高等数学大学 9-习题

1、编辑ppt第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课编辑ppt（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容编辑ppt曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分编辑ppt 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 ni

2、iiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),()( dtQPQdyPdxL),(),( (与方向有关)编辑ppt与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在单连通开区域在单连通开区域D上上),(),(yxQyxP具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, ,则以下四个命题成立则以下四个命题成立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduy

3、xUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题编辑ppt 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,编辑ppt定积

4、分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系编辑ppt理论上的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式编辑ppt RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式编辑ppt梯度梯度kzujyuixugradu 通量通

5、量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步编辑ppt例例1 计算计算 12LLxy dsxy dx :1,1,00,1Lxy 从从到到。 二、 例题（1，0）（0，1）编辑ppt 21:1,12L yx dsy dxdx 10122Lxy dsdx 12LLLxy dsdsds 或或 2:1,:10,L yx x 0111Lxy dxdx 编辑ppt编辑ppt解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即所以积分与路径无关所以积分

6、与路径无关xyo11A LdyyxdxxyxI)()2(422由由BD编辑ppt 104102)1(dyydxx.1523 xyo11A BAOBLdyyxdxxyxdyyxdxxyxdyyxdxxyxI)()2()()2()()2(422422422所所以以BD编辑ppt例例3 计算曲线积分计算曲线积分 , 其中其中 LyydyexdxxeI 222)1()1(为为 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.L4)2(22 yx解：记解：记 , . 则由于则由于 ,yxeP21 122 yexQxQxeyPy 22 1 222)1()1(Lyydyexdxxe.12)1(

7、0 4 dxx则所给积分与路径无关。现取则所给积分与路径无关。现取 , 从从 变到变到 ;0 :1 yL40 x LyydyexdxxeI 222)1()1(则有则有分析分析 本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看先看 ,以决定是否用格林公式或其他的方法计算。以决定是否用格林公式或其他的方法计算。,yPxQ yPxQ编辑ppt4cossinxxLeydxeydy 例例 计计算算 22(0)1,00,0Lxyx yAO 其其中中 ：从从到到的的上上半半圆圆周周. .编辑pptsinxQPeyxx 解解积积分分与与路路径径无无关关Ao:0,

8、:0AOyx a 另另选选直直线线 0cossin1cos012xxLxaaeydxeydyedxe 编辑ppt25x dS例 求2222xyzR：，第一卦限部分.222222221:1xyzRxyRdxdydSzzdxdyRxy 解解法法222222222:,0,0 xyxyDRx dxdyx dSDxyR xyRxy32422200cos6RrRdRRr编辑ppt解解 法法2 由对称性（轮换性）由对称性（轮换性）222x dSy dSz dS2222222411433386RRx dSxyz dSdSRR编辑ppt22226xyzxy dxdy例，22:10.zxyz 的下侧22:1xyx

9、oyDxy下下解解向向面面的的投投影影区区域域22222221200=23xyDxyzxy dxdyxy dxdydr dr 编辑ppt曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab编辑ppt解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参参数数方方程程为为编辑ppt,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 td

10、ttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 编辑ppt在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上侧侧为为平平面面为为连连续续函函数数其其中中计计算算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例8xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1:yxz .31cos,31cos,31cos 编辑pptdSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 编辑ppt解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕( (如下图