双曲线中已知双曲线中 c2a，F1，F2为左为左、右焦点右焦点，P 是双曲线上的点是双曲线上的点，F1PF260，SF1PF212 3.求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程图图 2-2-2【解】【解】由题意可知双曲线的标准方程为由题意可知双曲线的标准方程为x2a2y2b21.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由于由于|PF1|PF2|2a，在在F1PF2中，由余弦定理得中，由余弦定理得cos 60|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2| |

18、PF1|PF2| 22|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|PF2|，所以所以|PF1|PF2|4(c2a2)4b2，所以所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin 602b232 3b2，从而有3b212 3，所以b212，c2a，结合c2a2b2，得a24.所以双曲线的标准方程为x24y2121.题型四：双曲线的几何性质题型四：双曲线的几何性质例例 4.4. (1)求双曲线求双曲线 9y24x236 的顶点坐标的顶点坐标、焦点坐标焦点坐标、实轴长实轴长、虚轴长虚轴长、离心离心率和渐近线方程率和渐近线方程.【解】【解】将原方程转化为将原方程转化为x29y241，即，即x232y222

19、1，a3，b2，c 13，因此顶点坐标为因此顶点坐标为 A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为焦点坐标为 F1( 13，0)，F2( 13，0)，实轴长是实轴长是 2a6，虚轴长是，虚轴长是 2b4，离心率离心率 eca133，渐近线方程渐近线方程 y23x.(2)已知双曲线已知双曲线 x2y2b21(b0)的一条渐近线的方程为的一条渐近线的方程为 y2x，则，则 b_.【解析】【解析】由双曲线由双曲线 x2y2b21，得，得 a1，b12，b2.【答案】【答案】2(3)双曲线双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.22C1D. 2(3)双曲

20、线双曲线 x2y21 的顶点坐标为的顶点坐标为(1,0)，渐近线为渐近线为 yx，xy0，顶点到顶点到精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业渐近线的距离为渐近线的距离为 d|10|222.选选 B(4)若实数若实数 k 满足满足 0k5，则曲线，则曲线x216y25k1 与曲线与曲线x216ky251 的的()A实半轴长相等实半轴长相等 B虚半轴长相等虚半轴长相等 C离心率相等离心率相等 D焦距相等焦距相等(4)因为因为 0k0，b0)的虚轴长为的虚轴长为 2，焦距为，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线，则双曲线的渐近线方程为方程为()Ay 2xBy2xCy22xDy12x【解析】【解析】由

21、已知，得由已知，得 b1，c 3，a c2b2 2.因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在 x 轴轴上，所以渐近线方程为上，所以渐近线方程为 ybax22x.【答案】【答案】C8已知双曲线已知双曲线x2a2y231(a0)的离心率为的离心率为 2，则，则 a()A2B.62C.52D1【解析【解析】由题意得由题意得 ea23a2， a232a，a234a2，a21，a1.【答案】【答案】D精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业9椭圆椭圆x24y2a21 与双曲线与双曲线x2ay221 有相同的焦点，则有相同的焦点，则 a 的值是的值是()A.12B1 或或2C1 或或12D1【解析】【解析】

22、由于由于 a0,0a24，且，且 4a2a2，所以可解得，所以可解得 a1，故选，故选 D.【答【答案】案】D10双曲线双曲线x24y2k1 的离心率的离心率 e(1,2)，则，则 k 的取值范围是的取值范围是()A(10,0)B(12,0)C(3,0)D(60，12)【解析【解析】 双曲线方程化为双曲线方程化为x24y2k1， 则则 a24， b2k， c24k， eca4k2，又又e(1,2)，14k22，解得，解得12k0.【答案】【答案】B11与曲线与曲线x224y2491 共焦点，且与曲线共焦点，且与曲线x236y2641 共渐近线的双曲线的方程为共渐近线的双曲线的方程为()A.y2

23、16x291B.x216y291C.y29x2161D.x29y2161【解析【解析】根据椭圆方程可知焦点为根据椭圆方程可知焦点为(0，5)，(0,5)设所求双曲线方程为设所求双曲线方程为x236y264(0)，即，即y264x2361.由由64(36)25，得，得14.故所求双曲线的故所求双曲线的方程为方程为y216x291.【答案】【答案】A12已知已知 F1，F2分别为双曲线分别为双曲线 C：x2y21 的左的左、右焦点右焦点，点点 P 在在 C 上上，F1PF260，则，则|PF1|PF2|()A2B4C6D8【解析【解析】 由题意由题意， 得得|PF1|PF2|2， |F1F2|2

24、2.因为因为F1PF260， 所以所以|PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|cos 60 |F1F2|2， 所 以， 所 以 (|PF1| |PF2|)2 2|PF1|PF2| 2|PF1|PF2|128，所以，所以|PF1|PF2|8224.【答案】【答案】B13已知双曲线的两个焦点已知双曲线的两个焦点 F1( 10，0)，F2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点是此双曲线上的一点，且且MF1MF20，|MF1|MF2|2，则该双曲线的方程是，则该双曲线的方程是()精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业A.x29y21Bx2y291C.x23y271D.x27y231【解析】

25、【解析】由双曲线定义由双曲线定义|MF1|MF2|2a，两边平方得：，两边平方得：|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2， 因为因为MF1MF20， 故故MF1F2为直角三角形为直角三角形， 有有|MF1|2|MF2|2(2c)240，而，而|MF1|MF2|2，40224a2，a29，b21，所以双曲，所以双曲线的方程为线的方程为x29y21.【答案】【答案】A14 若若点点 P 到点到点(0， 3)与到点与到点(0,3)的距离之差的距离之差为为 2， 则则点点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为_【解析】【解析】由题意并结合双曲线的定义，可知点由题意并结合双曲线的定义，可知点 P 的

26、轨迹方程为双曲线的上支，的轨迹方程为双曲线的上支，且且 c3,2a2，则，则 a1，b2918，所以点，所以点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为 y2x281(y1)【答案】【答案】y2x281(y1)15若直线若直线 x2 与双曲线与双曲线 x2y2b21(b0)的两条渐近线分别交于点的两条渐近线分别交于点 A，B，且，且AOB 的面积为的面积为 8，则焦距为，则焦距为_【解析【解析】 由双曲线为由双曲线为 x2y2b21 得渐近线为得渐近线为 ybx， 则交点则交点 A(2,2b)， B(2， 2b)SAOB1224b8，b2.又又 a21，c2a2b25.焦距焦距 2c2 5.【答案】【答案】2 516(1)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为且焦距与虚轴长之比为 54，则双曲线的标准方程为，则双曲线的标准方程为_【解析【解析】 由题意得双曲线的焦点在由题意得双曲线的焦点在 x 轴上轴上， 且且 a3， 焦距与虚轴长之比为焦距与虚轴长之比为 54，即，即 cb54，解得，解得 c5，b4，双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为x29y2161.【答案】【答案】x29y2161(2)经