高等数学及其应用电子教案（第二版）（同济大学数学系）ch(11)

1、编辑ppt第六节第六节 连续函数的概念和性质连续函数的概念和性质编辑ppt本节要点本节要点 本节引入一类重要的函数本节引入一类重要的函数连续函数连续函数, 并讨论闭区并讨论闭区间上连续函数的基本性质间上连续函数的基本性质.一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质编辑ppt一、函数的连续性一、函数的连续性 自然界中的很多现象都是连续变化的自然界中的很多现象都是连续变化的. 例如气温的变例如气温的变很小时很小时, 温度的变化温度的变化 也很小也很小. 这就是这就是()( )T ttT t 化就是一个很明显的例子化就是一个很

2、明显的例子. 所谓的连续变化指的是所谓的连续变化指的是: 当当时间变化很小时时间变化很小时, 气温的变化也很小气温的变化也很小. 具体地说具体地说, 若以若以( )T ttt表示时刻表示时刻 时的温度时的温度, 当时间变化很小时当时间变化很小时, 即即连续函数的本质特征连续函数的本质特征. 编辑ppt 定义定义1.7 设函数设函数 在点在点 的某一个邻域内有的某一个邻域内有 yf x0 x0lim ( )xxf x定义定义, 如果如果 存在存在, 且等于且等于 即即0(),f x则称函数则称函数 在点在点 是连续的是连续的, 此时又称点此时又称点 是函数是函数( )f x0 x0 x 的连续点

3、的连续点.( )yf x00lim ( )( ),xxf xf x（1.6）编辑ppt（1.6）的等价形式是）的等价形式是: 000lim0.x xf xf x记记 0,xxx 称其为自变量称其为自变量 在在 的增量的增量, 因变量的因变量的x0 x增量记为增量记为00,yf xxf x 则（则（1.6）表示成）表示成xy yf xxyO0lim0.xy 编辑ppt 设设 若若 在区间内每点连续在区间内每点连续, 则称其则称其,Da b f x lim,lim,xaxbf xf af xf b为区间上的为区间上的连续函数连续函数; 若若 且且 在在,Da b f x, a b上连续上连续, 又

4、又则称则称 是闭区间是闭区间 上的上的连续函数连续函数. f x, a b 值得注意的是值得注意的是: 区间上的区间上的连续函数的图形是一条连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线而不间断的曲线.编辑ppt例例1.35 证明函数证明函数sinyx为区间为区间, 上的连续上的连续 函数函数.证证 设设 是区间是区间 内的任意一点内的任意一点, 给给 以增量以增量 x, x, xsinsin2sincos,22xxyxxxx 因因 故故cos1,x 2sincos2 sin2,2222xxxxyxx 故当故当 有有0,x 0,y 相应函数的增量为相应函数的增量为编辑ppt由此证明了函数由此证明了

5、函数 在区间在区间 上为连续函上为连续函sinyx, 数数.编辑ppt 结论结论1 基本初等函数在定义域中都是连续函数基本初等函数在定义域中都是连续函数. 结论结论2 连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）是连续函数是连续函数, 连续函数的复合函数是连续函数连续函数的复合函数是连续函数. 结论结论3 初等函数在定义域中的任何一个区间上都是初等函数在定义域中的任何一个区间上都是连续的连续的.编辑ppt例例1.36 求极限求极限2/4lim ln 1tan.xx解解 因函数因函数 2ln(1tan)f xx为初等函数为初等函数, 点点4x属于定义域内的区间

6、属于定义域内的区间2/4lim ln 1tanln2.4xxf0,2因而因而编辑ppt二、函数的间断点二、函数的间断点 ( )f x 设函数设函数 在在 的某去心邻域中有定义的某去心邻域中有定义, 若若 不是不是0 x0 x 的连续点的连续点, 则称则称 是是 的间断点的间断点.( )f x0 x( )f x 间断点的类型间断点的类型: 在在 处有定义处有定义, 但但 不存在不存在;( )f x0 x0lim ( )xxf x0 x( )f x 在在 处无定义处无定义; 0lim ( )xxf x0 x( )f x 在在 处有定义且处有定义且 存在存在, 但但00lim ( )( ).xxf

7、xf x编辑ppt例例1.37 设函数设函数 e1( ),xf xxe1 0( ), 1 0 xxf xxx则函数则函数 在在 连续连续.( )f x0 x 0 x 则函数在则函数在 处不连续处不连续,但若重新定义但若重新定义编辑ppt连续连续, 但若重新定义但若重新定义21 1( ),1 2 1xxf xxx例例1.38 设函数设函数21 1,1( )1 1,2xxxf xx则函数在则函数在 处不处不1x 则函数则函数 在在 处连续处连续.( )f x1x 编辑ppt 在上面在上面2个例中可以看到个例中可以看到, 这两个函数的共同特征为这两个函数的共同特征为:函数在该点的极限存在函数在该点的

8、极限存在, 但函数在该点不连续但函数在该点不连续. 我们把我们把这一类间断点称为这一类间断点称为可去间断点可去间断点. 其具体意义是其具体意义是: 我们可我们可以通过补充这一点的定义或修改这一点函数的定义值以通过补充这一点的定义或修改这一点函数的定义值, 使其成为连续函数使其成为连续函数.编辑ppt例例1.39 设函数设函数 21 0,( )1 0,xxf xxx则当则当 时时, 有有0 x 200lim( )lim11,xxf xx00lim( )lim11,xxf xx 即即: 函数在函数在 处的左右极限处的左右极限0 x xyo1121x 1x 存在但不相等存在但不相等.编辑ppt 从图

9、形中可以看到从图形中可以看到, 这类函数的几何图形在间断点上这类函数的几何图形在间断点上有一个跳跃现象有一个跳跃现象, 因而把这一类间断点称为因而把这一类间断点称为跳跃间断点跳跃间断点.从图中可以看出从图中可以看出, 这类函数是不可能通过修改一点的函这类函数是不可能通过修改一点的函数值使其成为连续函数的数值使其成为连续函数的.编辑ppt例例1.40 函数函数 在点在点 处无定义处无定义, 但但 tanf xx2x/2lim tan,xx 称称 是函数是函数 的的无穷间断点无穷间断点.2xtanx编辑ppt 可去间断点与跳跃间断点的特征是可去间断点与跳跃间断点的特征是, 函数在这一点的函数在这一

10、点的左右极限均存在左右极限均存在. 通常把这一类间断点称为通常把这一类间断点称为第一类间断第一类间断点点, 除此之外的间断点称为除此之外的间断点称为第二类间断点第二类间断点.编辑ppt三、闭区间上连续函数性质三、闭区间上连续函数性质 设设 定义在区间定义在区间 上上, 若存在点若存在点 使得对使得对( )f xI00,x xI 0( )(),f xf x则称则称 为函数为函数 在区间上的在区间上的最大值最大值; 相反地相反地, 0()f x( )f x若对于每一个若对于每一个 都有都有xI0( )(),f xf x则称则称 为函数为函数 在区间上的在区间上的最小值最小值.0()f x( )f

11、xxI每一个每一个 都有都有编辑ppt最大值和最小值分别记为最大值和最小值分别记为0()max( ) ,x If xf x例如例如 函数函数 在整个数轴上的最小值为在整个数轴上的最小值为 ( )f xxx0, f xxxxyO但无最大值但无最大值.0()min( ) .x If xf x 编辑ppt定理定理1.4（最大值最小值定理）（最大值最小值定理） 闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数在证明从略证明从略. 从右边的图中可以看出从右边的图中可以看出, 若函数若函数 在闭区间上连在闭区间上连( )f x yf xxyOab该区间上一定有最大值和最小值该区间上一定有最大值和最小值.( )f x

12、 续续, 则则 在点在点 和和 处分别处分别取到最大值和最小值取到最大值和最小值. 编辑ppt 推论推论 闭区间上的连续函数必然有界闭区间上的连续函数必然有界.编辑ppt定理定理1.5（介值定理）（介值定理） 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上上( )f x, a b间间 内至少存在一点内至少存在一点 使得使得0,x0().f x, a b 该性质从几何上看是及其明显的该性质从几何上看是及其明显的.xyo ab0 x yf x连续连续, 则对于介于则对于介于 与与 之间的任何实数之间的任何实数 在区在区( ) ( )f af b,编辑ppt0()0.f x推论推论 （零点定理）（零点定理） 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,( )f x, a b且且 异号异号, 则在开区间则在开区间 内至少存在一点内至少存在一点( ),( )f af b, a b0,x使得使得此时此时 称为函数称为函数 的零点的零点. f x0 x编辑ppt例例1.41 证明方程证明方程 在区间在区间 内有唯一的根内有唯一的根.e0 ( 1,1)xx证证 令令 ( )e ,xf xx11(1) ( 1)e 1 e1e0,ffe 由零点定理知由零点定理知, 存在存在 使得使得01,1 ,x 0()0.f x 又函数又函数 是单调增加函数是单调增加函数, 故零点