高等数学第2章微积分-极限与连续

1、整理课件1第第2章章 极限与连续极限与连续整理课件2一、数列概念一、数列概念数列数列可看作自变量为正整数的可看作自变量为正整数的函数函数(下标函数下标函数)( )nyuf n 数列的极限数列的极限2.特性特性:1)有界性有界性:2)单调性单调性:1.定义定义:按正整数编号依次排列的一列数按正整数编号依次排列的一列数12,nu uu称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列,记为记为un.其中的每个数其中的每个数称为数列的称为数列的项项, un称为称为通项通项(一般项一般项).nuM 12nuuu 称此数列单调增加称此数列单调增加 12nuuu 称此数列单调减少称此数列单调减少 整理课件3“割之

2、弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. .早期极限思想的体现早期极限思想的体现放映放映1二、数列极限概念二、数列极限概念当自变量当自变量n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列yf (n)的变化趋势的变化趋势?yn(1)刘徽的割圆术刘徽的割圆术:极限：研究函数在自变量的某个变化过程中，函数极限：研究函数在自变量的某个变化过程中，函数值无限趋近于某个常数的性质。值无限趋近于某个常数的性质。 对于数列：对于数列：整理课件4R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS整理课件5(2) 庄子的

3、截丈问题庄子的截丈问题:1;221;21.2n第一天剩余第一天剩余u1第二天剩余第二天剩余u2第第n天剩余天剩余un12n0 但但0n 时时, un“一尺之棰,日取其半,.”61111248161)011812n21102nn 当时，当时，312423452)012132431nn11nnn 当当时时，3)1111 0-11间摆动间摆动与与在在时，时，当当1111nn14 limnnnuaua n 或或4) 3 6 12 24 2. .直观定义：直观定义： 数列数列un, 若当若当n无限增大时无限增大时, un无限趋无限趋近于常数近于常数a, 则称数列则称数列un以以a为极限为极限, 或称或称

4、un收敛收敛于于a, 记：记：12nnu 1nnnu 11nnu 132nnu 13 2nn ，发散发散无限增大无限增大例例, 否则称否则称 un发散发散.7.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放对于较简单的数列的极限对于较简单的数列的极限, 可通过观察法求得，例可通过观察法求得，例:11151( 1)limlim(2)limln( 1)limlim(1)nnnnnnnnnennnnn 02011lim1nnn 0数列数列极限极限的的严格严格定义定义？整理课件81( 1),11.nnnun 当无限增大时无限接近于当无限增大时无限接近于问题问题: “无限接近无限

5、接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.1nu nnn11)1(1 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n11,100nu 有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n11,10000nu 有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n11,1000nu 有有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn1.nu 有成立有成立整理课件93.“.“ N”定义：定义：例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1)1(1 nnnn1 , 01nu 要要1,n 只只要要,1 N取取1( 1)1nnn 有有1( 1)lim1.nnnn

6、 故故, lim0,dnnnuaNnNua limnnnuaua n 或或设有数列设有数列un, 若对任意若对任意 , 总总 则称则称a是是数列数列un的极限，或称的极限，或称un收敛于收敛于a，记作，记作:0 存在正整数存在正整数N, 使得当使得当nN时，恒有时，恒有nua 成立成立, 否则称数列否则称数列un发散。发散。则当则当nN时时,10注注:3. .N一般与任意给定的正数一般与任意给定的正数 有关有关, , 越小，越小，N 越大。越大。例例2(),lim.nnnuC CuC 设设为为常常数数证证明明证证nuC CC , 成成立立,0 任任给给0 lim.nnuC 故故说明说明:常数列

7、的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.nua 1. . 具有二重性具有二重性: 任意性和不变性。在取任意性和不变性。在取 时时, 对其大对其大小不加限制，正由于这种小不加限制，正由于这种任意任意性，才能用性，才能用 刻划刻划un与与a任意接近。而在根据任意接近。而在根据 找找 N 时它是时它是不变不变的的.2. . 刻划刻划un与与a接近的程度接近的程度, N刻划数列作为动点运动到什刻划数列作为动点运动到什么时刻可使么时刻可使un与与a接近程度小于给定的接近程度小于给定的 .若把数列看成函若把数列看成函数数, 则则 、N分别用来刻划因变量及自变量的变化过程分别用来刻划因变量及自变量的变化

8、过程.4. N是不唯一的，用定义证明数列极限时是不唯一的，用定义证明数列极限时, 关键是对任意关键是对任意 给定的给定的 0, 由由 来来寻找寻找N, 但不必要求最小的但不必要求最小的N.nua 对于一切正整数对于一切正整数n，例例31lim0.2nn 证明证明证证102n1,2n , 00nu 要要21log,n 只只要要21logN 取取102n 有有1lim0.2nn 故故12n 即即1,n (不妨设不妨设N时时,102n12n 0nu 要要例例3可用可用放大手法放大手法:1,n 只只要要1 N 取取注注:1)“放大放大”是为方便解不等式。注意不能是为方便解不等式。注意不能“放过头放过头

9、”, 上上例例若将若将 放大为放大为1，则，则1不可能小于任意给定的正数。不可能小于任意给定的正数。12n2)“放大放大”后找到的后找到的N通常比不放大解得通常比不放大解得(若易解若易解)的要大的要大整理课件12x1u2u1Nu 3u 2 a aa2Nu 三、数列极限的几何意义三、数列极限的几何意义lim0nnuaN ，则则： ， 正正整整数数 ，使得数列从使得数列从(,)aaa 的的 邻邻域域内内，第第N+1项起，以后所有项项起，以后所有项uN 1, uN2 ,都落在都落在至多只有至多只有N项落在该项落在该邻域之外。邻域之外。lim0,dnnnuaNnN ua naua 整理课件13定理定理

10、 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证lim,lim,nnnnuaub 设设又又由定义由定义,120,NN 、使得、使得1;nnNua 当当时时恒恒有有2;nnNub 当当时时恒恒有有 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn ()()nnabubuannubua.2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.四、数列极限的性质四、数列极限的性质limnab或或:即即: a=b14证证lim,nnua 设设由定义由定义, 1 取取,1,nNnNua 则则使使得得当当时时恒恒有有11.naua即有即有1max,1 ,1,NMu

11、uaa记记 .nu故有界故有界注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论( (逆否命题逆否命题) ) 无界数列必定发散无界数列必定发散. .定理定理 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .lim,nnua 设设lim0,dnnnuaNnN ua naua 取取1，则，则nN时时un有界有界则对一切正整数则对一切正整数n, 皆有皆有nuM 2.有界性有界性整理课件15数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义, 几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :唯一性、有界性唯一性、有界性.整理课件1

12、6思考题思考题：1.试判断下列论断是否正确试判断下列论断是否正确1)若若n越大越大, |un-a|越接近于零越接近于零, 则有则有 limnnua 3)若对若对 存在正整数存在正整数N, 当当nN时时, 数列数列un中中有无穷多项满足不等式有无穷多项满足不等式 , 则有则有 , 0nua limnnua 2)若若 , 则则n越大，越大， 越接近于零越接近于零 nua limnnua 反例：反例：1( 1)n n越大越大, 越接近于零越接近于零, 但但1lim0nn 反例：反例：limnCC 反例：反例：210ku或：或：1( 1)lim0nnn 210ku 而而( 1) ,nnu 但但 不存在

13、不存在lim( 1)nn -1整理课件174)若对若对 数列数列un中除了有限项外都满足不中除了有限项外都满足不等式等式 , 则有则有 , 0nua limnnua 3.从几何直观层次思考：若数列为单调增加从几何直观层次思考：若数列为单调增加(减少减少)且有上界且有上界(下界下界)的数列，此数列的敛散性如何？的数列，此数列的敛散性如何？ 定义：从数列定义：从数列un中用任意一种方式选取无穷多项并按原中用任意一种方式选取无穷多项并按原来的相对次序排列，所得数列称为数列来的相对次序排列，所得数列称为数列un的一个子列。的一个子列。2.若数列若数列un收敛，它的子列将会出现什么情况？收敛，它的子列将

14、会出现什么情况？收敛于上收敛于上(下下)确界确界最小最小(大大)的上的上(下下)界界.收敛于同一个常数收敛于同一个常数.整理课件18作业：P33：2-3 (3)(4)思考思考 2-4一、一、x 时函数时函数f (x)的极限的极限2.2 函数的极限函数的极限例例f (x) 无限增大时，无限增大时， f (x)01xx,当,当1.直观定义：直观定义： lim()()xfxAfxAx 或或函数函数f (x), 若当若当 无限增大时无限增大时, f (x)无无限趋近于常数限趋近于常数A, 则称则称f (x)当当x趋于无穷大时以趋于无穷大时以A为为极限极限, 记：记：x数列极限：自变量取自然数离散地趋于

15、正无穷大数列极限：自变量取自然数离散地趋于正无穷大;一般的函数极限：自变量连续取值一般的函数极限：自变量连续取值, 因而可能趋于因而可能趋于正无穷、负无穷，或从左、右两侧趋于某一定点正无穷、负无穷，或从左、右两侧趋于某一定点.2.“ X”定义定义(P32):0, 0,X ,( )xX f xA lim ( )xf xA d0, ,N ,nnN ua limdnnualim( )0,0,( )xf xAXxXf xA x0时时:x X, xx0时时:xX 或或x X 或或x X整理课件221|,x 即即例例1 证明证明22lim11xxx 211x 21,x X 时时,例例2 证明证明sinli

16、m0 xxx 1,x , 0sin0 xx 要要1,x 只要只要证证二、二、xx0时时，函数函数f (x)的极限的极限 例例:f(x)x+2, x2时时, f (x)24( )2xf xx x2时时, f (x)44, x2时时, f (x) x+21.直观定义：直观定义： 00lim()()xxfxAfxA xx 或或函数函数f (x)在点在点x0的某的某空心邻域空心邻域内有定义内有定义,若当若当x无限接近于无限接近于x0(但不等于但不等于x0)时时, f (x)无限趋近无限趋近于常数于常数A, 则称则称f (x)当当x趋于趋于x0时以时以A为极限为极限, 记：记：2.“ d d ”定义定义

17、(P33):0,0, d d 0|xx0|, | f (x)A|0，由由| f (x)A| 找到找到0|xx0| d d中的中的d d.3)f (x)在在x0的极限研究的极限研究f (x)在在x0附近的变化趋势附近的变化趋势,与与x0点的定义无关，故有关问题讨论均假定点的定义无关，故有关问题讨论均假定xx0 .2|24| |2|xxx 例例3 证明证明224lim42xxx , 02442xx 要要证证只要只要0 |0 |x2| 2| , 0时时, 00 xx 要要只要只要 ,取取d d0 xx 有有证证00 xxxx 00 xxx 0 x 00,xxx 则当则当0|0|x x0| | d d

18、时时, ,00limxxxx Ox0 x 0min, x？0?x 3.几何意义几何意义: :任意给定正数任意给定正数 ,无论它多小无论它多小, 总总存在存在x0的去心邻的去心邻域域0|x-xo| d d,使使得得y=f(x)在该去在该去 心邻域内的图心邻域内的图 形介于两条平形介于两条平 行线行线y=A- 和和y=A+ 之间之间. (局部有界性局部有界性)0,0, d d 0|xx0| d d, |f (x)A| 整理课件270,0, d d 0|xx0| d d, | f (x)A| 0 xx0 d d , | f (x)A| 0lim( )xxf xAd0lim( )xxf xA 0,0,

19、 d d d0 x0 x d d , | f (x)A| 0lim( )xxf xA 0,0, d d d或或 x0 x x0+ d d或或 x0 d d x x0右极限右极限左极限左极限4.单侧极限单侧极限000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA 整理课件28106( )00010 xxf xxxxx ，例例考考察察，当当的的极极限限是是否否存存在在？，xy0110lim( )xf x 0lim( )xf x不存在。不存在。0lim( )xf x 解：解：0lim(1)xx1, 0lim1xx1,整理课件292sin,0(),012,1.xxfxxxx 例

20、例7试讨论当试讨论当x0及及x1时，函数时，函数f(x)的极限的极限是否存在。是否存在。前述七种形式的极限：前述七种形式的极限：其本质都是研究在自变量的某个变化过程中其本质都是研究在自变量的某个变化过程中, 函数函数值的变化趋势值的变化趋势: f(x)A, 抓住这一本质抓住这一本质, 将它们统一将它们统一表示为：表示为：三、变量三、变量的极限的极限 变量的极限变量的极限lim f(x) A 或或 f(x) Alim,nnuA lim ( ),xf xA lim( ),xf xA lim( ),xf xA 0lim(),xxfxA 0lim(),xxfxA 0lim().xxfxA 0|xx0|

21、0,nN正整数正整数N,limnnu时时,|un-A|0, ,lim( )xf x 时时,| f(x) -A|0, ,|x|XX0, x0,x Xd d 0,时时,| f(x) -A|0, ,lim( )xf x 时时,| f(x) -A|0, ,lim( )xf x | f(x) -A|0, ,0lim( )xxf x0 x0 x 0,| f(x) -A|0, ,0lim( )xxf x 0 xx00,| f(x) -A|0, ,0lim( )xxf x 整理课件31作业：P38：2-6 2-7 (2)(3)思考：思考：8预习：无穷小与无穷大预习：无穷小与无穷大整理课件32绝对值无限增大的变

22、量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大(量量).一、无穷大量一、无穷大量0lim( );lim( ).xxxf xf x 1.定义定义:记作记作:分析定义分析定义:0|xx0|0,有有| f(x)| MM M M 0, ,0lim( )dxxf x |x| X 时时,X 0,有有| f(x)| MM M M 0, ,lim( )dxf x 0( )(;( )().f xxxf xx 或或：）2.3 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量0,( )MxXf xM 使使f (x)在在X上无界上无界比较比较:整理课件333.单说变量是无穷大量是无意义的，要指明单说变量是无穷大量是无意义的，要指明自

23、变量的变化过程。自变量的变化过程。 注意注意1. 无穷大量是变量无穷大量是变量, 不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;4. 无穷大量是无界变量无穷大量是无界变量, 但无界变量未必是但无界变量未必是无穷大量无穷大量.02.lim( )xxf x 切切勿勿将将认认为为极极限限存存在在； 11nnun 当当n是无界变量是无界变量, 但不是无穷大量但不是无穷大量.例例:f(x)xsinx当当x是无界变量是无界变量, 但不是无穷大量但不是无穷大量;整理课件34xxy1sin1 110,sin,.xyxx 时时是是无无界界变变量量 但但不不是是无无穷穷大大量量整理课件3500()()lim( )(lim

24、( )xxxxxxf xf x 或或2. 正无穷大、负无穷大正无穷大、负无穷大:注：注： 正正(负负)无穷大不可笼统地写作无穷大无穷大不可笼统地写作无穷大;01limxx 2limtanxx 20lim logxx 211lim(1)xx 1limxxe 1lim( )xxe 3lim(1)nn = =例例:整理课件3611lim1xx 000lim( )()lim( )(),( ).xxxxf xf xxxyf x 注注：如如果果或或则则直直线线是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线11 xy图示：图示：整理课件371.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小(量量). 记作

25、记作: 二、无穷小量二、无穷小量0lim( )0 ;lim( )0.xxxf xf x分析定义分析定义:0|xx0|0,有有| f(x) |0, ,0lim( )xxf xX0,lim( )xf x 时时,有有| f(x) |0, ,|x|X0( )0() ;( )0().f xxxf xx 或或：整理课件38例如例如, 0sinlim0 xxsin0.xx函函数数是是当当时时的的无无穷穷小小量量1lim( )0,2xx 1( ).2xx 函数是当时的无穷小量函数是当时的无穷小量, 0)1(lim nnn( 1).nnn 数列是当时的无穷小量数列是当时的无穷小量注意注意1.无穷小量是变量无穷小

26、量是变量, 不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小量的唯一的数；零是可以作为无穷小量的唯一的数；3.单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自变量的变化过程。变量的变化过程。 ex当当 时是无穷小量时是无穷小量; lnx当当 时是无穷小量时是无穷小量.x- x 1整理课件392. 变量极限与无穷小量的关系变量极限与无穷小量的关系:证证0lim( ),xxf xA 设设,)()(Axfx 令令0( )( )lim( )0.xxf xAxx则且则且),()(xAxf 设设0lim( )0.xxx 其中其中lim( )( ),f xAf xA

27、lim0 仅对仅对xx0的情形证明。的情形证明。 0,0, d d 则则|f(x)-A| ,0lim ( )0 xxf xA 0|x-x0|d d 时时, ,0,0, d d 由由无无穷穷小小定定义义: : |(x)| 0|x-x0|d d 时时, , 即即|f (x)-A| ,0lim( )xxf xA21lim2,xxx 例例2112,xxx 1lim0 xx 定理定理整理课件403. 无穷小的运算性质无穷小的运算性质:(1)有限个有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量无穷小量的代数和仍为无穷小量.证证0,0,X 12max,XXX 取取,xX 当当时时 恒恒有有 22注意注意无穷多个无穷多个

28、无穷小的代数和未必是无穷小无穷小的代数和未必是无穷小. .lim0lim0 xx 设设，则则lim()0 x要证要证120,X X1时时, 有有|X2时时, 有有| .2 2 111lim()nnnnn 个个例：例：0 111lim()lim1nnnnnnnn 个个整理课件410lim( )0 xxf x 证证(3)无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.证证1010,0,0( ).Mxxf xMd dd d 时时有有(2) 有限个有限个无穷小的乘积仍为无穷小量无穷小的乘积仍为无穷小量.01sinlimsin0,lim0,xxxxxx2则则0|xx0| d d2

29、2时时, , |(x)| . . 1M推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.12min,d dd d d d 取取则则00,xxd d当时 恒有当时 恒有( )f x MM 0lim( ) ( )0 xxf xx 例如例如: :2011limarctan0,lim(1)cos02nxnxnx0lim0 xx 设设，0. .0,0, d d ()A 不妨设 不妨设 2 21010,( )xxf xAd d ( )Af xA即即( )f xA 2020, 0,xxdddd又又00,( )( )xxf xf x d d 当当0lim0( )xxf x 12min,d dd

30、d d d 取取则则？2A?22AAA2A 0结论？结论？思考思考!整理课件434. 无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim022210, sin ,sin,.xx xx xxxx 当当时时都都是是无无穷穷小小极限不同极限不同, ,反映了它们趋近于零的反映了它们趋近于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. . 203limxxxx 两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。商呢两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。商呢? ?20limxxx=0=3=1无穷小量的商未必是无穷小量。无穷小量的商未必是无穷小量。 0lim3xx 01limxx 0lim(3)xx整

31、理课件44(1)lim0,( );o 若若则则称称 是是比比 高高阶阶的的无无穷穷小小量量 记记定义定义: :,0. 设是同一过程中的两个无穷小量 且设是同一过程中的两个无穷小量 且1,;C 特特别别地地，则则称称 与与 是是等等价价的的无无穷穷小小量量, , 记记(3)0,C 则则称称 是是 的的同同阶阶的的无无穷穷小小量量；(2), 则则称称 是是比比 低低阶阶的的无无穷穷小小量量；例例304tanlimxxxx30,4 tan.xxxx故当时为 的高阶无穷小故当时为 的高阶无穷小注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的无穷小量。注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的无穷小量。 30lim

32、4 tan0 xx (后面我们会利用等价无穷小量简化某些极限的计算后面我们会利用等价无穷小量简化某些极限的计算) 整理课件45定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大量的倒数为无穷小量无穷大量的倒数为无穷小量; ;恒恒不为零不为零的无穷小量的倒数为无穷大量的无穷小量的倒数为无穷大量. .证证.)(lim0 xfxx设设 1.( )f x 01lim0( )xxf x三、无穷大量与无穷小量之间的关系三、无穷大量与无穷小量之间的关系. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之: 则则1.( )Mf x 故故01lim( )xxf x( )0,f x 而而意义意义: :关于无穷

33、大的讨论关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.01lim0()xxfx 要要 证证01lim()xxfx 要要 证证1M0, 0,d d 0M 0,0, 0( ),xxf xdddd时,时,00,xxd d ( )1f x 则即整理课件461ln(2)x 当当 时是无穷大量时是无穷大量; 当当 时是无穷小量时是无穷小量.10 x 当当 时是无穷大量时是无穷大量; 当当 时是无穷小量时是无穷小量.x 1或或 x 2xxx +练习练习:无穷大无穷大:ln(2x)为无穷小为无穷小(t)2x 1无穷小无穷小:ln(2x)为无穷大为无穷大(t)2x+x 或或 x 2x

34、 1或或(t)2x0(画画lnt的图形的图形!)(画画lnt的图形的图形!)整理课件47试说出下列极限的数学定义：试说出下列极限的数学定义：1)lim( )xf x 2) lim( )xf x 23) lim( )xf x 0lim( )lim( )xxxf xf x 、证明证明34) lim( )xf x limxxe M M 0, , 证明：证明：只要只要x lnM,M M , ,则当则当xX 时时,取取X=lnM(不妨设不妨设M1),要要e xe x M M limxxe 解答解答:2.不能保证不能保证. 例例0,x 1( )0f xx ，1lim0.xx 而而1. 未必未必例例01si

35、nlimxxxx 01limsinxx不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大思考题思考题:1. 任何两个无穷小量都可以比较阶的高低吗？任何两个无穷小量都可以比较阶的高低吗？故当故当x0时时,无穷小无穷小 与与x不可以比较阶的高低不可以比较阶的高低1sinxx整理课件49小 结1. 主要内容主要内容:三个定义三个定义;两个定理两个定理;四个性质四个性质;一个推论一个推论.2. 几点注意几点注意:无穷小量与无穷大量是相对于过程而言的无穷小量与无穷大量是相对于过程而言的.(1) 无穷小无穷小(大大)量是变量量是变量,不能与很小不能与很小(大大)的数混淆的数混淆, 零是唯一的无穷小的数；零是唯一的无穷小

36、的数；(2) 无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和(乘积乘积)未必是无穷小未必是无穷小; ;(3) 无界变量未必是无穷大量无界变量未必是无穷大量.3.无穷小量的比较无穷小量的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两个无穷小量趋于零的速度快慢两个无穷小量趋于零的速度快慢.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.整理课件50作业：P52：2-14思考：思考：2-13、2-17 (下次课后做在书上下次课后做在书上)整理课件51绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大(量量).分析定义分析定义:0|xx0|0,有有| f(x)| M

37、M M M 0, ,0lim( )dxxf x |x| X 时时,X 0,有有| f(x)| MM M M 0, ,lim( )dxf x 0,( )MxXf xM 使使比较比较:f (x)在在X上无界上无界 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 三个定义三个定义;两个定理两个定理;四个性质四个性质;一个推论一个推论.定义定义1. . 极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小(量量).定义定义2. .整理课件52(4) 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量.(3) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(2) 有限个无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.(1)

38、 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理定理2. .在同一过程中在同一过程中, 无穷大量的倒数为无穷小量无穷大量的倒数为无穷小量; lim( )( ),f xAf xA lim0 定理定理1. .lim0,( );o 称称 是是比比 高高阶阶的的无无穷穷小小 记记lim0,C 称 是 的同阶的无穷小称 是 的同阶的无穷小定义定义3. .恒不为零恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量的无穷小量的倒数为无穷大量.2.4 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则一、极限的性质一、极限的性质1(唯一性唯一性). 若若limf(x)存在，则极限值唯一。存在，则极限值唯一。2(局部有界性局部有界性

39、). 若若存在，存在，0lim()xxfx则函数则函数f (x)在在x0的某的某空心邻域空心邻域内有界内有界.3(保号性保号性). 若若0lim(),xxfxA 且且A0则则在在x0的某的某空心邻域空心邻域内内f (x)0(或或A0)，(或或f (x)00lim()xxfxA A0且且2,0()1 ,0 xxfxx 反例反例: :整理课件54即即lim( ),lim ( ),(1) lim ( )( );(2) lim ( )( );( )(3) lim,0.( )f xAg xBf xg xABf xg xA Bf xABg xB设则设则其中其中二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则

40、在极限存在的条件下，和、差、积、商在极限存在的条件下，和、差、积、商(分分母不为母不为0 0)的极限等于极限的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商. .注意法则条件注意法则条件极限存在极限存在; 分母极限不为零分母极限不为零.整理课件55证：由极限与无穷小量的关系，证：由极限与无穷小量的关系， 再由极限与无穷小量的关系再由极限与无穷小量的关系,法则法则(1)、 成立。成立。( ), ( )f xAg xB( )( )()()f xg xAB ( ) ( )()()()f x g xABABAB ( ),0( )()f xAAAABABg xBBBBB B ()BAB B 都都用到法则用

41、到法则(1)(2)其中其中lim=lim=0, AB，(2)、 (3)是无穷小量是无穷小量整理课件562 lim( )lim( )Cf xCf x （）3 lim ( )lim( )nnf xf x （）（）4 lim( )0,f xA（）（）lim ( )lim( )nnf xf x 则则推论推论:0033000lim(0), limxxxxxxxxx ，故推论故推论(3)中的中的n还可推广到分数以至任何实数还可推广到分数以至任何实数.由直观得由直观得:5 lim ( )lim( )f xf x （）(1)法则可推广到法则可推广到有限个有限个函数的和、差、积函数的和、差、积(“函数极限函数极

42、限”一节已一节已证证)整理课件57三、极限不等式三、极限不等式00lim( ), lim( ),xxxxf xAg xB 若在若在x0的某的某空心邻域空心邻域内内f (x)g (x)，且，且则则AB证：由证：由f (x)g (x)得得f (x)g (x)0，0lim ( )( )xxf xg xAB 又又由极限性质由极限性质4(保号性保号性) AB0即即AB仅对仅对xx0情形叙述、证明情形叙述、证明, 其它情形有类似结论其它情形有类似结论.注注:与与“保号性保号性”类似类似, 即使条件改为即使条件改为“f (x)g (x)”,结论仍为结论仍为“AB”定理定理整理课件58例例1.531lim23

43、2 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 四、求极限举例四、求极限举例整理课件59小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxx

44、xxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 21232 lim54xxxx 例例2154lim023xxxx 解：解：原式原式=若若Q(x0)=0, 则商的则商的法则不能应用法则不能应用整理课件60解解例例3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 0()0型型(消去零因子法消去零因子法)整理课件6122042lim93xxx 222022242lim9393934242x

45、xxxxxx 解解：原原式式= = 2202293lim42xxxxx 2209363lim4242xxx 0()0型型例例4整理课件62例例5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x() 型型.,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 3243235lim741xxxxx 244235lim417xxxxxx变变:= =0整理课件63小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,

46、lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当整理课件64例例63113lim().11xxx 求求22113lim(1)(1)xxxxxx 解：原式=解：原式=21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx = = =12222()()limxxxxxxxxx 解解 原原式式22lim()xxxxx 求求例例7222limxxxxxx 2lim1111xxx 10()0型型() 型型(- -型型)(- -型型)x1+:+(- -)x1- -:- -+(+)整理课件65例例8).21(lim222nnnnn 求求解解222221lim)21(limnnnn

47、nnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 无穷多项之和无穷多项之和, 不可用法则不可用法则. 先变形再求极限先变形再求极限.66例例931lim (11)nnn求求3111lim1nnn 解：原式解：原式233lim11111( 1)nnnn 13 0()0型型2331lim1111( 1)nnn 11(1)n “型”“型”00或“型”或“型”a3- -b3 =(a- -b)(a2+ab+b2)(0型型)10 01 整理课件67例例10 设设1,01( )0,01,0 xxf xxxx 0lim( )xf x求求0lim( )xf x 0lim( )xf x 0li

48、m( )1xf x =1解解01lim1xx 0lim(1)xx =1注意解题步骤注意解题步骤整理课件68例例11 无穷递缩等比数列求和公式推导无穷递缩等比数列求和公式推导等比数列等比数列211111,na a q a qa q 前前n项和项和1(1)1nnaqSq 无穷无穷递缩递缩等比数列所有项之和等比数列所有项之和limnnSS1q 11aq 整理课件69221(1)()11xa xab xbaxbxx 2(1)()lim01xa xab xbx 10101aaabb 例例12解解21lim()01xxax bx 若若 , 求求a，b整理课件70小结已经学过的几种求极限的方法小结已经学过的

49、几种求极限的方法 在简单的情形可通过直观分析来求极限在简单的情形可通过直观分析来求极限 利用左、右极限与极限的关系来求极限利用左、右极限与极限的关系来求极限 利用无穷大量与无穷小量的关系求极限利用无穷大量与无穷小量的关系求极限 利用无穷小量的性质来求极限利用无穷小量的性质来求极限 利用极限四则运算法则求极限利用极限四则运算法则求极限(可能需要预先可能需要预先对函数式作适当的变形对函数式作适当的变形)后面我们将进一步讨论较复杂极限的求解方法后面我们将进一步讨论较复杂极限的求解方法.整理课件71解答解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限， 由极限运算

50、法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 整理课件72作业： P46：2-9 (3)(12)(14) 2-10 P52：2-16 (1)(4)(5)整理课件73定理定理 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证lim,lim,nnnnuaub 设设又又由定义由定义,使使得得., 021NN 1;nnNua 当当时时恒恒有有

51、2;nnNub 当当时时恒恒有有 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn ()()nnabubuannubua.2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.四、数列极限的性质四、数列极限的性质 返返 回回整理课件74几何解释几何解释:2.5 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则(1)单调递增有上界；单调递增有上界；准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.注注: 根据准则只能判断极限存在根据准则只能判断极限存在, 无法求出极限值无法求出极限值.(2)单调递减有下界单调递减有下界.整理课件7

52、51111211 1(1)(1)(1)(1)2!1!121112(1)(1)(1)(1)!121nnnnnnnnnnn 1,nnuu 显然显然 ;nu是单调递增的是单调递增的证明证明1(1)nnun数列收敛数列收敛1(1)nnun证：证： 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!) 1() 1( 1nu =例例1整理课件761212111 n, 3 nu有界有界limnnu 存存在在1lim(1)nnen 记记：)71828. 2( e1213 n又又nu 11112111(1)(1)(1)(1)2!nnnnnn 1

53、1112!n 1( !(1)2 12 22 12)nnn n 1121112n 整理课件77例例2333 ()nun 证证明明重重根根式式 收收敛敛(1)证证1,nnuu 显然显然 nu单单调调递递增增133,u 3,ku 设设13kkuu 则则33 , 3 nu有有上上界界limnnu存在存在13,nnuu 230AA 113113,22AA (舍去舍去)113lim.2nnu limnnuA设=设=两边取极限得两边取极限得3AA并求极限值并求极限值.(2)解解整理课件78(2)limlimnnnnyaz 准则准则夹逼准则夹逼准则 若数列若数列xn、yn及及zn满足下列条件满足下列条件:(1

54、) N0，nN时时, ynxnzn ;axnn lim则则注注: 1)函数极限的函数极限的夹逼准则夹逼准则 若若f(x)、g(x)及及h(x)满足满足:2)利用利用夹逼准则夹逼准则求极限关键求极限关键:0d d (1)0(, )oxU xd d(|x|X) 00()()lim( )lim( )xxxxxxg xAh x(2)0()lim( )xxxf xA 则则g(x)f (x)h(x) ;(X0)时时, 构造构造yn与与zn ，且其极限易求，且其极限易求.整理课件79例例3).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又

55、又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn80AC)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线二、两个重要极限二、两个重要极限0(:)0注型注型0sinlim1xxx 1.OABOABOACSSS 扇扇由由得得1122OA BDAB OAOA AC 1 12 2证证sin()sinxxxx - -0 x 只讨论情形只讨论情形,tansinxxx sincos1xxx 即即有有111tansinxxx81ACxoBD,tansinxxx sincos1,

56、xxx 即即有有cos x 而而212sin2x 212()2x212x, 1coslim0 xx0lim11,x 且且0sinlim1.xxx 2sin1cos1,2xxxx 20lim(1)12xx又又注注: 1.sintan,2xxxx sin,xxxR 2.(图图!)3. ,0limcos1xx 0limsin0 xx (2sin)xxx由 有： 由 有： 整理课件82例例40sinlim1xxx 利用求极限时抓住特征：利用求极限时抓住特征：0(1)0型型0sin(2) lim=1=10tanlimxxx 00sintanlim1limxxaxaxaxax 故有：故有：0sin1lim

57、()1cosxxxx0(0型)型)(a为非零常数为非零常数!)x0时，时，sinxx tanx sinaxax tanax整理课件83等价无穷小替换等价无穷小替换定理定理 (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 整理课件84常用等价无穷小常用等价无穷小: :22211cos2sin 2()222xxxx0arcsinlimxxx 20, sin, arcsin,tan, arctan,1ln(1) ,1 , 1cos2xxaxaxaxaxaxaxaxaxxxexxx 当当时时(待证待证)0(0型)

58、型)0arcsinlim1sin(arcsin )xxx 整理课件85例例5.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 22012lim12xxx 原式原式0(0型)型)例例620tan 2lim1cosxxx 202(2 )lim12xxx . 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中对于代数和中的各无穷小不的各无穷小不能分别替换能分别替换. .注意注意0(0型)型)用等价无穷用等价无穷小替换定理小替换定理:整理课件86例例7.2sinsintan

59、lim30 xxxx 求求错错解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解33012lim8xxx .161 0(0型)型)30tan (1cos )lim(2 )xxxx 原式原式整理课件87例例8.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解0tan51coslimsin3sin3xxxxx 原原式式2001552limlim333xxxxxx 0(0型)型)013sin2sinlim()1xxxxx 例例90sin1lim(23sin)2xxxxx 0(0型)型) 思考思考:例例7可否拆成两可否拆成两个极限之差个极限之差?不可不可!

60、拆开后拆开后为为型型整理课件881lim(1)xxex ,1xt 令令101lim(1)lim(1)xtxttx. e exxx 10)1(lim2.(:1) 注型注型数列情形已证数列情形已证, 可推广至可推广至x + 及及x (1) 1 型型101(2) lim(1)lim(1)e 利用该重要极限解题时抓住特征：利用该重要极限解题时抓住特征：整理课件89例例11.)11(limxxx 求求解解一般地：一般地：lim 1xxkx lim1kxkxkx例例102lim(1) .nnn 求求解解(1 型)型)(1 型)型)(1 型)型)不要仿照不要仿照教材解题教材解题步骤步骤勿作变换勿作变换!1l